10.1.2　事件的关系和运算 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.2　事件的关系和运算
一、选择题
1.事件A与事件B的关系如图所示,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.A B
B.A B
C.A与B互斥而不对立
D.A与B互为对立事件
2.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是 (　 )
A.{2,4} B.{4,6}
C.{4,8} D.{2,8}
3.同时掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“向上的面都是正面”,事件B=“向上的面至少有一枚是正面”,则有 (　 )
A.A=B
B.A B
C.A B
D.A与B之间没有关系
4.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,设M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为 (　 )
A.M∪N B.M∩N
C.∩ D.∪
5.[2024·长沙雅礼中学高一月考] 有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是 (　 )
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
6.[2024·上海黄浦区高一期末] 掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若A表示事件“点数大于3”,B表示事件“点数为偶数”,则事件“点数为5”可以表示为 (　 )
A.∩B B.A∩
C.∪B D.A∪
7.[2024·河南创新发展联盟高一联考] 抛掷一枚质地均匀的骰子1次,事件A表示“掷出的点数大于2”,则与A互斥且不对立的事件是 (　 )
A.掷出的点数为偶数
B.掷出的点数为奇数
C.掷出的点数小于2
D.掷出的点数小于3
8.(多选题)[2024·重庆西南大学附中高一期中] 某家商场举行抽奖活动,小聪、小明两人共同前去抽奖,设事件A=“两人都中奖”;B=“两人都没中奖”;C=“恰有一人中奖”;D=“至少一人没中奖”.下列关系正确的是 (　 )
A.B∪C=D B.A∩C≠
C.C D D.B∩D=B
9.(多选题)从五个女生和四个男生中任选两个人参加某项活动,记A=“选出的两个人中至少有一个是女生”,B=“选出的两个人中至少有一个是男生”,C=“选出的两个人中恰有一个是男生”,D=“选出的两个人都是女生”,E=“选出的两个人中恰有一个是女生”,样本空间为Ω,下列结论正确的有 (　 )
A.C=E
B.A=B
C.D∩E≠
D.B∩D= ,B∪D=Ω
二、填空题
10.在掷一枚骰子的试验中,可以得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;C=“出现3点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;F=“出现6点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请根据这些事件,判断下列事件的关系:
(1)B　　　　H;
(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;
(4)A　　　　G;
(5)H=　　　+　　　+　　　+　　　;
(6)A+C+E=　　　　.
11.设某人向一个目标连续射击3次,用Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),则事件A1∩A2∩的含义是　　　　　　　　　　　　　　　　　　,事件的含义是　　　　　　　　　　　　.
12.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A=“恰有一件次品”;事件B=“至少有两件次品”;事件C=“至少有一件次品”;事件D=“至多有一件次品”.给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是　　　　.
三、解答题
13.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”.试用A,B,C的有关运算表示下列随机事件:
(1)甲未中靶;
(2)甲中靶而乙未中靶;
(3)三人中只有丙未中靶;
(4)三人中至少有一人中靶;
(5)三人中恰有两人中靶.
14.[2023·天津河北区高一期末] 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
15.某班对学生订阅数学、语文、英语学习资料进行调查,其中A表示订阅数学学习资料,B表示订阅语文学习资料,C表示订阅英语学习资料,试用A,B,C表示下列事件:①D=“至少订阅一种学习资料”,则D=　　　　　　　;②E=“恰好订阅两种学习资料”,则E=　　　　　　　　.
16.某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
(1)事件A1包含多少个样本点
(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的关系
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系
10.1.2　事件的关系和运算
1.C　[解析] 由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥而不对立,故选C.
2.C　[解析] {2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.
3.C　[解析] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,其样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故选C.
4.C　[解析] 由题图可知,该段电路没有故障,即甲没有故障,乙也没有故障,所以表示该段电路没有故障的事件为∩.故选C.
5.C　[解析] 根据对立事件的概念,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.
6.B　[解析] ∩B表示“点数为2”, A∩表示“点数为5”, ∪B表示“点数为1或2或3或4或6”, A∪表示“点数为1或3或4或5或6”,故选B.
7.C　[解析] 由题意,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},而事件A={3,4,5,6},“掷出的点数为偶数”包含的样本点为2,4,6,与A不互斥,“掷出的点数为奇数”包含的样本点为1,3,5,与A不互斥,“掷出的点数小于2”包含的样本点为1,与A互斥且不对立,“掷出的点数小于3”包含的样本点为1,2,与A对立.故选C.
8.ACD　[解析] 对于A,事件B∪C为“至多一人中奖”,即“至少一人没中奖”,所以B∪C=D,故A正确;对于B,事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖,为不可能事件,所以A∩C= ,故B错误;对于C,至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况,所以C D,故C正确;对于D,由C选项可知B D,所以B∩D=B,故D正确.故选ACD.
9.AD　[解析] 对于A,事件C,E均表示“选出的两个人是一个男生和一个女生”,则C=E成立,故A正确;对于B,事件A=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是女生”,事件B=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是男生”,则A=B不成立,故B错误;对于C,事件D,E包含的样本点都不相同,则D∩E= ,故C错误;对于D,事件B,D包含的样本点都不相同,则B∩D= ,事件B=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是男生”,事件D=“选出的两个人都是女生”,则B∪D包含了样本空间中所有的样本点,∴B∪D=Ω,故D正确.故选AD.
10.(1) 　(2) 　(3) 　(4)=　(5)A　B　C　D　(6)I
[解析] 因为事件A,B,C,D发生时,事件H必然发生,故B H,同理D J,E I,易知事件A与事件G相等,即A=G.因为H={1,2,3,4},A={1},B={2},C={3},D={4},所以H=A∪B∪C∪D,即H=A+B+C+D,同理A+C+E=I.
11.第一次和第二次射击都击中目标,第三次射击没有击中目标
第一次和第二次射击都没有击中目标　[解析] A1∩A2∩表示第一次和第二次射击都击中目标,第三次射击没有击中目标,表示第一次和第二次射击都没有击中目标.
12.①②　[解析] 事件A∪B=“至少有一件次品”,即事件C,所以①正确;事件A∩B= ,所以③不正确;事件D∪B表示至少有两件次品或至多有一件次品,包含了所有样本点,所以②正确;事件A∩D表示恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故填①②.
13.解:(1)甲未中靶:.
(2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A.
(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB.
(4)三人中至少有一人中靶:.
(5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC).
14.解:(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
(2)由(1)知,R∩G= ,而R∪G Ω,所以事件R,G互斥且不对立;M∩N= ,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件.
(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.
15.①A+B+C　②AB+BC+AC　[解析] ①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A或事件B或事件C发生,故D=A+B+C.②恰好订阅两种学习资料的事件包含订阅数学和语文学习资料的事件AB,订阅语文和英语学习资料的事件BC,订阅数学和英语学习资料的事件AC,它们彼此互斥,故E= AB+BC+AC.
16.解:(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共包含12个样本点.
(2)事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.