云南省德宏州2025届高三上学期开学定位监测数学试题（含答案）

云南省德宏州2025届高三上学期开学定位监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列四个命题中，是真命题的为( )
A. 任意，有 B. 任意，有
C. 存在，使 D. 存在，使
3.水稻是世界最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稻，观测它们连续年的产量单位：如表所示：
甲、乙两种水稻连续年产量
年
品种 第年 第年 第年 第年 第年 第年
甲
乙
根据以上数据，下列说法正确的是( )
A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
4.已知向量满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则，
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于年月日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则，，的大小为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上有且仅有一个零点
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象
10.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程是
B. 焦点到准线的距离为
C. 若，则的最小值为
D. 以线段为直径的圆与轴相切
11.已知函数，则( )
A. 当时，函数在上单调递增
B. 当时，若有个零点，则实数的取值范围是
C. 若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 ．
13.在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽取道题，抽出的题不在放回，则在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为 ．
14.在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且满足
求证：数列为等比数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在边长为的正三角形中，，分别为边，的中点将沿翻折至，得到四棱锥，为的中点．
证明：平面
若平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程；
若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
18.本小题分
在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取局胜制，每局为分制，每赢一球得一分．
樊振东首局失利，第二局比赛双方打到平，此时张本智和连续发球次，然后樊振东连续发球次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为，张本智和发球时樊振东得分的概率为，每次发球的结果相互独立，令人遗的是该局比赛结果，樊振东最终以：落败，求其以该比分落败的概率；
在本场比赛中，张本智和先以领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了局后比赛结束，求的分布列与数学期望
19.本小题分
如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．

求椭圆的标准方程；
设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
参考答案
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15.解：
当时，，解得
因，
当时，
得，，即，
则，即，，又
所以是以为首项，为公比的等比数列．
法一、由可得，即，

法二、由可知，即，
又由题知：
代入可得

16.解：取中点，连接，，
且，有．
故四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面；
取中点，中点，由平面平面，且交线为，
在平面内，且与交线垂直，
故平面．
此时，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如
图所示的空间直角坐标系．
有，，，，中点
，．
设平面的法向量，由，得，
取
又，故所求角的正弦值为．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，，
所以，，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
因为函数在区间上是减函数，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
则，
当，即时，取得最小值为，
所以，即实数的取值范围是
18.解：
在比分为后张本智和先发球的情况下，樊正东以落败的情况分三种：
第一种：后四球樊正东依次为胜败败败，概率为，
第二种：后四球樊正东依次为败胜败败，概率为，
第三种：后四球樊正东依次为败败胜败，概率为，
所以所求事件的概率为：．
随机变量的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
数学期望为．

19.解：由题意得，且，由，解得，
椭圆的标准方程为；
由于，关于原点对称，故可设，，且；
，
即为定值；
设直线的方程为，直线的方程为，
由知；由题意圆的方程为；
联立直线与圆的方程，得，解得点横坐标；
联立直线与椭圆的方程，得，解得点横坐标，
则；同理，
由于，
所以与面积之比，
将代入上式，并化简得，
令，则由，有，故，
综上，与面积之比的取值范围为．
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