10.1.3　古典概型 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.3　古典概型
一、选择题
1.下列概率模型是古典概型的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出1个球,观察球的颜色
B.在适宜条件下,种下一粒种子,观察它是否发芽
C.在平面直角坐标系内任取一点P,观察点P是否在第一象限
D.从直径为(120±0.3)mm的零件中取出一个,测量它的直径
2.考试的时候小明忘记了egg(鸡蛋)怎么写,只记得有e,g,g三个字母,就随机写了一个,则他写对的概率为 (　 )
A. B. C. D.
3.随机抛掷两枚质地均匀的骰子,则得到的两枚骰子的点数之和是4的倍数的概率是 (　 )
A. B. C. D.
4.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为 (　 )
A. B. C. D.
5.[2024·安徽六安高一期末] 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”,如16=5+11.在不超过12的质数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率为 (　 )
A. B. C. D.
6.[2024·重庆十八中高一月考] 在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外完全相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足|m-n|≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则两人“心领神会”的概率是 (　 )
A. B. C. D.
7.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这两人在不同层离开电梯的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)在一个古典概型中,若两个不同的随机事件A,B发生的概率相等,则称A和B是“等概率事件”,如:抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”.关于“等概率事件”,下列说法正确的是(　 )
A.在同一个古典概型中,所有的基本事件之间都是“等概率事件”
B.若一个古典概型的样本空间中样本点的个数大于2,则在这个古典概型中除基本事件外没有其他“等概率事件”
C.因为所有必然事件的概率都是1,所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D.同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”和“恰有两个正面向上”是“等概率事件”
9.(多选题)[2024·辽宁六校协作体高一联考] 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3的三个小球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是 (　 )
A.取出的两个球上标号为不同数字的概率为
B.取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为
C.取出的两个球上标号为相同数字的概率为
D.甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
二、填空题
10.袋子里装有大小与质地均相同的1个红球、1个白球和1个黑球,从中任取1个球,观察其颜色,该随机试验的样本空间为　　　　.
11. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4的四张标签,随机地选取两张标签,若标签的选取是无放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率为　　　　;若标签的选取是有放回的,则两张标签上的数字为相邻整数的概率为　　　　.
12.在△ABC中,边AB,AC的长度分别为5,12,从8,9,10,…,15,16这9个正整数中任选一个数作为边BC的长度,则△ABC为钝角三角形的概率为 　　　　.
三、解答题
13.[2024·天津和平区高一期末] 一个盒子中装有4个编号依次为1,2,3,4的球,这4个球除号码外完全相同,采用有放回方式取球,先从盒子中随机取一个球,该球的编号为X,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为Y.
(1)写出试验的样本空间;
(2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”,事件B=“X14.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.
15.[2024·湖北荆州重点高中高一月考] 有2个信封,第一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4,第二个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8,甲、乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,得到两个数.为了对双方都公平,获胜规则不正确的是 (　 )
A.第一个信封内取出的数作为横坐标,第二个信封内取出的数作为纵坐标,所确定的点在直线y=x+4上甲获胜,所确定的点在直线y=-x+8上乙获胜
B.取出的两个数乘积不大于15甲获胜,否则乙获胜
C.取出的两个数的差的绝对值是偶数甲获胜,否则乙获胜
D.取出的两个数相加,得到的和为奇数甲获胜,否则乙获胜
16. 有甲、乙两个盒子,其中甲盒中有3个红球,2个白球;乙盒中有1个红球,4个白球(除颜色外,球的质地、大小完全相同).
(1)从甲盒中按先后顺序随机取两个球,取后不放回,则至少取得一个红球的概率是多少
(2)现在从两个盒子中任意选择一个,再从中任意摸出一球,如果摸到的是红球,你认为选择的是哪个盒子 做出你的判断,并说说你的想法,你认为能否做出完全正确的判断
10.1.3　古典概型
1.A　[解析] 古典概型满足两个条件:①有限性:样本空间的样本点只有有限个;②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.对于A,满足古典概型的两个条件,故A是古典概型;对于B,由于一粒种子是否发芽的可能性不一定相同,∴不满足古典概型的等可能性,故B不是古典概型;对于C,在平面直角坐标系内任取一点P,观察点P是否在第一象限,样本空间的样本点有无数个,不满足古典概型的有限性,故C不是古典概型;对于D,试验的样本空间的样本点有无数个,不满足古典概型的有限性,故D不是古典概型.故选A.
2.C　[解析] 所有的样本点为(e,g,g),(g,e,g),(g,g,e),共有3个,故写对的概率为.故选C.
3.C　[解析] 随机抛掷两枚质地均匀的骰子,观察得到的点数,该试验的样本空间中样本点总数n=6×6=36.用事件B表示所得点数之和是4的倍数,则事件B包含的样本点有(1,3),(3,1),(2,2),(2,6),(6,2),(4,4),(3,5),(5,3), (6, 6),共9个,故所求的概率为P(B)==.故选C.
4.A　[解析] 依题意,甲、乙两人参加学习小组,样本空间中的样本点有(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9个,两人参加同一个小组包含的样本点有(A,A),(B,B),(C,C),共3个,∴两人参加同一个小组的概率P==.故选A.
5.B　[解析] 不超过12的质数有2,3,5,7,11,共5个,从这五个质数中随机选取两个不同的数包含的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10个,其中和为偶数包含的样本点有(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共6个,所以从不超过12的质数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率为=.故选B.
6.D　[解析] 根据题意,试验的样本点用(m,n)表示,则试验的样本空间Ω={(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(7,6),(7,7),(7,8),(7,9),(8,6),(8,7),(8,8),(8,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9)},共包含16个样本点,m,n满足|m-n|≤1包含的样本点有(6,6),(6,7),(7,6),(7,7),(7,8),(8,7),(8,8),(8,9),(9,8),(9,9),共10个,所以两人“心领神会”的概率是=.故选D.
7.C　[解析] 设这两人为A,B,则这两人离开电梯的样本空间Ω={(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A3,B5),(A3,B6),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),(A4,B5),(A4,B6),(A5,B2),(A5,B3),(A5,B4),(A5,B5),(A5,B6),(A6,B2),(A6,B3),(A6,B4),(A6,B5),(A6,B6)},共包含25个样本点.事件“两人在相同层离开电梯”包含(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6),共5个样本点,所以“两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点,所求概率P==,故选C.
8.AD　[解析] 根据古典概型的定义可知所有的基本事件之间都是“等概率事件”,故A正确;抛掷一枚质地均匀的骰子一次,该试验的样本空间中样本点的个数为6,且事件“奇数点朝上”和“偶数点朝上”是“等概率事件”,但这两个事件都不是基本事件,故B错误;由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的,故C错误;同时抛掷三枚质地均匀的硬币一次,则事件“恰有一个正面向上”的概率为,“恰有两个正面向上”的概率为,所以二者是“等概率事件”,故D正确.故选AD.
9.BCD　[解析] 由题意,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)},共包含9个样本点.对于A,取出的两个球上标号为不同数字的概率为=,A错误;对于B,取出的两个球上标号之积能被3整除包含的样本点有(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共5个,所以所求概率为,B正确;对于C,取出的两个球上标号为相同数字的概率为=,C正确;对于D,甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大包含的样本点有(2,1),(3,1),(3,2),共3个,所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为=,D正确.故选BCD.
10.{红球,白球,黑球}　[解析] 该随机试验的样本空间为{红球,白球,黑球}.
11.　　[解析] 若标签的选取是无放回的,则样本空间中的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12个,其中,事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6个,所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为=.若标签的选取是有放回的,则样本空间中的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,其中,事件“两张标签上的数字为相邻整数”包含的样本点有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6个,所以两张标签上的数字为相邻整数的概率为=.
12.　[解析] 由题意可知713,故BC的取值可以是8,9,10,14,15,16,共包含6个样本点,故△ABC为钝角三角形的概率为=.
13.解:(1)由题意可知,所有可能的样本点共有16个,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)由题意可知,A={(1,1),(1,2),(2,1)},共包含3个样本点,故P(A)=,B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共包含6个样本点,故P(B)==,
事件AB包含的样本点只有(1,2)一个,故P(AB)=.
14.解:(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.
从甲校和乙校的教师中各任选1名的所有样本点为(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9个.
选出的2名教师性别相同包含的样本点有(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4个,所以选出的2名教师性别相同的概率为.
(2)从甲校和乙校的6名教师中任选2名包含的样本点为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个.
选出的2名教师来自同一学校包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6个.所以选出的2名教师来自同一学校的概率为=.
15.A　[解析] 画树状图如图:
对于A,由树状图可知,共有16种等可能的结果,即样本空间包含的样本点个数为16,其中所确定的点在直线y=x+4上包含的样本点有(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),共4个,所确定的点在直线y=-x+8上包含的样本点有(1,7),(2,6),(3,5),共3个,故两种情况下的样本点个数不一样,即两种情况下概率不一样,选项A中获胜规则不正确;对于B,由树状图可知,两个数乘积大于15包含的样本点有(2,8),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),共8个,则两个数乘积不大于15包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项B中获胜规则正确; 对于C,由树状图可知,取出的两个数差的绝对值是偶数包含的样本点有(1,5),(1,7),(2,6),(2,8),(3,5),(3,7),(4,6),(4,8),共8个,则取出的两个数差的绝对值是奇数包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项C中获胜规则正确;对于D,由树状图可知,取出的两个数相加,得到的和为奇数包含的样本点有(1,6),(1,8),(2,5),(2,7),(3,6),(3,8),(4,5),(4,7),共8个,则取出的两个数相加,得到的和为偶数包含的样本点也有8个,故两种情况下的样本点个数一样,即两种情况下概率一样,选项D中获胜规则正确.故选A.
16.解:(1)甲盒中的3个红球记为a1,a2,a3,2个白球记为b1,b2,从甲盒中按先后顺序随机取两个球,取后不放回,样本空间中每个样本点用(M,N)表示,其中M,N都取自5个球中的任意一个,且不能重复,
即对M的每一种情况,N都有4种不同的情况与之对应,
而M有5种不同的情况,列举可知共有5×4=20(个)样本点.
取到的两个球都是白球包含的样本点有(b1,b2),(b2,b1),共2个,故至少取得一个红球的概率P==.
(2)参考答案一:选择的是甲盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒,故选择的应该是甲盒,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择乙盒的可能性.
参考答案二:选择的是乙盒,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率较低,但是不为0,
所以存在选择乙盒的可能性,但这种判断并不能保证完全正确,也存在选择甲盒的可能性.
参考答案三:无法判断,理由如下:
在甲盒中摸到红球的概率是,在乙盒中摸到红球的概率是,
都是概率不为0的随机事件,都有可能发生,所以无法判断.