第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为 ( )
A.40° B.50°
C.90° D.150°
2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不确定
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l与B1B所在直线不重合,直线l⊥平面A1B1C1D1,则有 ( )
A.B1B⊥l B.B1B∥l
C.B1B与l异面 D.B1B与l相交
4.[2024·芜湖一中高一期中] 过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.4
5.教室里有一把直尺,无论怎样放置,地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持 ( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.异面
6.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成的角中最大的角为 ( )
A.72° B.90°
C.108° D.180°
7.如图,在四棱锥M-ABCD中,MC⊥平面ABCD,则“MA⊥BD”的充要条件是 ( )
A.四边形ABCD为矩形
B.四边形ABCD为菱形
C.四边形ABCD为平行四边形
D.四边形ABCD为梯形
8.如图所示,一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成,提竿平行于圆柱的底面,O为上底面圆的圆心,在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A,B,AB与圆柱的底面不垂直,则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中,直线PQ与直线AB垂直的次数为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
9.(多选题)[2024·江苏镇江实验中学高一月考] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则下列说法正确的是 ( )
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH⊥平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH与平面A1BD所成的角为45°
二、填空题
10.平面α的斜线l与平面α交于点A,且斜线l与平面α所成的角是,则l与平面α内所有不过点A的直线所成角的取值范围是 .
11.如图,已知点A∈平面α,点O∈α,直线a α,点P α且PO⊥α,则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
12.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影.若PA,PB,PC与平面ABC所成的角相等,则O是△ABC的 心.
三、解答题
13.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=.
14.[2024·天津河北区高一期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C与AC1交于点O,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点.
(1)证明:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值.
15.已知平面α与正方体的12条棱所成的角相等,设所成的角为θ,则sin θ= .
16.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,AD=,M为AD的中点,现分别沿BM,CM将△ABM和△DCM翻折,使点A,D重合,记为点P.
(1)求证:BC⊥PM;
(2)求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.
第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质
1.B [解析] 若两条直线平行,则它们与同一个平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.B [解析] 一条直线和三角形的两边同时垂直,根据直线与平面垂直的判定定理可知,该直线垂直于三角形所在平面,则根据线面垂直的性质可知,这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直.
3.B [解析] 因为B1B⊥平面A1B1C1D1,l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.
4.B [解析] 与已知直线垂直的不同平面都互相平行,其中过空间一定点且与已知直线垂直的平面有且只有1个.故选B.
5.B [解析] ①当直尺所在直线与地面垂直时,地面上的所有直线都与直尺所在直线垂直,则地面上存在直线与直尺所在直线垂直;②当直尺所在直线与地面相交但不垂直时,直尺所在的直线必在地面上有一条射影,在地面上一定存在与此射影垂直的直线,易知与射影垂直的直线一定与此斜线垂直,则地面上总有直线与直尺所在的直线垂直;③当直尺所在直线与地面平行或在地面内时,易知地面上一定存在直线与直尺所在直线垂直.综上,直尺无论怎样放置,地面上总有与直尺所在直线垂直的直线.故选B.
6.B [解析] 当在这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时, 直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.因为两直线所成的角的取值范围为[0°,90°],所以这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成的角中最大的角为90°.故选B.
7.B [解析] 连接AC.当MA⊥BD时,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又MA∩MC=M,MA,MC 平面MAC,所以BD⊥平面MAC,又AC 平面MAC,所以BD⊥AC,所以四边形ABCD为菱形;反之,当四边形ABCD为菱形时,可得AC⊥BD,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又AC∩MC=C,AC,MC 平面MAC,所以BD⊥平面MAC,又MA 平面MAC,所以MA⊥BD.故选B.
8.A [解析] 如图,作出平面CDEF,使得PQ⊥平面CDEF,当PQ⊥AB时,AB∥平面CDEF或AB 平面CDEF,结合旋转分析可知,有2次使得PQ⊥AB.故选A.
9.ABC [解析] 对于A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,所以三棱锥A-A1BD是正三棱锥,所以点A在△A1BD内的射影H是△A1BD的垂心,故A正确;对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得BD∥B1D1,A1D∥B1C,又因为BD 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1,又因为BD∩A1D=D,BD,A1D 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CB1D1,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH⊥平面CB1D1,故B正确;对于C,如图,连接AB1,AC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得A1B⊥AB1,又由B1C1⊥平面ABB1A1,且A1B 平面ABB1A1,可得A1B⊥B1C1,又AB1∩B1C1=B1,AB1,B1C1 平面AB1C1,所以A1B⊥平面AB1C1,又AC1 平面AB1C1,所以AC1⊥A1B,同理可得AC1⊥BD,又A1B∩BD=B,A1B,BD 平面A1BD,所以AC1⊥平面A1BD,所以AH的延长线经过点C1,故C正确;对于D,因为AH⊥平面A1BD,所以AH与平面A1BD所成的角为90°,故D错误.故选ABC.
10. [解析] 斜线l与平面α所成的角是,则直线l与平面α内所有直线所成的角中最小的角为,显然最大的角为,所以所求取值范围为.
11.充要 [解析] 因为PO⊥α,a α,所以PO⊥a.当直线a⊥直线OA时,因为PO,OA 平面POA,PO∩OA=O,所以a⊥平面POA,又PA 平面POA,所以直线a⊥直线PA,充分性成立;当直线a⊥直线PA时,因为PO,PA 平面POA,PO∩PA=P,所以a⊥平面POA,又OA 平面POA,所以直线a⊥直线OA,必要性成立.故“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件.
12.外 [解析] 连接OA,OB,OC.因为O为P在平面ABC上的射影,所以PO⊥平面ABC,又OA,OB,OC 平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC=.因为PO⊥平面ABC,所以∠PAO,∠PBO,∠PCO分别为PA,PB,PC与平面ABC所成的角.由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO,所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.
13.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,BD 平面ABD,BD,EF 平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵EF⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,∴=.
14.解:(1)证明:因为AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点,所以AD⊥BC,
又AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1,所以CC1⊥平面ABC,
又AD 平面ABC,所以CC1⊥AD,
又BC∩CC1=C,BC,CC1 平面BCC1B1,
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2)如图,取B1C1的中点E,连接A1E,CE,DE,
则DE∥BB1且DE=BB1,
又AA1∥BB1且AA1=BB1,
所以DE∥AA1且DE=AA1,
所以四边形EDAA1为平行四边形,
所以AD∥A1E,又AD⊥平面BCC1B1,
所以A1E⊥平面BCC1B1,
所以∠A1CE为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.
因为A1E⊥平面BCC1B1,CE 平面BCC1B1,
所以A1E⊥CE,
设AB=BC=AC=AA1=2,则A1E==,A1C==2,
所以sin ∠A1CE===,则直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
15. [解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AB1,B1D1,AD1,因为棱A1A,A1B1,A1D1与平面AB1D1所成的角相等,所以平面AB1D1就是与正方体的12条棱所成的角均为θ的一个平面.连接A1C1,交B1D1于点O,连接AO,则∠A1AO=θ.设该正方体的棱长为1,则A1O=,AO=,则sin θ==.
16.解:(1)证明:由题可得BP=AB=1,CP=CD=1.
如图,取BC的中点Q,连接PQ,MQ,
∵BP=CP=1,BM=CM=,Q为BC的中点,∴BC⊥PQ,BC⊥MQ,
又MQ 平面PMQ,PQ 平面PMQ,MQ∩PQ=Q,
∴BC⊥平面PMQ,又PM 平面PMQ,∴BC⊥PM.
(2)∵BP=CP=1,BC=AD=,
∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥AM,即PB⊥PM,
又PM∩PC=P,PM 平面PMC,PC 平面PMC,
∴PB⊥平面PMC,∴∠BCP为直线BC与平面PMC所成的角.
∵sin∠BCP===,∴直线BC与平面PMC所成角的正弦值为.8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
2.已知两条不同的直线l,m和平面α,若m α,则“l⊥m”是“l⊥α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有 ( )
A.0条 B.1条
C.无数条 D.不确定
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 ( )
A.平面DD1C1C
B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1
D.平面A1DB1
5.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
6.如图,在圆柱OO'中,AA'是母线,AB是底面圆O的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,
则 ( )
A.BC⊥平面A'AC
B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC
D.AC⊥平面A'AB
7.在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不垂直的是 ( )
A B C D
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α
B.若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α
C.若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α
D.若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α
9.(多选题)[2024·无锡高一期中] 在正四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点,则下列说法中正确的有 ( )
A.EF∥平面ACD
B.AC⊥BD
C.E,F,G,H四点共面
D.AB⊥平面FGH
二、填空题
10.将一本书打开后竖立在桌面上(如图),则书脊所在直线AB与桌面所在平面α的位置关系为 .
11.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在a α,b α,l⊥a,l⊥b的基础上另外添加的条件是 .
12.如图,一块正方体木料的上底面有一点E,经过点E在上底面画一条直线与CE垂直, 写出作该直线的方法: .
三、解答题
13.如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:SD⊥平面ABC.
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是AC与BD的交点,求证:EF⊥平面BB1O.
15.《九章算术》中,称底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ( )
A.8 B.16 C.24 D.28
16.[2024·山东省实验中学高一月考] 如图①,在正方形ABCD中,P,Q分别是AB,BC的中点,将△APD,△PBQ,△CDQ分别沿PD,PQ,DQ折起,使A,B,C三点重合于点M,得到四面体MDPQ,如图②所示.求证:
(1)MD⊥平面MPQ;
(2)点M在平面PDQ内的射影为△PDQ的垂心.
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
1.C [解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,且OB∩OC=O,∴OA⊥平面OBC.故选C.
2.B [解析] 若l⊥α,m α,则l⊥m一定成立,即必要性成立.若l⊥m,m α,则l⊥α不一定成立,只有当l垂直于平面α内的两条相交直线时,该结论才成立,故充分性不成立.综上所述,“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B.
3.C [解析] 当a α时,易知α内与a垂直的直线有无数条.当a α时,如图,a不与α垂直,A是a上一点,C是a与α的交点,AB⊥α,B∈α,c α,故AB⊥c,若c⊥BC,因为AB∩BC=B,所以c⊥平面ABC,又a 平面ABC,所以c⊥a,故在平面α内与c平行的直线均与a垂直,这样的直线有无数条.故选C.
4.D [解析] 易知A1B1⊥平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1,又AD1⊥A1D,A1D∩A1B1=A1,∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.
5.B [解析] ∵PB⊥α,AC α,∴PB⊥AC.∵PC⊥AC,PB∩PC=P,∴AC⊥平面PBC,又BC 平面PBC,∴AC⊥BC,故△ABC为直角三角形.故选B.
6.A [解析] ∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是底面圆O的直径,∴BC⊥AC.∵AA'⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴AA'⊥BC,又AA'∩AC=A,AA' 平面A'AC,AC 平面A'AC,∴BC⊥平面A'AC.故选A.
7.D [解析] 对于A,AB为体对角线,M,N,Q分别为所在棱的中点,由中位线定理可得,MN,MQ,NQ分别平行于所在面的一条对角线,连接它们所在面的另一条对角线,如图①,连接BQ,易得MN⊥平面ABQ,故AB⊥MN,同理得AB⊥MQ,AB⊥NQ,又MN∩MQ=M,故AB⊥平面MNQ,故A中直线AB与平面MNQ垂直;对于B,AB⊥MN,AB⊥MQ,∵MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故B中直线AB与平面MNQ垂直;对于C,AB⊥MN,AB⊥MQ,∵MN∩MQ=M,∴AB⊥平面MNQ,故C中直线AB与平面MNQ垂直;对于D,如图②,△CDE为等边三角形,易得 AB与MN所成的角为60°,∴直线AB与平面MNQ不垂直,故D中直线AB与平面MNQ不垂直.故选D.
8.CD [解析] 由线面垂直的判定定理知,若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α,故C正确;由线面垂直的定义知,若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α,故D正确;易知A,B错误.故选CD.
9.ABC [解析] 对于A,因为E,F分别为棱AB,BC的中点,所以EF∥AC,又AC 平面ACD,EF 平面ACD,所以EF∥平面ACD,故A正确;对于B,如图,取BD的中点M,连接AM,CM,因为四面体ABCD是正四面体,所以AM⊥BD,CM⊥BD,又AM∩CM=M,AM,CM 平面AMC,所以BD⊥平面AMC,又AC 平面AMC,所以AC⊥BD,故B正确;对于C,因为G,H分别是CD,AD的中点,所以HG∥AC,又EF∥AC,所以HG∥EF,则E,F,G,H四点共面,故C正确;对于D,由上知EF∥AC,又△ABC是等边三角形,所以AB与AC不垂直,故AB与EF不垂直,若AB⊥平面FGH,由上知EF 平面FGH,则AB⊥EF,与已知不符,故D错误.故选ABC.
10.垂直 [解析] 由题意知AB⊥BC,AB⊥BE,且BC 平面α,BE 平面α,又BC∩BE=B,所以AB⊥平面α.
11.a与b相交 [解析] 由线面垂直的判定定理可知,另外添加的条件是“a与b相交”.
12.连接C1E,在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线 [解析] 设经过点E在上底面所画与CE垂直的直线为l,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知CC1⊥平面A1B1C1D1,又l 平面A1B1C1D1,所以CC1⊥l,连接C1E,因为CE⊥l,CC1,CE是平面CC1E内的两条相交直线,所以l⊥平面CC1E,又C1E 平面CC1E,所以l⊥C1E,所以在平面A1B1C1D1中画出经过点E与C1E垂直的直线即可.
13.证明:因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,易知AD=DC=BD,
又SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS,
所以∠BDS=∠ADS=90°,即SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD 平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
14.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BO.
∵B1B⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴BB1⊥AC.
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥BB1,EF⊥BO,又BB1∩BO=B,BB1,BO 平面BB1O,∴EF⊥平面BB1O.
15.C [解析] 如图,连接A1C1,A1D1,A1F1,A1G1,B1E1,AC,AD,AF,AG,BE.根据题意可得,该正八棱柱的底面边长都相等,且底面的每个内角都为135°,∠HAG=∠BAC=22.5°,∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG,AD⊥AH,又因为AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,又AA1∩AB=A,所以AF⊥平面AA1B1B,又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以以矩形A1ABB1为底面的阳马有4个;同理,AG⊥平面AA1C1C,以矩形AA1C1C为底面的阳马有4个;AH⊥平面AA1D1D,以矩形AA1D1D为底面的阳马有4个;AB⊥平面AA1F1F,以矩形AA1F1F为底面的阳马有4个;AC⊥平面AA1G1G,以矩形AA1G1G为底面的阳马有4个;AD⊥平面AA1H1H,以矩形AA1H1H为底面的阳马有4个.故共有24个阳马.故选C.
16.证明:(1)因为在正方形ABCD中,AP⊥AD,CD⊥CQ,
所以可得MP⊥MD,MD⊥MQ,
又MP∩MQ=M,MP,MQ 平面MPQ,
所以MD⊥平面MPQ.
(2)如图,设点M在平面PDQ内的射影为O,连接MO,则MO⊥平面PDQ,又PD 平面PDQ,
所以MO⊥PD.
连接DO并延长,与PQ交于点F,连接QO并延长,与PD交于点E.
因为在正方形ABCD中,BP⊥BQ,所以可得MP⊥MQ,
又MD⊥MQ,MD∩MP=M,MD,MP 平面MPD,所以MQ⊥平面MPD,又PD 平面MPD,所以MQ⊥PD.
因为MQ∩MO=M,MQ,MO 平面MOQ,
所以PD⊥平面MOQ,
又QE 平面MOQ,所以QE⊥DP,同理可得PQ⊥DF,
故点M在平面PDQ内的射影为△PDQ的垂心.
