9.2.4　总体离散程度的估计 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4　总体离散程度的估计
一、选择题
1.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C. D.2
2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作为试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　 )
A.x1,x2,…,xn的平均数
B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值
D.x1,x2,…,xn的中位数
3.某人参加射击比赛,打了6发子弹,报靶数据如下:7,8,9,10,6,8(单位:环),则下列说法不正确的是 (　 )
A.这组数据的平均数是8
B.这组数据的极差是4
C.这组数据的中位数是8
D.这组数据的方差是2
4.[2024·长沙雅礼中学高一月考] 已知样本数据x1,x2,…,x2024的平均数和方差分别为3和56,若yi=2xi+3(i=1,2,…,2024),则y1,y2,…,y2024的平均数和方差分别是 (　 )
A.12,115 B.12,224
C.9,115 D.9,224
5.[2024·安徽六安裕安区高一期中] 2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动,某校为了迎接此次活动,对本校高一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下:
年级 抽查人数 平均时间 方差
高一 40 50 4
高二 60 40 6
则用样本估计总体,估计两个年级学生日阅读时间的方差为 (　 )
A.52 B.29.2
C.10 D.6.4
6.[2024·辽宁大连十二中高一月考] 某班在一次考试中的数学平均分为125分,方差为.成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误,A同学实际成绩137分,被错录为118分;B同学实际成绩115分,被错录为103分;C同学实际成绩98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为 (　 )
A.= B.>
C.< D.不能确定
7.王老师统计了自己三位学生近五次的定时训练成绩,其中1~5号为甲同学近五次成绩,6~10号为乙同学近五次成绩,11~15号为丙同学近五次成绩,相关信息如下:
(1)三人近五次定时训练成绩的平均数如下:
同学 甲 乙 丙
平均数 118 122 121
(2)三人近五次定时训练成绩统计图如图所示.
记甲、乙、丙近五次定时训练成绩的方差分别为,,,根据图表判断,,的大小关系为 (　 )
A.<< B.<<
C.<< D.<<
8.(多选题)[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 在学校组织的《爱我中华》主题演讲比赛中,有10位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列结论错误的是 (　 )
A.剩下评分的平均数变大
B.剩下评分的极差变小
C.剩下评分的方差变小
D.剩下评分的中位数变大
9.(多选题)2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”,“全民健身日”提升了全民健身意识,让健身成为一种习惯和风俗.为倡导健康生活方式,某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.如图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的折线统计图,则下列说法正确的是 (　 )
A.这一星期内甲的日步数的中位数小于乙的日步数的中位数
B.这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C.这一星期内乙的日步数的标准差小于甲的日步数的标准差
D.这一星期内乙的日步数的75%分位数是12 400
二、填空题
10.一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的标准差是　　　　.
11.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5都为正数,其方差s2=(++++-80),则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为　　　　.
12.[2024·江苏无锡天一中学高一期末] 某旅行团共有游客600人,其中男性400人,女性200人.为了获得该团游客的身高信息,采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位: cm),经计算得到男生样本的均值为170,方差为18,女生样本的均值为161,方差为30.根据以上数据,估计该旅行团游客身高的均值为　　　　;估计该旅行团游客身高的方差为　　　　.
三、解答题
13.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株,分别测量它们的株高如下(单位: cm):
甲:29,31,30,32,28;
乙:27,44,40,31,43.
请根据平均数和方差的相关知识,解答下列问题:
(1)哪种玉米苗长得高
(2)哪种玉米苗长得齐
14.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩,从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷,记录其物理成绩(单位:分),其中12名男生的物理成绩分别为72,68,72,76,80,76,72,80,88,68,72,76.
(1)求这12名男生物理成绩的平均数与方差;
(2)经计算得这8名女生物理成绩的平均数=70,方差=23,求这20名学生物理成绩的平均数与方差.
15.(多选题)[2024·河南南阳六校高一期末] 某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导,若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100,则认为该地区的环境治理达标,否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断,环境治理一定达标的地区是 (　 )
A.甲地区:平均数为90,方差为10
B.乙地区:平均数为60,众数为50
C.丙地区:中位数为50,极差为70
D.丁地区:极差为20,80%分位数为80
16. 某校有高中生2000人,其中男女生人数之比约为5∶4,为了获得该校全体高中生的身高信息,采取了以下两种方案:
方案一:采用比例分配的分层随机抽样方法,抽取了样本量为n的样本,得到频数分布表和频率分布直方图(如图).
身高(cm) [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195]
频数 m p q 6 4
方案二:采用分层随机抽样方法,抽取了男、女生样本量均为25的样本,计算得到男生样本的平均数为170,方差为16,女生样本的平均数为160,方差为20.
(1)根据图表信息,求n,q并补充完整频率分布直方图,估计该校高中生身高的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表).
(2)计算方案二中总样本的平均数及方差.
(3)计算两种方案总样本平均数的差,并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗 为什么
9.2.4　总体离散程度的估计
1.B　[解析] 这个样本的平均数=×(1+2+3+4+5)=3,标准差s==.
2.B　[解析] 标准差能反映一组数据的稳定程度,故选B.
3.D　[解析] 对于A,平均数为=8,故A中说法正确;对于B,极差为10-6=4,故B中说法正确;对于C,数据从小到大排序后为6,7,8,8,9,10,中位数为=8,故C中说法正确;对于D,方差为×[(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2]=,故D中说法不正确,故选D.
4.D　[解析] 因为样本数据x1,x2,…,x2024的平均数和方差分别为3和56,yi=2xi+3(i=1,2,…,2024),所以y1,y2,…,y2024的平均数为2×3+3=9,方差为22×56=224.故选D.
5.B　[解析] 由题意,估计高一、高二学生日阅读时间的平均数=50×+40×=44(分钟),方差s2=[4+(50-44)2]×+[6+(40-44)2]×=29.2.故选B.
6.C　[解析] 设班级人数为n(n>0),因为118+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不变,且(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549<(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973,所以<.故选C.
7.A　[解析] 由统计图知,甲同学成绩的波动幅度最小,丙同学成绩的波动幅度最大,所以<<,故选A.
8.AD　[解析] 去掉一个最低评分和一个最高评分后剩下评分的平均数有可能变小,不变或变大,故A中结论错误;剩下评分的极差一定会变小,故B中结论正确;剩下评分的波动性变小,则方差变小,故C中结论正确;剩下评分的中位数不变,故D中结论错误.故选AD.
9.BC　[解析] 由折线图可得,甲一星期内的日步数从小到大排列为11 000,11 800,12 200,12 600,13 500,15 400,18 200,所以中位数为12 600;由折线图可得,乙一星期内的日步数从小到大排列为11 800,12 200,12 400,12 600,13 000,13 800,14 000,所以中位数为12 600.故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12 600,A错误;这一星期内甲的日步数的平均数为为×(11 000+11 800+12 200+12 600+13 500+15 400+18 200)=,这一星期内乙的日步数的平均数为×(11 800+12 200+12 400+12 600+13 000+13 800+14 000)=,因为>,故B正确;由折线图知,甲的波动程度较大,故方差较大,标准差较大,故C正确;乙一星期内的日步数从小到大排列为11 800,12 200,12 400,12 600,13 000,13 800,14 000,因为7×0.75=5.25,所以这一星期内乙的日步数的75%分位数是13 800,故D错误.故选BC.
10.10　[解析] 一组数据的方差是4,将这组数据中的每个数据都乘5,所得到的新数据的方差是52×4=100,故所得新数据的标准差为10.
11.11　[解析] 根据题意,设样本数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为,其方差s2=[(a1-)2+(a2-)2+(a3-)2+(a4-)2+(a5-)2]=(++++-2a1-2a2-2a3-2a4-2a5+5)=(++++-5),又s2=(++++-80),则有5=80,解得=4,则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为2+3=11.
12.167　40　[解析] 由题意可估计该旅行团游客身高的均值=×170+×161=167,估计该旅行团游客身高的方差S2=×{400×[18+(170-167)2]+200×[30+(161-167)2]}=40.
13.解:(1)甲种玉米苗株高的平均数=×(29+31+30+32+28)=×150=30(cm),
乙种玉米苗株高的平均数=×(27+44+40+31+43)=×185=37(cm),
∴<,故乙种玉米苗长得高.
(2)甲种玉米苗株高的方差=×[(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2]=2,
乙种玉米苗株高的方差=×[(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2]=46,
∴<,故甲种玉米苗长得齐.
14.解:(1)这12名男生物理成绩的平均数为=×(68×2+72×4+76×3+80×2+88)=75,
方差=×[(68-75)2×2+(72-75)2×4+(76-75)2×3+(80-75)2×2+(88-75)2]=.
(2)这20名学生物理成绩的平均数=+==73,
方差s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×+×[23+(70-73)2]=33.
15.AD　[解析] 故最大值不大于100,该地区的环境治理达标,故D正确.故选AD.
16.解:(1)因为身高在区间[185,195]内的频率为0.008×10=0.08,频数为4,
所以n==50,故m=0.008×10×50=4,p=0.04×10×50=20,q=50-4-20-6-4=16,
所以身高在区间[165,175)内的频率为=0.32,在区间[175,185)内的频率为=0.12,由此可补充完整频率分布直方图:
由频率分布直方图可知,样本的平均数为150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10=12+64+54.4+21.6+15.2=167.2(cm).
因此可估计该校高中生身高的平均数为167.2 cm.
(2)把男生样本记为x1,x2,…,x25,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为y1,y2,…,y25,其平均数记为,方差记为,则总样本平均数=+==165.
因为
(3)两种方案总样本平均数的差为167.2-165=2.2.
用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计不合适,
原因:没有按照等比例进行分层随机抽样,每个个体被抽到的可能性不同,因此样本的代表性比较差.