10.2　事件的相互独立性 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2　事件的相互独立性
一、选择题
1.一个筐内有6个苹果和3个梨,有放回地从中任取1个水果,用A表示事件“第一次取出的是苹果”,用B表示事件“第二次取出的是梨”,则事件A和B是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相互独立事件 B.互斥事件
C.对立事件 D.以上都不正确
2.[2024·呼和浩特高一期末] 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9,0.8,且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次,则两人都命中的概率为 (　 )
A.0.08 B.0.18
C.0.25 D.0.72
3.若M,N是两个相互独立事件,P(M),P(N)分别表示它们发生的概率,则1-P(M)P(N)表示 (　 )
A.事件M,N同时发生的概率
B.事件M,N至多有一个发生的概率
C.事件M,N至少有一个发生的概率
D.事件M,N都不发生的概率
4.某校举办航天知识竞赛,竞赛设置了A,B,C三道必答题目.已知某同学能正确回答A,B,C题目的概率分别为0.8,0.7,0.5,且回答各题是否正确相互独立,则该同学最多有两道题目回答正确的概率为 (　 )
A.0.56 B.0.72 C.0.89 D.0.92
5.若P(A)=,P()=,P(A∪B)=,则事件A与B的关系为 (　 )
A.相互独立 B.互为对立
C.互斥 D.无法判断
6.[2024·福建莆田五中高一月考] 在如图所示的电路中,5个格子表示保险匣,格子中所示数据表示通电时保险丝熔断的概率,各保险丝是否熔断相互独立,则当开关合上时,电路畅通的概率是 (　 )
A. B. C. D.
7.[2024·广东惠州一中高一月考] 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记下骰子朝上面的点数,A1表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”,A2表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”,A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”,A4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”,则 (　 )
A.A3与A4为对立事件
B.A1与A3为相互独立事件
C.A2与A4为相互独立事件
D.A2与A4为互斥事件
8.(多选题) 已知随机事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.3,则下列结论正确的是 (　 )
A.如果B A,那么P(A∪B)=0.6,P(AB)=0.3
B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.9,P(AB)=0
D.如果A与B相互独立,那么P( )=0.28,P(B)=0.12
9.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果:记A=“Ⅰ号骰子出现的点数为1”,B=“Ⅱ号骰子出现的点数为2”,C=“两个点数之和为8”,D=“两个点数之和为7”,则 (　 )
A.A与B相互独立
B.A与D相互独立
C.B与C相互独立
D.C与D相互独立
二、填空题
10.已知A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(AB)=　　　　.
11.甲、乙两名同学进行篮球投篮练习,甲同学一次投篮命中的概率为,乙同学一次投篮命中的概率为,假设两人投篮命中与否互不影响,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率是　　　　.
12.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中比赛,采用五局三胜制(有球队先胜三局则比赛结束,不会出现平局).第一局独孤队获胜的概率为0.4,独孤队发挥受情绪影响较大,若前一局获胜,则下一局获胜概率增加0.1,反之降低0.1,且各局的结果相互独立,则独孤队不超过四局就能赢得比赛的概率为　　　　.
三、解答题
13.某公司入职笔试中有两道必答题,某应试者答对第一题的概率为0.9,答对第二题的概率为0.8,假设每道题目是否答对是相互独立的.
(1)求该应试者两道题都答对的概率;
(2)求该应试者只答对一题的概率.
14.[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 某校开展定点投篮项目测试,规则如下:共设定两个投篮点位,一个是三分线上的甲处,另一个是罚篮点位乙处,在甲处每投进一球得3分,在乙处每投进一球得2分.若前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试,否则将进行第三次投篮,每人最多投篮3次,若最终得分超过3分则通过测试,否则不通过.小明在甲处投篮的命中率为,在乙处投篮的命中率为,小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投,且各次的结果相互独立.
(1)求小明最终得3分的概率;
(2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过测试的概率更大.
15.[2024·江西九江一中高一期末] 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确的概率是,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是,各家庭是否回答正确互不影响,则甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确这道题的概率为　　　　.
16.[2024·广东佛山高一期中] 射箭是大家喜闻乐见的运动形式之一,某项赛事前,甲、乙两名运动员各射了一组(72支)箭进行赛前热身训练,下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息:
箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄心
区域颜色 白色 黑色 蓝色 红色 黄色
环数 1~2 3~4 5 6 7 8 9 10
甲成绩 (频数) 0 0 1 2 3 6 36 24
乙成绩 (频数) 0 1 2 4 5 12 36 12
用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平,并假设运动员竞技水平互不影响,运动员每支箭的成绩也互不影响.
(1)甲、乙各射出一支箭,求有人命中8环及以上的概率;
(2)甲、乙各射出两支箭,求共有3支箭命中黄心的概率.
10.2　事件的相互独立性
1.A　[解析] 由相互独立事件的定义可知选A.
2.D　[解析] 由题意得两人都命中的概率为0.9×0.8=0.72,故选D.
3.B　[解析] ∵事件M,N同时发生的对立事件为事件M,N至多有一个发生,M,N是两个相互独立事件,∴事件M,N至多有一个发生的概率为1-P(MN)=1-P(M)P(N),故选B.
4.B　[解析] 该同学A,B,C三道必答题目都回答正确的概率为P1=0.8×0.7×0.5=0.28,故该同学最多有两道题目回答正确的概率为P=1-P1=1-0.28=0.72.故选B.
5.A　[解析] 因为P(A∪B)==P(A)+P(B)-P(AB)=+-P(AB),所以P(AB)=,所以P(AB)==×=P(A)·P(B),故选A.
6.D　[解析] 当开关合上时,电路畅通即表示左边至中间畅通且中间至右边畅通,左边至中间畅通的概率为P1=1-×=,中间至右边畅通的概率为P2=1-×=,所以电路畅通的概率为P=P1P2=×=.故选D.
7.C　[解析] 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次的结果用有序数对表示,其中第一次在前,第二次在后,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.事件A1包含(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共6个样本点,P(A1)=.事件A2包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个样本点,P(A2)=.事件A3包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个样本点,P(A3)=.事件A4包含(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个样本点,P(A4)==.对于A,A3∩A4= ,A3∪A4≠Ω,所以A3与A4不为对立事件,故A错误;对于B,事件A1A3包含(2,4),共1个样本点,则P(A1A3)=,又P(A1)=,P(A3)=,所以P(A1)P(A3)=×≠P(A1A3),即A1与A3不相互独立,故B错误;对于C,事件A2A4包含(1,6),(3,4),(5,2),共3个样本点,则P(A2A4)=,又P(A2)=,P(A4)=,所以P(A2)P(A4)=×==P(A2A4),即A2与A4相互独立,故C正确;对于D,事件A2A4包含(1,6),(3,4),(5,2),共3个样本点,则A2∩A4≠ ,即A2与A4不为互斥事件,故D错误.故选C.
8.ABD　[解析] 对于A,如果B A,那么P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.3,故A正确;对于B,如果A与B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9,P(AB)=0,故B正确;对于C,如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.18,故C错误;对于D,如果A与B相互独立,那么P( )=P()P()=0.4×0.7=0.28,P(B)=P()P(B)=0.4×0.3=0.12,故D正确.故选ABD.
9.AB　[解析] 对于A,事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响,∴A与B相互独立,故A正确;对于B,P(A)=,P(D)=,P(AD)=,∴P(AD)=P(A)×P(D),∴A与D相互独立,故B正确;对于C,事件B发生与否与事件C发生与否有关系,∴B与C不是相互独立事件,故C错误;对于D,事件C发生与否与事件D发生与否有关系,∴C与D不相互独立,故D错误.故选AB.
10.　[解析] ∵A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,∴P(AB)=P(A)P(B)=×=.
11.　[解析] 设A,B分别表示事件“一次投篮中甲命中”和“一次投篮中乙命中”,所以P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人各投篮一次,恰有一人命中的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=×+×=.
12.0.236　[解析] 设Ai(i=1,2,3,4)为独孤队第i局获胜,由题意,独孤队不超过四局就赢得比赛的可能结果为四个互斥事件A1A2A3,A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,所以所求概率P=P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)=0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4×0.5+0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.3×0.4×0.5=0.236.
13.解:(1)设“该应试者两道题都答对”为事件A,
则P(A)=0.9×0.8=0.72.
(2)设该应试者只答对一题为事件B,则P(B)=0.9×(1-0.8)+(1-0.9)×0.8=0.26.
14.解:(1)设A=“小明在甲处投进”,B=“小明在乙处投进”,于是P(A)=,P(B)=,
故小明最终得3分的概率P=P(A )=P(A)P()P()=××=.
(2)小明选择都在乙处投篮,通过测试的概率P1=P(BB)+P(BB)+P(BB)=×+××+××=;
小明选择在甲处投一球,以后都在乙处投,通过测试的概率P2=P(AB)+P(AB)+P(BB)=×+××+××=.
因为P1-P2=-=>0,所以小明选择都在乙处投篮通过测试的概率更大.
15.　[解析] 甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为P1,P2,P3,由题意知P1=,(1-P3)=,则P3=,P2P3=P2·=,则P2=,所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有两个家庭回答正确这道题的概率P=P1P2(1-P3)+P1(1-P2)P3+(1-P1)P2P3=××+××+××=.
16.解:(1)甲、乙各射出一支箭,设A=“甲运动员命中8环及以上”,B=“乙运动员命中8环及以上”,C=“有人命中8环及以上”,
则P(A)==,P(B)==,
显然事件A,B相互独立,C=A∪B,
则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=+-×=,
∴甲、乙各射出一支箭,有人命中8环及以上的概率为.
(2)设Ai=“甲运动员第i支箭命中黄心”,Bi=“乙运动员第i支箭命中黄心”,i=1,2,
∴P(Ai)==,P(Bi)==,
设E=“共有3支箭命中黄心”,则E=A1A2B1+A1A2B2+A1B1B2+A2B1B2,
∵A1,A2,B1,B2相互独立,
A1A2B1,A1A2B2,A1B1B2,A2B1B2彼此互斥,
∴甲、乙各射出两支箭,共有3支箭命中黄心的概率为P(E)=P(A1A2B1+A1A2B2+A1B1B2+A2B1B2)=×××+×××+×××+×××=.