10.3.1 频率的稳定性+10.3.2 随机模拟 练习（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
一、选择题
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
B.试验得到的频率与概率不可能相等
C.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
D.频率等于概率
2.掷一枚质地均匀的硬币,用A表示正面向上这一事件,若掷10次,正面向上出现了6次,则A (　 )
A.发生的概率为
B.发生的概率接近
C.在这10次试验中发生的频率为
D.在这10次试验中发生的频率为6
3.下列说法正确的是 (　 )
A.随着试验次数的增大,随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B.某种福利彩票的中奖概率为,买1000张这种彩票一定能中奖
C.连续100次掷一枚质地均匀的硬币,结果出现了49次反面向上,则掷一枚质地均匀的硬币出现反面向上的概率为
D.某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是:该市气象台专家中,有70%认为明天会降水,30%认为明天不会降水
4.从存放着号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是 (　 )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
5.[2023·天津河东区高一期末] 用木块制作的一个四面体的四个面上分别标记1,2,3,4,重复抛掷这个四面体200次,记录每个面落在地上的次数(如表).下列说法正确的是 (　 )
四面体的面 1 2 3 4
频数 44 36 42 78
A.该四面体一定不是均匀的
B.再抛掷一次,估计标记2的面落地的概率为0.72
C.再抛掷一次,标记4的面一定落地
D.再抛掷一次,估计标记3的面落地的概率为0.21
6.[2024·广东佛山高一期中] 规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次命中8环以上,则成绩为优秀.根据以往经验某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手成绩优秀的概率.用计算机产生0~9之间的整数随机数,用0,1表示该次投掷没有命中8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷命中8环以上,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
据此估计,该选手投掷1轮,成绩优秀的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
7.[2024·安徽六安高一期中] 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
137　966　191　925　271　932　812　458
569　683　431　257　393　027　556　488
730　113　537　989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 (　 )
A.0.40 B.0.30
C.0.35 D.0.25
8.(多选题)[2024·福建师范大学附中高一期末] 下列说法错误的是 (　 )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,即每掷6次就有一次掷得点数6
B.抛掷一枚质地均匀的硬币,试验200次出现正面的频率不一定比试验100次出现正面的频率更接近概率
C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨
D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
9.(多选题)统计两支球队之间的100次比赛结果,其中甲胜的次数为55,乙胜的次数为18.记甲胜为事件A,乙胜为事件B,平局为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 (　 )
A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18
C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55
二、填空题
10.[2024·上海晋元高级中学高一月考] 在一个不透明的袋子中装有4个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验,发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有 　　　　个.
11.某同学做立定投篮训练,共做3组,每组投篮次数和命中的次数如下表所示.
第一组 第二组 第三组
投篮次数 100 200 600
命中的次数 68 125 369
命中的频率 0.68 0.625 0.615
根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,那么使误差较小的估计值最可能是　　　　.
12.[2024·重庆八中高一月考] 采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示击中目标,5,6,7,8,9,0表示未击中目标,以三个随机数为一组,代表三次发射的结果,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:
107　956　181　935　271　832　612　458　329　683　331　257　393　027　556　498　730　113　537　989
根据以上数据,估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为　　　　.
三、解答题
13.某乒乓球制造商生产了一批乒乓球,从中随机抽取100个,测得每个乒乓球的直径(单位:mm),将数据分组如下表:
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
(1)请将上表补充完整;
(2)已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,试估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率.
14.某学校有1200名学生,随机抽出300名进行调查研究,调查者设计了一个随机化装置,这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球、10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题:
问题1:你的阳历生日月份是不是奇数
问题2:你是否经常缺交作业
每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出后再放回袋中).若摸到红球,则如实回答第一个问题;若摸到绿球,则不回答任何问题;若摸到白球,则如实回答第二个问题.所有回答“是”的被调查者只需往一个盒子中放一颗小石子,回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53颗小石子,由此估计该学校经常缺交作业的学生人数是多少
15.某次战争期间,统计学家将缴获的A军坦克序列号作为样本,用样本估计总体的方法得出A军某月生产的坦克总数.假设A军某月生产的坦克总数是N,缴获的该月生产的n辆坦克序列号从小到大为x1,x2,…,xn,即最大序列号为xn,且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的,因为坦克的序列号是连续编号的,所以缴获坦克的序列号x1,x2,…,xn,相当于从[0,N]中随机抽取的n个整数,这n个数将区间[0,N]分成(n+1)个小区间,其中前n个区间已知,最右边的区间未知(由于N未知).由于这n个数是随机抽取的,所以可以用前n个区间的平均长度来估计所有(n+1)个区间的平均长度,进而得到N的估计值.例如,某月缴获坦克的序列号是3,8,12,18,20,24,则统计学家利用上述方法估计A军该月生产的坦克数约为　　　　辆.
16.甲、乙两支篮球队进行一局比赛(不会有平局),甲获胜的概率为0.6.若采用三局两胜制举办一次比赛(比满三局),试用随机模拟的方法求乙获胜的概率.
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
1.C　[解析] 对于A,概率是定值,故本选项错误;对于B,可以相等,如“抛硬币试验”,可得到正面向上的频率为0.5,与概率相等,故本选项错误;对于C,当试验次数很大时,频率稳定在概率附近,故本选项正确;对于D,频率只能估计概率,故本选项错误.故选C.
2.C 　[解析] 概率是频率的稳定值,A发生的概率等于,故A,B错误;A在这10次试验中发生的频率为=,故C正确,D错误.故选C.
3.A　[解析] 对于A, 随着试验次数的增大,随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率,概率是频率的稳定值,故A正确;对于B, 某种福利彩票的中奖概率为,买1000张这种彩票不一定中奖,故B错误;对于C, 连续100次掷一枚质地均匀的硬币,结果出现了49次反面向上,则在100次抛硬币的试验中出现反面向上的频率为,而掷一枚质地均匀的硬币出现反面向上的概率为,故C错误;对于D,某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”,指的是明天会降水的可能性为70%,故D错误.故选A.
4.A　[解析] 由题意知,∵有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,∴总次数是100,由表可以看出取到号码为奇数的卡片有13+5+6+18+11=53(次),∴频率==0.53,故选A.
5.D　[解析] 对于A选项,如果四面体是均匀的,那么理论上每个面落地的次数仍旧可能不一样,在均匀的条件下,随着试验次数的增多,每个面落地的次数将会变得越来越接近,换句话说,即使是均匀的四面体,仅仅在200次试验中,得到落地的面的统计结果也可能不一样,A选项错误.对于B,C,D选项,由于这200次试验中标记2,3,4的面落在地上的频率分别为,,,即0.18,0.21,0.39,B选项中所估计的概率0.72和频率0.18差距过大,C选项认为标记4的面一定落地,是必然事件,概率为1,但频率只有0.39,因此不能认为必然发生,B,C选项错误;D选项中估计标记3的面落地的概率是0.21,D选项正确.故选D.
6.A　[解析] 由题意可知,随机模拟试验产生了20组随机数,代表“3次中至少2次命中8环以上”的数组共18组,因此,估计该选手投掷1轮,成绩优秀的概率为=.故选A.
7.B　[解析] 由题意知,经随机模拟产生的20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有137,191,271,932,812,393,共6组随机数,所以估计所求概率为=0.30,故选B.
8.ACD　[解析] 在A中,抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,只能说明每掷6次就可能有一次掷得点数6,故A中说法错误;在B中,抛掷一枚质地均匀的硬币,由概率的定义得,试验200次出现正面的频率不一定比试验100次出现正面的频率更接近概率,故B中说法正确;在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性会下雨,故C中说法错误;在D中,随机事件A,B中至少有一个发生的概率不一定比A,B中恰有一个发生的概率大,如A=“掷一枚质地均匀的骰子一次,向上的点数是偶数 ”,B=“掷一枚质地均匀的骰子一次,向上的点数是奇数”,则A,B中至少有一个发生的概率是1,A,B中恰有一个发生的概率也是1,故D中说法错误.故选ACD.
9.ABC　[解析] 由频率估计概率得P(A)==0.55,故A正确;P(B)==0.18,故B正确;P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.55-0.18=0.27,故C正确;P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故D错误.故选ABC.
10.16　[解析] 设袋子中红球约有x个,根据题意,得=0.8,解得x=16,所以袋子中红球约有16个.
11.0.615　[解析] 由题意知,试验次数越多,频率越接近概率,对概率的估计误差就越小,所以使误差较小的估计值最可能是0.615.
12.　[解析] 根据题意,这20组随机数中表示一次也没有击中目标的有956,556,989,共有3组,所以估计三次发射至少有一次击中目标的概率P=1-=.
13.解:(1)
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10 0.1
[39.97,39.99) 20 0.2
[39.99,40.01) 50 0.5
[40.01,40.03] 20 0.2
合计 100 1.0
(2)标准尺寸是40.00 mm,若要使误差不超过0.03 mm,
则直径应落在[39.97,40.03]内.
由(1)中表知,直径落在[39.97,40.03]内的频率为0.2+0.5+0.2=0.9,所以估计这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率为0.9.
14.解:由题意可知,每个被调查者从袋中摸出红球、绿球、白球的概率都是,由此估计有300×=100(名)学生回答了第一个问题,有300×=100(名)学生不回答任何问题,有300×=100(名)学生回答了第二个问题.
易知每个被调查者的阳历生日月份是奇数的概率为,
所以可估计回答第一个问题的100名学生中大约有50名学生回答了“是”,所以我们能推出在回答第二个问题的100名学生中大约有3名学生回答了“是”,故该学校大约有3%的学生经常缺交作业,也就是全校大约有36名学生经常缺交作业.
15.28　[解析] 由于用前n个区间的平均长度估计所有(n+1)个区间的平均长度,而缴获坦克的编号是3,8,12,18,20,24,即n=6,x6=24,故=,所以N=28,即统计学家利用上述方法估计A军该月生产的坦克数约为28辆.
16.解:利用计算器或计算机生成0~9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜,6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数:
034　743　738　636　964　736　614　698　637　162
332　616　804　560　111　410　959　774　246　762
428　114　572　042　533　237　322　707　360　751
这就相当于做了30次重复试验.
如果一组随机数中恰有2个或3个数在{6,7,8,9}中,就表示乙获胜,那么满足条件的随机数分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.
所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为≈0.367.