第十章 概率 单元素养测评卷(五)（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

单元素养测评卷(五)
第十章
(时间:120分钟　分值:150分)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列事件:
①连续两次抛掷同一枚质地均匀的骰子,两次都出现2点;
②某人买彩票中奖;
③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素,它们的和大于2;
④在标准大气压下,水加热到90 ℃时会沸腾.
其中是随机事件的个数是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中任意摸出1个球,摸出红球的概率是0.3,摸出白球的概率是0.2,那么摸出黑球的概率是 (　　)
A.0.4 B.0.5
C.0.6 D.0.95
3.某地一种植物一年生长的高度如下表:
高度/cm [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
频数 20 30 80 40 30
用频率估计概率,则该植物一年生长的高度在[30,40)内的概率是 (　　)
A.0.80 B.0.65
C.0.40 D.0.25
4.从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是 (　　)
A.“至少有1件正品”与“都是次品”
B.“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”
C.“至少有1件次品”与“至少有1件正品”
D.“都是正品”与“都是次品”
5.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛,甲获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率:先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数,用1,2,3,4表示甲获胜,用5,6,7,8,9,0表示乙获胜,再以每3个随机数为1组,代表3局比赛的结果.经随机模拟产生了如下30组随机数:
102　231　146　027　590　763　245　207　310　386　350
481　337　286　139
579　684　487　370　175　772　235　246　487　569　047
008　341　287　114
据此估计这两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
6.[2024·南京六校高一期末] 从甲、乙两名男生,丙、丁两名女生中随机选两个人参加某项比赛,A表示事件“甲被选中参加比赛”,B表示事件“乙没被选中参加比赛”,C表示事件“被选中的两个人性别相同”,则 (　 )
A.A与B互斥 B.A与B独立
C.A与C互斥 D.A与C独立
7.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
8.甲、乙、丙三人参加英文演讲比赛,若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为,,,且三人是否获得一等奖相互独立,则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·安徽皖北六校高一联考] 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,则下列各组事件中,互斥的是 (　　)
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
10.[2024·重庆巴蜀中学高一期末] 一个袋子中有大小相同,标号分别为1,2,3,4的4个小球.采用不放回方式从中任意摸球两次,一次摸一个小球.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”,则 (　　)
A.P(A)=P(B)
B.P(AB)=
C.P(A∪B)=
D.P(AC)=
11.在某次测试中,对多项选择题的要求是:“在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.”已知某道多项选择题的正确答案是ABC,且某同学不会做该题(该同学至少选一项且可能全选),下列结论正确的是 (　　)
A.该同学仅随机选一个选项,能得分的概率是
B.该同学随机选择至少两个选项,能得分的概率是
C.该同学仅随机选三个选项,能得分的概率是
D.该同学随机选择选项,能得分的概率是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.掷一枚质地均匀的骰子,已知事件A=“掷出大于2的奇数点”,B=“掷出偶数点”,C=“掷出的点数小于3”,则BC=　　　　;A+B=　　　　 ;=　　　　.(用集合表示)
13.[2024·陕西汉中高一期末] 为充分挖掘“汉风古韵”文化内涵,某市创新策划了“汉风年,老家过”2024年迎新春系列文化活动,活动围绕“潮、赏、购、趣、游”5个主题开展.某公司计划从5个主题中任意选取2个主题制作吉祥物,则主题“游”当选的概率为　　　　 .
14.甲、乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6,0.8,两人在1小时内是否完成该项工作相互独立,则在1小时内甲、乙两人中只有一人完成该项工作的概率为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:
获奖人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;
(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,最少为3的概率为0.44,求y,z的值.
16.(15分)一只不透明的口袋内装有大小、质地相同,编号分别为1,2的两个球,从口袋内随机取一个球,记下号码后放回,这样重复取3次球,用有序实数组来表示样本点,如“(1,2,2)”表示第一次取到的是1号球,第二、第三次取到的都是2号球.
(1)请你写出该随机试验的样本空间Ω.
(2)记“前两次取到的号码相同”为事件A,“后两次取到的号码相同”为事件B.
①试判断事件A与事件B是否为相互独立事件;
②求P(A+B).
17. (15分)某学校开展“航天知识”竞赛活动,甲、乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题,甲队答对此题的概率是,乙队答对此题的概率是,假设每队答题正确与否是相互独立的.
(1)求甲、乙两队都答对此题的概率;
(2)求甲、乙两队至少有一队答对此题的概率.
18.(17分)某工厂为加强安全管理,进行安全生产知识竞赛,规则如下:在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得20分,否则得0分;第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答,每答对一题得20分,答错得0分.若两轮总得分不低于40分,则晋级复赛.甲和乙同时参赛,已知甲每个问题答对的概率都为0.6,在A类的5个问题中,乙只能答对4个问题,在B类的4个问题中,乙答对每个问题的概率都为0.4,甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率;
(2)以晋级复赛的概率大小为依据,甲和乙谁更容易晋级复赛
19.(17分)某高校为了更好地掌握学校毕业生的发展情况,成立了校友联络部,调查统计学生毕业后的就业、收入、发展、职业幸福感等情况.校友联络部在2023年已就业的毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查,经调查统计发现,他们的月薪在3000元到10 000元(不含10 000元)之间,将调查数据按照第1组[3000,4000),第2组[4000,5000),第3组[5000,6000),第4组[6000,7000),第5组[7000,8000),第6组[8000,9000),第7组[9000,10 000)分组,绘制成如图所示的频率分布直方图.若月薪落在区间(-2s,+2s)的左侧,则认为该毕业生属于“就业不理想”的学生,学校将联系本人并为该毕业生就业提供更好的指导意见,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,已知s≈1500.
(1)现该校毕业生小李月薪为3600元,试判断小李是否属于“就业不理想”的学生(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).
(2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,校友联络部现利用比例分配的分层随机抽样的方法从样本的第2组和第3组中抽取5人,各赠送一份礼品,并从这5人中再随机抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪少于5000元的概率.
(3)工作地在该校所在城市的该校毕业生共200人,他们决定于2024年元旦期间举办一次校友会,并收取一定的活动经费,假定这200人的月薪分布情况与所抽取样本中的100人的月薪分布情况相同.现有两种收费方案:
方案一:按每人一个月薪水的10%收取(同一组中的数据用该组区间的中点值代替);
方案二:月薪不低于7000元的每人收取800元,月薪不低于4000元但低于7000元的每人收取400元,月薪低于4000元的不收取任何费用.
问:哪一种收费方案最终总费用更少
单元素养测评卷(五)
1.B　[解析] 连续两次抛掷同一枚质地均匀的骰子,两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生,∴①是随机事件.某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生,∴②是随机事件.从集合{1,2,3}中任取两个不同元素,它们的和必大于2,∴③是必然事件.在标准大气压下,水加热到100 ℃时才会沸腾,∴④是不可能事件.故随机事件有2个,故选B.
2.B　[解析] 根据题意可知,从中摸出1个球,“摸出黑球”与“摸出红球”“摸出白球”是互斥事件,故所求概率P=1-0.3-0.2=0.5,故选B.
3.C　[解析] 根据表格中的数据,可得该植物一年生长的高度在[30,40)内的概率为=0.40.故选C.
4.D　[解析] 从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品,可能的结果为1件正品、1件次品,2件正品,2件次品.对于A,“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件,不符合题意;对于B,“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件,不符合题意;对于C,“至少有1件次品”包括1件正品、1件次品,2件次品,“至少有1件正品”包括1件次品、1件正品,2件正品,这两个事件不是互斥事件,不符合题意;对于D,“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件,符合题意.故选D.
5.B　[解析] 由题意知,在30组随机数中表示两位同学打3局比赛时甲恰好获胜2局的有102,146,245,310,481,337,139,235,246,共9组,故所求概率为=.故选B.
6.D　[解析] 由题意可知,随机选两个人参加某项比赛,其样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},则n(Ω)=6,事件A包含的样本点有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),则n(A)=3,所以P(A)==;事件B包含的样本点有(甲,丙),(甲,丁),(丙,丁),则n(B)=3,所以P(B)==;事件C包含的样本点有(甲,乙),(丙,丁),则n(C)=2,所以P(C)==;事件AB包含的样本点有(甲,丙),(甲,丁),则n(AB)=2,所以P(AB)==;事件AC包含的样本点有(甲,乙),则n(AC)=1,所以P(AC)==.对于选项A,因为n(AB)=2≠0,所以A与B不互斥,故A错误;对于选项B,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以A与B不独立,故B错误;对于选项C,因为n(AC)=1≠0,所以A与C不互斥,故C错误;对于选项D,因为P(AC)=P(A)P(C),所以A与C独立,故D正确.故选D.
7.D　[解析] 依题意,样本空间中包含的样本点有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个.由m·n=-b+2a=0,得b=2a,则m⊥n包含的样本点有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率P==.故选D.
8.D　[解析] 设甲、乙、丙获得一等奖分别是事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,则P()=1-=,P()=1-=,P()=1-=,则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+ P(A)P(B)P()=××+××+××=,这三人都获得一等奖的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=,所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率P=+=.故选D.
9.BD　[解析] 对于A,当从口袋中取出两个黑球时,事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生,所以事件“至少有一个黑球”与“都是黑球”不是互斥事件,所以A不符合题意;对于B,从口袋中取出两个球,事件“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生,但必有一个事件发生,所以事件“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件,也是互斥事件,所以B符合题意;对于C,当从口袋中取出一个红球和一个黑球时,事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生,所以事件“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件,所以C不符合题意;对于D,事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,当取出两个红球时,两个事件都没有发生,所以事件“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥事件而不是对立事件,所以D符合题意.故选BD.
10.ABD　[解析] 由题意知,摸球两次的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共包含12个样本点,事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},共包含6个样本点,事件B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},共包含6个样本点,事件C={(2,4),(4,2)},共包含2个样本点,所以AB={(1,2),(2,1)},共包含2个样本点,AC={(2,4)},共包含1个样本点,A∪B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},共包含10个样本点,利用古典概型的概率计算公式,可得P(A)=P(B)==,P(AB)==,P(A∪B)==,P(AC)=.故选ABD.
11.BC　[解析] 该同学随机选一个选项,共包含4个样本点,分别为A,B,C,D;随机选两个选项,共包含6个样本点,分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD;随机选三个选项,共包含4个样本点,分别为ABC,ABD,ACD,BCD;随机选四个选项,共包含1个样本点,即ABCD.对于A,仅随机选一个选项,能得分的概率是,故A错误.对于B,随机选择至少两个选项,能得分包含的样本点有AB,AC,BC,ABC,共4个,能得分的概率是=,故B正确.对于C,仅随机选三个选项,能得分包含的样本点只有ABC,则能得分的概率是,故C正确.对于D,随机选择选项,能得分的概率是=,故D错误.故选BC.
12.{2}　 {2,3,4,5,6}　 {1,3,5}　[解析] 因为A=“掷出大于2的奇数点”,B=“掷出偶数点”,C=“掷出的点数小于3”,所以BC={2},A+B={2,3,4,5,6},= {1,3,5}.
13. 　[解析] 由题设,任选2个主题包含的样本点有(潮,赏),(潮,购),(潮,趣),(潮,游),(赏,购),(赏,趣),(赏,游),(购,趣),(购,游),(趣,游),共10个,其中主题“游”当选包含的样本点有(潮,游),(赏,游),(购,游),(趣,游),共4个,所以主题“游”当选的概率为=.
14.0.44　[解析] 由相互独立事件的概率乘法公式可得,在1小时内甲完成该项工作而乙没有完成的概率为0.6×(1-0.8)=0.12,在1小时内乙完成该项工作而甲没有完成的概率为(1-0.6)×0.8=0.32,故所求概率为0.12+0.32=0.44.
15.解:记事件Ak=“在竞赛中,有k人获奖”(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥.
(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,
∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.
(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.
由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,
即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.
16.解:(1)根据已知,可得样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)},包含8个等可能的样本点.
(2)①由(1)可知,事件A包含的样本点有(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),故P(A)==;
事件B包含的样本点有(1,1,1),(2,1,1),(1,2,2),(2,2,2),故P(B)==;
事件AB包含的样本点有(1,1,1),(2,2,2),
故P(AB)==.
因为P(A)P(B)=×==P(AB),
所以事件A与事件B为相互独立事件.
②方法一:事件A+B包含的样本点有(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),(2,1,1),(1,2,2),故P(A+B)==.
方法二:设事件A+B的对立事件为C,则事件C包含的样本点有(1,2,1),(2,1,2),故P(C)==,
所以P(A+B)=1-P(C)=1-=.
方法三:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=.
17.解:(1)用A,B分别表示事件“甲、乙队答对此题”,
则P(A)=,P(B)=.
记事件M=“甲、乙两队都答对此题”,由于每队答题正确与否是相互独立的,
所以P(M)=P(A)·P(B)=×=,
故甲、乙两队都答对此题的概率为.
(2)记事件N=“甲、乙两队至少有一队答对此题”,由于每队答题正确与否是相互独立的,
故P(N)=1-P()=1-P()·P()=1-×=,
故甲、乙两队至少有一队答对此题的概率为.
18.解:(1)对A类的5个问题编号为a,b,c,d,e,设乙能答对的4个问题的编号为a,b,c,d.
第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,可用(x1,x2)表示选题结果,其中x1,x2为所选题目的编号,样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共包含10个样本点.
设事件E=“乙在第一轮比赛中得20分”,则E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共包含6个样本点,则乙在第一轮比赛中得20分的概率P==0.6.
(2)甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为0.62×(1-0.42)=0.302 4;
②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1-0.62)×0.62=0.230 4.
所以甲晋级复赛的概率P1=0.302 4+0.230 4=0.532 8.
乙晋级复赛分两种情况:
①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为0.6×[1-(1-0.4)2]=0.384;
②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为(1-0.6)×0.42=0.064.
所以乙晋级复赛的概率P2=0.384+0.064=0.448.
因为P1>P2,所以甲更容易晋级复赛.
19.解:(1)由频率分布直方图得,样本平均数=3500×1000×0.000 05+4500×1000×0.000 10+5500×1000×0.000 15+6500×1000×0.000 30+7500×1000×0.000 20+8500×1000×0.000 15+9500×1000×0.000 05=6650(元),
又样本标准差s≈1500,所以-2s≈6650-3000=3650>3600,
所以小李属于“就业不理想”的学生.
(2)第2组有1000×0.000 10×100=10(人),第3组有1000×0.000 15×100=15(人),按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人时,从第2组抽取2人,记为A,B,从第3组抽取3人,记为a,b,c,从这5人中随机抽取2人,样本空间Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},其中“恰有1人月薪少于5000元”包含的样本点为(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c).
根据古典概型概率公式可得,获赠智能手机的2人中恰有1人月薪少于5000元的概率P==.
(3)方案一:由(1)可知=6650元,按照方案一可得,最终总费用为6650×0.1×200=133 000(元).
方案二:月薪不低于7000元的共收取800×200×1000×(0.000 20+0.000 15+0.000 05)=64 000(元),月薪不低于4000元但低于7000元的共收取400×200×1000×(0.000 10+0.000 15+0.000 30)=44 000(元),所以最终总费用为64 000+44 000=108 000(元).
综上可知,方案二最终总费用更少.