8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
一、选择题
1.已知直线l⊥平面α,则过l与α垂直的平面 ( )
A.有1个 B.有2个
C.有无数个 D.不存在
2.下面不能确定两个平面垂直的是 ( )
A.两个平面相交,所成的二面角是直二面角
B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C.一个平面经过另一个平面的一条垂线
D.平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b垂直
3.若α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是 ( )
A.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β
B.若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β
C.若α∥β,m α,则m∥β
D.若m⊥α,α∥β,n⊥β,则m⊥n
4.已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,且满足l⊥α,m β,则“l∥m”是“α⊥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则二面角A-B1D1-B的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
6.若正四棱锥相邻两侧面形成的二面角的平面角为θ,则θ ( )
A.一定是锐角
B.一定是钝角
C.可能是直角
D.可能是锐角或钝角,但不是直角
7.如图,已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD与圆柱的底面垂直,则必有 ( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
8.(多选题)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法中正确的是 ( )
A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β
B.如果m α,α∥β,那么m∥β
C.如果α∩β=l,m∥α,那么m∥l
D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β
9.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=AB=2,E为AB的中点,以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点P的位置,且PC=2,得到四棱锥P-EBCD,则 ( )
A.平面PED⊥平面EBCD
B.PC⊥ED
C.二面角P-DC-B的大小为
D.直线PC与平面PED所成的角的正切值为
二、填空题
10.两个平面互相垂直的判定定理用文字语言表述为 ,用符号语言表述为 .
11.已知两个不重合的平面α,β,若直线l α,则当 时,可得到α⊥β.
12.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,则平面ADC与平面BDE的位置关系是 .
三、解答题
13.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC于点N. 求证:平面SAC⊥平面AMN.
14.[2024·浙江四校高一联考] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=1,AC=,四边形B1BCC1为正方形.
(1)求证:平面A1B1C⊥平面B1BCC1;
(2)求二面角A-B1C-B的余弦值.
15.如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=5 m,CB=5 m.又测得AB的长为5 m,CD的长为5 m,则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .
16.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到达点P的位置,且PE⊥EB,得到四棱锥P-BCDE,已知M为棱PB的中点,N为棱BC上的动点(与点B,C不重合).
(1)证明:平面EMN⊥平面PBC.
(2)是否存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
1.C [解析] 由面面垂直的判定定理知,任何过l的平面都垂直于平面α,所以这样的平面有无数个.故选C.
2.D [解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1B1CD内的一条直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.故选D.
3.C [解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥C1D1,C1D1∥平面DCB1A1,但是平面ABCD与平面DCB1A1不垂直,A错误;平面ABB1A1与平面AA1C1C都垂直于平面ABCD,但它们之间不垂直,B错误;若α∥β,则α与β没有公共点,又m α,所以m与平面β也没有公共点,所以m∥β,C正确;AA1⊥平面ABCD,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面A1B1C1D1,但AA1与DD1不垂直,D错误.故选C.
4.A [解析] 当l∥m时,结合l⊥α,可得m⊥α,又m β,所以α⊥β;当α⊥β,l⊥α,m β时,l与m不一定平行.故“l∥m”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选A.
5.A [解析] 如图,设B1D1的中点为E,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接AE,OE,易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角.因为正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=,所以AE=.又OE=BB1=1,OE⊥AO,所以cos∠AEO==,即二面角A-B1D1-B的余弦值为,故选A.
6.B [解析] 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,连接AC,作AE垂直于SB,垂足为E,连接CE,易知CE⊥SB,则∠AEC为二面角A-SB-C的平面角θ.由题意知AE
AE2+CE2.在△AEC中,由余弦定理得cos θ=cos∠AEC=<0,∴θ∈,则θ一定是钝角.故选B.
7.B [解析] 由题意知AC⊥BC.因为AD与圆柱的底面垂直,BC在圆柱的上底面上,所以AD⊥BC.又AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.因为BC 平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.
8.AB [解析] 对于A,如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么由面面垂直的判定定理得α⊥β,故A正确;对于B,如果m α,α∥β,那么由面面平行的性质得m∥β,故B正确;对于C,如果α∩β=l,m∥α,那么m与l平行或异面,故C错误;对于D,如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α与β不一定垂直,故D错误.故选AB.
9.AC [解析] 因为PD=AD===2,所以在△PDC中,可得PD2+CD2=PC2,所以PD⊥CD.又CD⊥DE,PD∩DE=D,所以CD⊥平面PED,又CD 平面EBCD,所以平面PED⊥平面EBCD,故A选项正确;假设PC⊥ED,则由ED⊥CD,PC∩CD=C,可得ED⊥平面PDC,则ED⊥PD,而∠EDP=∠EDA,不符合题意,故假设不成立,故B选项错误;易知二面角P-DC-B的平面角为∠PDE,根据题意知∠PDE=∠ADE=,故C选项正确;由上面分析可知,∠CPD为直线PC与平面PED所成的角,在Rt△PCD中,tan∠CPD==,故D选项错误.故选AC.
10.如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 a α,a⊥β α⊥β
11.l⊥β [解析] 由面面垂直的判定定理知,两个不重合的平面α,β,若直线l α,则当l⊥β时,可得到α⊥β.
12.垂直 [解析] 因为AB=BC,AD=CD,E是AC的中点,所以BE⊥AC,DE⊥AC,又BE∩DE=E,BE 平面BDE,DE 平面BDE,所以AC⊥平面BDE.因为AC 平面ADC,所以平面ADC⊥平面BDE.
13.证明:因为SA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥SA.
因为底面ABCD是正方形,所以CD⊥AD,
又SA,AD 平面SAD,SA∩AD=A,
所以CD⊥平面SAD,
又AM 平面SAD,所以AM⊥CD.
由题知SA=AD,因为M是SD的中点,所以AM⊥SD,
又CD,SD 平面SCD,CD∩SD=D,
所以AM⊥平面SCD,
又SC 平面SCD,所以SC⊥AM.
因为SC⊥AN,且AM,AN 平面AMN,AM∩AN=A,
所以SC⊥平面AMN,又SC 平面SAC,
所以平面SAC⊥平面AMN.
14.解:(1)证明:因为四边形B1BCC1为正方形,且BB1=1,所以BC=1,
又因为AB=1,AC=,所以AB2+BC2=AC2,
所以AB⊥BC,又易知AB⊥BB1,BB1∩BC=B,且BB1,BC 平面B1BCC1,
所以AB⊥平面B1BCC1.
因为A1B1∥AB,所以A1B1⊥平面B1BCC1,
又A1B1 平面A1B1C,
所以平面A1B1C⊥平面B1BCC1.
(2)由题意得AB1=AC=B1C,所以△AB1C为等边三角形.
如图,取B1C的中点O,连接AO,BO,则AO⊥B1C,BO⊥B1C,
所以∠AOB为二面角A-B1C-B的平面角.
在等腰直角三角形BB1C中,BO=B1C=,
在等边三角形AB1C中,AO=AC=,
所以在△AOB中,cos∠AOB===,
所以二面角A-B1C-B的余弦值为.
15. [解析] 如图,过点B作BE∥AD且BE=AD,连接DE,CE.因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形,所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是所求二面角的平面角.因为DE∥AB,BC⊥AB,所以BC⊥DE,又BE⊥DE,BC∩BE=B,BC,BE 平面BCE,所以DE⊥平面BCE,又CE 平面BCE,所以DE⊥CE.因为DE=AB=5 m,所以CE===5(m),又BE=AD=5 m,BC=5 m,所以cos∠CBE===-,所以∠CBE=,故水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为.
16.解:(1)证明:因为PE⊥ED,PE⊥EB,EB∩ED=E,
所以PE⊥平面EBCD,
又BC 平面EBCD,所以PE⊥BC.
因为BC⊥EB,EB∩PE=E,
所以BC⊥平面PEB,
又EM 平面PEB,所以BC⊥EM.
因为PE=EB,PM=MB,所以EM⊥PB,
又BC∩PB=B,所以EM⊥平面PBC.
因为EM 平面EMN,
所以平面EMN⊥平面PBC.
(2)假设存在点N满足题意,过M作MQ⊥EB于Q,
因为PE⊥EB,所以PE∥MQ,
由(1)知PE⊥平面EBCD,所以MQ⊥平面EBCD,
又EN 平面EBCD,所以MQ⊥EN.
过Q作QR⊥EN于R,连接MR,
因为MQ∩QR=Q,所以EN⊥平面MQR,
又MR 平面MQR,所以EN⊥MR,
所以∠MRQ为二面角B-EN-M的平面角.
不妨设PE=EB=BC=2,则MQ=1,
在Rt△EBN中,设BN=x(0因为Rt△EBN∽Rt△ERQ,所以=,
所以=,得RQ=,
所以tan∠MRQ===,可得x=1,此时N为BC的中点.
综上,存在点N,使得二面角B-EN-M的正切值为,此时N为BC的中点.第2课时 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1.设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 ( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面一定垂直
2.下列说法中错误的是 ( )
A.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内任取一点M,作ME⊥AB于E,则 ( )
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
4.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是 ( )
A.若α∩β=b,a α,则a与β相交
B.若a⊥α,a⊥β,b α,则b∥β
C.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
D.若a⊥α,b∥β,α∥β,则a⊥b
5.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α,β所成的角分别为和.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A',B',则AB∶A'B'等于 ( )
A.2∶1 B.3∶1
C.3∶2 D.4∶3
6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面ABC,则“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1的位置关系为 ( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.异面但不垂直
8.(多选题)若平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈α,P l,则下列说法中正确的是 ( )
A.过点P且垂直于l的平面垂直于β
B.过点P且垂直于l的直线垂直于β
C.过点P且垂直于α的直线平行于β
D.过点P且垂直于β的直线在α内
9.(多选题)如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则下列说法错误的是 ( )
A.PD 平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
二、填空题
10.给出下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中所有真命题的序号是 .
11.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
12.三棱锥P-ABC的高为PH,若其三个侧面两两垂直,则H为△ABC的 心.
三、解答题
13.如图,在三棱锥D-ABC中,侧面ACD⊥底面ABC,AC=AD,AC⊥BC,AF⊥BD,CH⊥BD,E是CD的中点.证明:
(1)AE⊥平面BCD;
(2)CH∥平面AEF.
14.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,E,F,M分别为A1C1,AB1,BC的中点.
(1)求证:EF∥平面BB1C1C;
(2)求证:EF⊥平面AB1M.
15.(多选题)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿BD折起.设折起后点A的位置为A',得到三棱锥A'-BCD,若平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论中正确的是 ( )
A.A'D⊥BC
B.三棱锥A'-BCD的体积为
C.CD⊥平面A'BD
D.平面A'BC⊥平面A'DC
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,PA=AD=AB=CD,侧面PAD⊥底面ABCD,E为PC的中点.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)若PA=PD,求二面角P-BC-D的余弦值.
第2课时 平面与平面垂直的性质
1.C [解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
2.C [解析] 对于A,平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,则l⊥γ,A中说法正确;对于B,平面α⊥平面β,不妨设α∩β=a,作直线b∥a,且b α,则b∥β,B中说法正确;对于C,所作垂线不一定在平面α内,则该垂线不一定垂直于β,C中说法错误;对于D,假设平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,这与已知平面α与平面β不垂直矛盾,所以假设不成立,D中说法正确.故选C.
3.A [解析] 如图,∵M∈平面ABB1A1,E∈AB,即E∈平面ABB1A1,∴ME 平面ABB1A1,又平面ABB1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD.故选A.
4.A [解析] 对于A,若α∩β=b,a α,则a与β可能相交,也可能平行,故A是假命题;对于B,由a⊥α,a⊥β得α∥β,又b α,所以b∥β,故B是真命题;对于C,由α⊥β,a⊥α,得a∥β或a β,又b⊥β,所以a⊥b,故C是真命题;对于D,由α∥β,a⊥α,得a⊥β,又b∥β,所以a⊥b,故D是真命题.故选A.
5.A [解析] 如图所示,连接AB',A'B,则由已知得AA'⊥平面β,∠ABA'=,BB'⊥平面α,∠BAB'=.设AB=a,则BA'=a,BB'=a,则在Rt△BA'B'中,可得A'B'=a,所以AB∶A'B'=2∶1.
6.B [解析] 若BC⊥AB,因为平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB,且BC 平面ABC,所以由面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ABB1A1,又BB1 平面ABB1A1,所以BC⊥BB1,所以“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的必要条件;若三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,底面ABC是正三角形,则BB1⊥底面ABC,又BB1 平面ABB1A1,所以满足条件侧面ABB1A1⊥底面ABC,又BC 平面ABC,所以BC⊥BB1,但此时BC与AB不垂直,所以“BC⊥BB1”不是“BC⊥AB”的充分条件.综上所述,“BC⊥BB1”是“BC⊥AB”的必要不充分条件.故选B.
7.C [解析] 如图,在四边形ABCD中,∵AB=BC,AD=CD,∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD 平面ABCD,∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C,∴BD⊥CC1.故选C.
8.ACD [解析] 易知A正确;对于B,当过点P且垂直于l的直线不在α内时,该直线不与β垂直,故B不正确;对于C,由平面α⊥平面β,α∩β=l,点P∈α,P l,在β内作直线m⊥l,由面面垂直的性质定理得m⊥α,设过点P且垂直于α的直线为n,即n⊥α,则m∥n,由线面平行的判定定理可知n∥β,故C正确;对于D,由面面垂直的性质定理可知D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,PD 平面PAB,∴PD⊥平面ABC.故选ACD.
10.②④ [解析] ①中,若这两条直线平行,则这两个平面不一定相互平行,①是假命题;②是面面垂直的判定定理,故是真命题;③中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,如正方体中共顶点的三条棱,故是假命题;易知④是真命题.
11.直角 [解析] 设P在平面ABC上的射影为O.∵平面PAB⊥底面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.连接OC,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
12.垂 [解析] 连接AH,BH,CH.由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直,易得PA⊥平面PBC,PB⊥平面PAC,PC⊥平面PAB,则有BC⊥PA,AB⊥PC,CA⊥PB.由BC⊥PA,PH⊥BC,PA∩PH=P,得BC⊥平面PAH,则BC⊥AH.同理可得AB⊥CH,CA⊥BH,所以H为△ABC的垂心.
13.证明:(1)在三棱锥D-ABC中,
因为侧面ACD⊥底面ABC,侧面ACD∩底面ABC=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,
所以BC⊥平面ACD,
又AE 平面ACD,所以BC⊥AE.
因为AC=AD,E是CD的中点,所以AE⊥CD,
又BC∩CD=C,BC,CD 平面BCD,
所以AE⊥平面BCD.
(2)因为AE⊥平面BCD,BD 平面BCD,所以AE⊥BD,
又AF⊥BD,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
所以BD⊥平面AEF,
又EF 平面AEF,所以BD⊥EF,
又CH⊥BD,EF,CH 平面BCD,
所以EF∥CH,又EF 平面AEF,CH 平面AEF,
所以CH∥平面AEF.
14.证明:(1)如图,连接A1B,BC1,
∵四边形ABB1A1为矩形,F为AB1的中点,
∴F为A1B的中点.
又E为A1C1的中点,
∴EF∥BC1.
∵BC1 平面BB1C1C,
EF 平面BB1C1C,
∴EF∥平面BB1C1C.
(2)在矩形BCC1B1中,BC=BB1,则tan∠CBC1=,tan∠B1MB=,
∴tan∠CBC1·tan∠B1MB=1,
∴∠CBC1+∠B1MB=,∴BC1⊥B1M.
∵EF∥BC1,∴EF⊥B1M.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥平面BB1C1C,∵M为BC的中点,△ABC为正三角形,∴AM⊥BC.
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AM 平面ABC,
∴AM⊥平面BB1C1C.
∵BC1 平面BB1C1C,∴AM⊥BC1,
又EF∥BC1,∴EF⊥AM.
∵AM∩B1M=M,∴EF⊥平面AB1M.
15.CD [解析] 取BD的中点E,连接A'E.由AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得∠DBC=∠ADB=45°.又∠BCD=45°,所以△BCD为等腰直角三角形,所以CD⊥BD.因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD 平面BCD,所以CD⊥平面A'BD,故C正确.由E为BD的中点,得A'E⊥BD,又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,A'E 平面A'BD,所以A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC.假设A'D⊥BC,则由A'E∩A'D=A',可得BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,与已知矛盾,故假设不成立,故A错误.三棱锥A'-BCD的体积为××××=,故B错误.在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,所以A'C=.在△A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,满足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',DA'∩CA'=A',所以BA'⊥平面A'DC,因为BA' 平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正确.故选CD.
16.解:(1)证明:取PD的中点M,连接AM,ME,如图.
因为E,M分别为PC,PD的中点,所以ME∥CD且ME=CD,
又AB∥CD且AB=CD,
所以ME∥AB且ME=AB,
所以四边形ABEM为平行四边形,所以AM∥BE.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥平面PAD,
又AM 平面PAD,所以AM⊥CD.
因为PA=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD,
又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,
所以AM⊥平面PCD,所以BE⊥平面PCD.
(2)取AD的中点O,在平面ABCD内过O作OH⊥BC,交CB的延长线于H,连接PO,PH,
因为PA=PD,O为AD的中点,所以PO⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD.
因为BC 平面ABCD,所以PO⊥BC.
因为PO∩OH=O,所以BC⊥平面POH,
又PH 平面POH,所以BC⊥PH,
所以∠PHO为二面角P-BC-D的平面角.
设AD=2,则PO=,OH=,则tan∠PHO==,则cos∠PHO=,
所以二面角P-BC-D的余弦值为.