第 九 章 统计 单元素养测评卷(四)（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

单元素养测评卷(四)
第九章
(时间:120分钟　分值:150分)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在简单随机抽样中,下列关于其中一个个体被抽到的可能性说法正确的是 (　　)
A.与第几次抽样有关,第一次被抽到的可能性更大一些
B.与第几次抽样有关,最后一次被抽到的可能性更大一些
C.与第几次抽样无关,每次被抽到的可能性都相等
D.与第几次抽样有关,第一次被抽到的可能性更小一些
2.某公司有员工15名,其中包含经理一名、保洁一名,为了调查该公司员工的工资情况,有两种方案:方案一,调查全部15名员工的工资情况;方案二,收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围,只调查其他13名员工的工资.这两种调查方案得到的数据,一定相同的是 (　　)
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
3.[2024·江西赣州高一期中] 随着老龄化时代的到来,某社区为了探讨社区养老模式,在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用比例分配的分层随机抽样方法发放了345份调查问卷,则在老年人中发放的调查问卷份数是 (　　)
A.110 B.115
C.120 D.125
4.[2024·广东汕尾高一期末] 现有随机选出的20个数据如下:
7　 24　39　54　61　66　73　82　82　82
87　91　95　8　 98　102 102 108 114 120
下列说法正确的是 (　　)
A.该组数据的众数为102
B.该组数据的极差为112
C.该组数据的中位数为87
D.该组数据的80%分位数为102
5.[2024·江西上饶高一期中] 某地发起“低碳生活知识竞赛”活动,选取了n人参与问卷调查,将他们的成绩进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),得到如图所示的频率分布直方图,若成绩在[90,100)内的人数为10,则n= (　　)
A.60 B.80
C.100 D.120
6.已知样本数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,若样本数据ax1+5,ax2+5,…,axn+5的平均数为4(a>0),方差为4s2,则= (　　)
A. B.-
C. D.
7.在某区高三年级举行的一次质量检测中,某学科共有3000人参加考试.为了解本次考试学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,样本容量为n,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图(如图所示).已知成绩在[50,60)内的人数为16,则下列结论正确的是 (　　)
A.样本容量n=1000
B.图中x=0.025
C.估计全体学生该学科成绩的平均数为70.6分
D.若将该学科成绩由高到低排序,前15%的学生该学科成绩为A等,则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等
8.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们成绩(环数)的频数分布图如图所示,则甲、乙、丙三人成绩的标准差s甲,s乙,s丙的大小关系是 (　　)
A.s丙>s乙>s甲 B.s甲>s丙>s乙
C.s丙>s甲>s乙 D.s乙>s丙>s甲
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知一组数据3,4,4,6,7,8,10,则该组数据的 (　　)
A.极差为7 B.众数为4
C.平均数为6 D.第60百分位数为6.5
10.某单位职工中,男性的平均体重为64千克,方差为151,女性的平均体重为56千克,方差为159,若男女人数之比为5∶3,设该单位全体职工的平均体重为千克,方差为s2,则 (　　)
A.=61 B.=60
C.s2=155 D.s2=169
11.为丰富优质旅游资源,释放旅游消费潜力,推动旅游业高质量发展,某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中,随机抽取部分游客进行调查,得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据,并绘制统计图如图所示,用样本估计总体,下列结论正确的是 (　　)
A.到该地旅游的游客中,估计青年人的人数是老年人的2倍多
B.抽取的这部分游客中,老年人的满意人数是青年人的2倍
C.抽取的这部分游客中,满意的中年人占总人数的24.5%
D.抽取的这部分游客中,满意人数超过一半
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知甲、乙两组数据从小到大排列,甲:27,28,39,m,49,50;乙:24,27,n,43,48,52.若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等,则=　　　　.
13.给出一组数据:6,4,3,6,3,8,8,3,1,8.这组数据的中位数是　　　　,方差是　　　　.
14.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市60 000名高一年级学生中随机抽取了400名,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示.从左至右五个小组的频率之比为5∶7∶12∶10∶6,则估计全市高一年级学生中视力在[3.95,4.25)内的学生有　　　　人.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某校按比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查,从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积之比,已知高二年级共有学生1200人,并从中抽取了40人.
(1)该校三个年级的学生总数为多少
(2)三个年级分别抽取了多少人
16.(15分)在一次考试中,有一道满分为10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一道题作答.某校有900名学生参加了本次考试,为了了解该校学生该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.
(1)若采用随机数法抽样,已知用计算机产生的若干0~9范围内取整数的随机数如下,以第1行第3个数5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端,写出样本编号的中位数;
0　6　5　1　2　9　1　6　9　3　5　8　0　5　7　7　0
9　5　1　5　1　2　6　8　7　8　5　8　5　5　4　8　7
6　6　4　7　5　4　7　3　3　2　0　8　1　1　1　2　4
4　9　5　9　2　6　3　1　6　2　9　5　6　2　4　2　9
4　8　2　6　9　9　6　1　6　5　5　3　5　8　3　7　7
8　8　0　7　0　4　2　1　0　5　0　6　7　4　2　3　2
1　7　5　5　8　5　7　4　9　4　4　4　6　7　1　6　9
4　1　4　6　5　5　2　6　8　7　5　8　7　5　9　3　6
2　2　4　1　2　6　7　8　6　3　0　6　5　5　1　3　0
8　2　7　0　1　5　0　1　5　2　9　3　9　3　9　4　3
(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4,样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1,用样本估计该校900名考生选做题得分的平均数与方差.
17.(15分)某地区100位居民的人均月用水量(单位:t)的分组及各组的频数如下:
[0,0.5),4;　 [0.5,1),8;　 [1,1.5),15;
[1.5,2),22;　[2,2.5),25;　[2.5,3),14;
[3,3.5),6;　 [3.5,4),4;　 [4,4.5],2.
(1)列出样本的频率分布表.
(2)补全频率分布直方图,并估计这组数据的平均数、中位数、众数.
(3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准,若超出标准则加倍收费,当地政府说,85%以上的居民不会超过这个标准,这个解释正确吗 为什么
18.(17分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在学校学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试,两人各加工的10个零件的相关数据如下面的图表所示(单位:mm).
平均数 方差 完全符合要求的个数
A 20 0.026 2
B 20 5
根据测试得到的有关数据,试解答下列问题:
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数,谁的成绩好些
(2)计算出的大小,考虑平均数与方差,谁的成绩好些
19.(17分)[2024·江西南昌高一期末] 某种植园在香瓜成熟时,随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜,称得其质量(单位:克)分别在[150,250),[250,350),[350,450),[450,550),[550,650)内,经统计绘制频率分布直方图如图所示.
(1)在样本中,按比例分配的分层随机抽样方法从质量在[250,450)内的香瓜中随机抽取了n个香瓜,其中质量在[250,350)内的香瓜有6个,求n的值.
(2)估计这组数据的平均数(同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表).
(3)某个体经销商来收购香瓜,同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表,用样本估计总体,已知该种植园中共有香瓜20 000个,经销商提出以下两种收购方案:方案①,所有香瓜以5元/500克的价格收购;方案②,对质量低于350克的香瓜以3元/个的价格收购,对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个的价格收购.请说明种植园选择哪种方案获得的金额更多
单元素养测评卷(四)
1.C　[解析] 在简单随机抽样中,每个个体每次被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关, A,B,D错误,C正确.故选C.
2.A　[解析] 由题意,公司15名员工的工资情况组成15个数据,按从大到小顺序排列,排在中间的数是中位数,去掉一个最大值和一个最小值,剩余13个数据按从大到小顺序排列,排在中间的还是原来的数,所以中位数不变;平均数是与每一个数据都有关系的量,方差也是与每一个数据都有关系的量,所以会变化;极差是与最大值和最小值有关系的量,所以也会发生变化.故选A.
3.C　[解析] 设在老年人中发放的调查问卷份数为x,则=,解得x=120,所以在老年人中发放的调查问卷份数是120.故选C.
4.D　[解析] 将数据按从小到大的顺序排列:7,8,24,39,54,61,66,73,82,82,82,87,91,95,98,102,102,108,114,120.对于A,出现次数最多的是82,所以该组数据的众数为82,故A错误;对于B,该组数据的极差为120-7=113,故B错误;对于C,因为20×50%=10,所以第10个数据和第11个数据的平均数为中位数,即该组数据的中位数为=82,故C错误;对于D,因为20×80%=16,所以第16个数据和第17个数据的平均数为80%分位数,即该组数据的80%分位数为=102,故D正确. 故选D.
5.C　[解析] 由图可知,10×(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+m)=1,解得m=0.01,则成绩在[90,100)内的频率为0.1,由0.1n=10,得n=100.故选C.
6.D　[解析] 由方差的性质,得ax1+5,ax2+5,…,axn+5的方差为a2s2,故a2=4,解得a=±2,因为a>0,所以a=2.由平均数的性质,得ax1+5,ax2+5,…,axn+5的平均数为a+5,故a+5=2+5=4,解得=.故选D.
7.C　[解析] 由频率分布直方图可得,成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内的频率依次为0.16,10x,0.4,0.1,0.04.对于A,∵成绩在[50,60)内的人数为16,∴=0.16,解得n=100,故A错误;对于B,由频率分布直方图可得0.16+10x+0.4+0.1+0.04=1,解得x=0.030,故B错误;对于C,由选项B可得,成绩在[60,70)内的频率为10x=0.3,∴估计全体学生该学科成绩的平均数为0.16×55+0.3×65+0.4×75+0.1×85+0.04×95=70.6(分),故C正确;对于D,设该学科成绩为A等的最低分数为m,∵成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的频率依次为0.4,0.1,0.04,而0.1+0.04=0.14<0.15<0.54=0.4+0.1+0.04,∴m∈[70,80),由(80-m)×0.04+0.1+0.04=0.15,解得m=79.75,虽然79.75>78,但79.75是估计值,有可能出现没有学生的成绩是79分的情况(学生成绩均为正整数),这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等,故D错误.故选C.
8.C　[解析] 设甲、乙、丙三人成绩的平均数分别为,,,由题图甲可知,==6,则=×(6×32+6×22+6×12+6×02+6×12+6×22+6×32)=4,∴s甲==2;由题图乙可知,==6,则=×(3×32+5×22+8×12+10×02+8×12+5×22+3×32)≈2.6,∴s乙≈≈1.6;由题图丙可知,==6,则=×(8×32+5×22+3×12+10×02+3×12+5×22+8×32)≈4.5,∴s丙≈≈2.1.综上可得,s丙>s甲>s乙.故选C.
9.ABC　[解析] 对于A,该组数据的极差为10-3=7,A正确;对于B,该组数据中4出现了2次,出现次数最多,因此众数是4,B正确;对于C,该组数据的平均数=×(3+4+4+6+7+8+10)=6,C正确;对于D,因为60%×7=4.2,所以该组数据的第60百分位数为从小到大排列后的第5个数据7,D错误.故选ABC.
10.AD　[解析] 依题意,设男职工的人数为5a,女职工的人数为3a,a>0,则=×64+×56=61,所以s2=×[151+(64-61)2]+×[159+(56-61)2]=169.故选AD.
11.ACD　[解析] 由扇形统计图可知,青年人占比为45%,老年人占比为20%,所以到该地旅游的游客中,估计青年人的人数是老年人的2倍多,故A正确;抽取的这部分游客中,满意的青年人占总人数的0.45×0.4×100%=18%,满意的中年人占总人数的0.35×0.7×100%=24.5%,满意的老年人占总人数的0.2×0.8×100%=16%,故B错误,C正确;抽取的这部分游客中,满意人数占总人数的18%+24.5%+16%=58.5%>50%,故D正确.故选ACD.
12.　[解析] 因为40%×6=2.4,50%×6=3,所以第40百分位数为n=39,第50百分位数为=41=,解得m=43,所以=.
13.5　　[解析] 由题知,将数据从小到大排列为1,3,3,3,4,6,6,8,8,8,则这组数据的中位数是=5,平均数为=5,则方差为×[(1-5)2+3×(3-5)2+(4-5)2+2×(6-5)2+3×(8-5)2]=.
14.7500　[解析] 由题图可知,第五个小组的频率为0.5×(5.45-5.15)=0.5×0.3=0.15,因为从左至右五个小组的频率之比为5∶7∶12∶10∶6,所以第一个小组、第五个小组的频率之比为5∶6,所以第一个小组的频率为0.15×=0.125,所以估计该市60 000名高一年级学生中视力在[3.95,4.25)内的学生人数为60 000×0.125=7500.
15.解:(1)由题图知,高二年级对应的角度为360°-150°-90°=120°.
设该校三个年级的学生总数为n,则=,解得n=3600,故该校三个年级的学生总数为3600.
(2)高一、高二、高三年级的学生人数之比为150∶120∶90=5∶4∶3,因为从高二年级抽取了40人,所以从高一、高二、高三年级所抽取的人数分别为50,40,30.
16.解:(1)根据题意,读出的编号依次是512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332.
将有效的编号从小到大排列,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,所以样本编号的中位数为×(647+687)=667.
(2)由题意得样本平均数=×7+×8=7.2,
样本方差s2=×[4+(7-7.2)2]+×[1+(8-7.2)2]=3.56,
所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2,方差为3.56.
17.解:(1)频率分布表如下.
分组 频数 频率
[0,0.5) 4 0.04
[0.5,1) 8 0.08
[1,1.5) 15 0.15
[1.5,2) 22 0.22
[2,2.5) 25 0.25
[2.5,3) 14 0.14
[3,3.5) 6 0.06
[3.5,4) 4 0.04
[4,4.5] 2 0.02
合计 100 1
(2)补全频率分布直方图如图.
估计这组数据的平均数为0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.22×1.75+0.25×2.25+0.14×2.75+0.06×3.25+0.04×3.75+0.02×4.25=2.02.
由频率分布表得,人均月用水量在[0,2)内的频率为0.04+0.08+0.15+0.22=0.49,
所以估计这组数据的中位数为2+=2.02.
因为频率分布直方图中[2,2.5)对应的矩形最高,所以估计这组数据的众数为=2.25.
(3)样本中人均月用水量在3 t及以上的居民所占的比例为6%+4%+2%=12%,
所以88%的居民人均月用水量在3 t以下,
因此政府的解释是正确的.
18.解:(1)由统计图表知,A与B两位同学的平均数相同,B同学加工的零件中完全符合要求的个数较多,所以B同学的成绩好些.
(2)因为=×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,且A同学的方差=0.026,所以>,在平均数相同的情况下,B同学的波动小,所以B同学的成绩好些.
19.解:(1)由题得==,所以n=15.
(2)由频率分布直方图知,各区间的频率依次为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08,
估计这组数据的平均数为0.17×200+0.20×300+0.30×400+0.25×500+0.08×600=387.
(3)选择方案①:由题意估计20 000个香瓜中,200克的有0.17×20 000=3400(个),300克的有0.20×20 000=4000(个),400克的有0.30×20 000=6000(个),500克的有0.25×20 000=5000(个),600克的有0.08×20 000=1600(个),则以5元/500克的价格收购,估计种植园获得的金额为×5=77 400(元).
选择方案②:估计20 000个香瓜中,质量低于350克的有(0.17+0.20)×20 000=7400(个),
质量高于或等于350克的有20 000-7400=12 600(个),
则对质量低于350克的香瓜以3元/个的价格收购,对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个的价格收购,估计种植园获得的金额为7400×3+12 600×5=85 200(元).因为85 200>77 400,
所以种植园选择方案②获得的金额更多.