湖南省“名校联考联合体”2025届高三上学期第二次联考数学试题（含答案）

湖南省“名校联考联合体”2025届高三上学期第二次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.函数在内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若的图象上存在两点，，使得的图象在，处的切线互相垂直，且过点只能作条切线与的图象相切，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下图为年中国大学生使用偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于年中国大学生使用的结论正确的是( )
A. 超过的大学生更爱使用购物类
B. 超过半数的大学生使用是为了学习与生活需要
C. 使用偏好情况中个占比数字的极差是
D. 使用目的中个占比数字的分位数是
10.已知函数满足对任意，都有，且，则( )
A. B. C. D. 是偶函数
11.已知数列满足对任意，，都有，且，的所有不同的值按照从小到大构成数列，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 中任意项不成等差数列 D. 的前项的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”的否定是 ．
13.某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到如下列联表：
是社交电商用户 不是社交电商用户 合计
男性
女性
合计
已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为 ．
14.已知函数有个极值点，，，则的取值范围是 ；若存在，使得，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点，其中，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点上方处的，，观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点．
求建造中的建筑物已经到达的高度；
求的值．
16.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，且时，．
求时的解析式；
若方程有个不同的实根，，，求的取值范围及的取值范围．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，．
求证：数列是等差数列；
若，，且是等差数列，求证：．
18.本小题分
已知，且，．
求的最小值；
求证：．
参考数据
19.本小题分
若数列满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．
若是项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；
从集合中任意取出两个数列，，记．
求的分布列，并证明；
若用某软件产生项数列，记事件“第一次产生数字”，“第二次产生数字”，若，比较与的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：如图，设，因为在，，处观察已建建筑物最高点的仰角分别为，，，且，，，
所以，又，是的中点，
在中，由余弦定理得到，
在中，由余弦定理得到，
又，所以，
整理得到，解得，所以．
在中，由正弦定理知，
在中，由正弦定理知，由知，
由得到．

16.解：当时，，所以，又，
所以，得到，
即时的解析式为．
由知，
当时，，所以，
当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，所以，
当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，当时，，时，，
其图象如图，又方程有个不同的实根，由图知．
不妨设，
当时，则有，
又当时，，令，得到，其图象如图，
此时，其中是的两根，则，
又由对称性知，是的根，所以是的根，如下取端点，
取，得到，解得或舍，
取，得到，解得或，则，
，
当，易得，所以，
当时，因为是定义域为的奇函数，
由对称性可知，，
综上所述，．

17.解：
设等差数列的公差为，
则，
则，
所以，
故为定值，
所以是等差数列．
因为是等差数列，
所以为定值，
所以，即得或，
又因为，所以，
所以，结合知，
．

18.解：因为，定义域为，
所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
由得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以当时，取到最小值．
由知的最小值，
所以要证，
只需证，
即证，
因为，且，所以，
设，则，
设，则在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
所以
故成立，即得证．

19.解：因为是项数列，当且仅当时，
所以，当和时，，
所以，令，则，，
所以，数列的所有项的和为数列的前项和，
因为是公比为的等比数列，
所以，的前向和为，
所以，数列的所有项的和为．
因为数列，是从集合中任意取出两个数列，
所以，数列，为项数列
所以，的可能取值为：
当时，数列，中有项取值不同，有项取值相同，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，，
所以，的分布列为：
因为，
所以，
由题知，
所以，，
所以，，
所以，即，
所以，，即

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