9.1.2 分层随机抽样 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.2　分层随机抽样
一、选择题
1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.都是从总体中逐个抽取
B.都包含抽签法和随机数法
C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相同
D.都是将总体分成几层,分层进行抽取
2.下列情境中,适合用比例分配的分层随机抽样的方法抽样的是 (　 )
A.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人
B.从20台彩色电视机中抽取6台进行质量检验
C.从某生产线生产的1000个零件中抽取10个,对某种指标是否合格进行检验
D.从某校高一年级1班的30名学生中抽取3名参加演讲比赛
3.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品,产量分别为200件、300件、400件.为检验产品的质量,现按比例分配的分层随机抽样的方法,从以上所有的产品中抽取45件进行检验,则抽取的甲、乙两种型号产品的件数之和为 (　 )
A.30 B.15 C.20 D.25
4.已知某地区中小学生的人数和近视情况如图所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 (　 )
A.400,40 B.200,10
C.400,80 D.200,20
5. 高一某班有男生35人、女生15人,用比例分配的分层随机抽样的方法从全班学生中抽取一个样本量为10的样本,抽出的男生的平均体重为70 kg,抽出的女生的平均体重为50 kg,则估计该班学生的平均体重是 (　 )
A.54 kg B.60 kg C.64 kg D.65 kg
6.在100个零件中,有一级品20个、二级品30个、三级品50个,从中抽取20个作为样本.
方法一:采用简单随机抽样的方法,将零件编号为00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个.
方法二:采用比例分配的分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.
对于上述问题,下列说法正确的是 (　 )
①不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每1个零件被抽到的可能性都是;
②采用不同的方法,这100个零件中每1个零件被抽到的可能性各不相同;
③在上述两种抽样方法中,方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征;
④在上述两种抽样方法中,方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征.
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
7.某高中在校学生有2000人,为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
跑步 a b c
登山 x y z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为200的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取 (　 )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
8.(多选题)[2024·江西上饶高一期末] 某高中在有120名同学的社团中随机抽取30名参加一个交流会.若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法,则应从高一年级抽取10人;若按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法,则应从男生中抽取18人.给出下列说法,其中正确的有 (　 )
A.样本容量为30
B.120名社团成员中的男生有72人
C.高二与高三年级的社团成员共有80人
D.高一年级社团成员中的女生最多有48人
9.(多选题)已知某公司共有员工20 000人,30岁以下的员工有8000人,30岁到50岁的员工有10 000人,为了了解公司员工的身体情况,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为2000的样本,得到身体健康状况良好的人数占所在年龄段人数的比例如下:30岁以下的为99%,30岁到50岁的为98%,50岁以上的为96%.下列说法正确的是 (　 )
A.从50岁以上的员工中抽取了200人
B.每名员工被抽到的概率均为
C.估计该公司员工身体健康状况的良好率为97.7%
D.估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁到50岁
二、填空题
10.某校高二年级选择“理化生”“理化地”“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480,40,120和80,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动,则从“史政生”组合中选出的学生人数为　　　　.
11.高一和高二两个年级的同学参加数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为160的样本,得到高一和高二两个年级的平均成绩分别为80分和90分,则从高一、高二两个年级分别抽取的学生人数为　　　　,据此估计此次数学竞赛的平均成绩为　　　　分.
12.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有400人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个样本量为50的样本进行调查,则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取　　　　人.
三、解答题
13.某单位有2000名职工,老年人、中年人、青年人分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示:
管理 技术开发 营销 生产 合计
老年人 40 40 40 80 200
中年人 80 120 160 240 600
青年人 40 160 280 720 1200
合计 160 320 480 1040 2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,应怎样抽取
(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪资调整方案的座谈会,应怎样抽取出席人
14.某武警大队共有甲、乙、丙三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了30人进行射击考核,统计得到三支中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,估计该武警大队队员的平均射击水平.
15.现有如下问题:“今有甲持钱三百六十,乙持钱二百八十,丙持钱二百,凡三人俱出关,关税六十五钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其译文为:今有甲持360钱,乙持280钱,丙持200钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共65钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税 下列说法错误的是 (　 )
A.甲应付钱
B.乙应付钱
C.丙应付钱
D.三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少
16.已知x1,x2,…,xn的平均数为x,y1,y2,…,ym的平均数为y(x≠y).若x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数为z=ax+(1-a)y,其中09.1.2　分层随机抽样
1.C　[解析] 简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同.故选C.
2.A　[解析] A中,总体由差异明显的三部分构成,适合用比例分配的分层随机抽样的方法;B,D中总体中的个体数较小,适合用简单随机抽样的方法;C中总体中的个体无明显差异,故不适合用比例分配的分层随机抽样的方法.故选A.
3.D　[解析] 根据题意,抽取的甲种型号产品的件数为×45=10,抽取的乙种型号产品的件数为×45=15,所以抽取的甲、乙两种型号产品的件数之和为10+15=25.故选D.
4.A　[解析] 用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量为(3500+4500+2000)×4%=400,抽取的高中生近视人数为2000×4%×50%=40.故选A.
5.C　[解析] 根据题意可知应抽取男生7人、女生3人,又抽出的男生的平均体重为70 kg,抽出的女生的平均体重为50 kg,所以估计该班学生的平均体重是=64(kg).故选C.
6.B　[解析] 根据两种抽样方法的特点知,不论采用哪种抽样方法,总体中每个个体入样的可能性都相等,都是,故①正确,②错误;因为总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),所以方法二抽到的样本更有代表性,故③正确,④错误.故选B.
7.A　[解析] 根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取120×=36(人).
8.ABC　[解析] 对于A,从中随机抽取30名同学,则样本容量为30,故A正确;对于B,设120名社团成员中的男生有n人,因为按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从男生中抽取18人,所以=,解得n=72,所以120名社团成员中的男生有72人,故B正确;对于C,设高二与高三年级的社团成员共有m人,因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从高一年级抽取10人,所以=,解得m=80,所以高二与高三年级的社团成员共有80人,故C正确;对于D,由C可知高一年级的社团成员有120-80=40(人),由B可知120名社团成员中的女生有120-72=48(人),故高一年级社团成员中的女生最多有40人,故D错误.故选ABC.
9.ABD　[解析] 对于A,由题可知,从50岁以上的员工中抽取了2000×=200(人),故A正确;对于B,每名员工被抽到的概率均为=,故B正确;对于C,估计该公司员工身体健康状况的良好率为×99%+×98%+×96%=98.2%,故C错误;对于D,估计该公司30岁以下员工中身体健康状况不良好的人数为8000×(1-99%)=80,30岁到50岁员工中身体健康状况不良好的人数为10 000×(1-98%)=200,50岁以上员工中身体健康状况不良好的人数为(20 000-8000-10 000)×(1-96%)=80,故估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁到50岁,故D正确.故选ABD.
10.8　[解析] 根据题意,从“史政生”组合中选出的学生人数为72×=8.
11.90,70　84.375　[解析] 由题意可得从高一年级抽取的学生人数为×160=90,从高二年级抽取的学生人数为×160=70,据此估计此次数学竞赛的平均成绩为×80+×90=84.375(分).
12.6　[解析] 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的,则“剪纸”社团的人数为400×=160.因为x∶y∶z=5∶3∶2,所以“剪纸”社团中高二年级学生的人数为160×=48,所以应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取48×=6(人).
13.解:(1)按年龄段采用比例分配的分层随机抽样的方法,从老年人中抽取4人,从中年人中抽取12人,从青年人中抽取24人.
(2)按岗位采用比例分配的分层随机抽样的方法,从管理岗位抽取2人,从技术开发岗位抽取4人,从营销岗位抽取6人,从生产岗位抽取13人.
14.解:该武警大队共有30+30+40=100(人),
则甲中队参加考核的人数为×30=9,乙中队参加考核的人数为×30=9,丙中队参加考核的人数为×30=12,
所以参加考核的30人的平均射击环数为×8.8+×8.5+×8.1=8.43,故估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
15.C　[解析] ∵360∶280∶200=9∶7∶5,∴甲应付×65=(钱),乙应付×65=(钱),丙应付×65=(钱),C中说法错误.故选C.
16.解:由题意得=x+y=ax+(1-a)y,
∴a=,1-a=.
∵0a,
∴>,∴m>n.