10.1.1　有限样本空间与随机事件 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率
10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
【学习目标】
　　1.结合具体实例理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
　　2.了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
◆ 知识点一　有限样本空间
1.(1)随机试验的概念
对随机现象的实现和对它的观察称为　　　　,简称　　　　,常用字母E表示.
(2)随机试验的特点
①试验可以在相同条件下　　　　;
②试验的所有可能结果是　　　　　的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的　　　　,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.样本点、样本空间的概念与表示
定义 字母表示
样本点 随机试验E的　　　　　　　　　　称为样本点 用ω表示
样本空间 　　　　样本点的集合称为试验E的样本空间 用　　　 表示
有限 样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn, 则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为　　　　　 Ω={ω1, ω2,…,ωn}
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一次随机试验所有可能出现的结果只有一个. (　 )
(2)样本空间中可能含有多个样本点. (　 )
(3)抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,该试验的样本空间中含有两个样本点. (　 )
2.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生任意选报其中的两个,试确定该试验的样本点的个数.
◆ 知识点二　随机事件
1.随机事件
(1)概念:样本空间Ω的子集称为　　　　,简称事件. 只包含一个样本点的事件称为　　　　.
(2)表示:随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
(3)在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
2.必然事件
Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个　　　　发生,所以Ω总会发生,称Ω为　　　　.
3.不可能事件
空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,称 为　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)连续两周,每周的周五都下雨,可以断定第三周的周五还要下雨. (　 )
(2)在体育彩票摇号试验中,“摇出球的号码为奇数”是随机事件. (　 )
(3)必然事件与不可能事件不具有随机性. (　 )
2.“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件吗 试以“2024年李欢的高考数学成绩”为背景写一个不可能事件.
◆ 探究点一　随机试验的样本空间
例1 写出下列随机试验的样本空间:
(1)掷一枚骰子,记录出现的点数;
(2)将一枚骰子掷两次,记录出现的点数;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号.
变式 写出下列试验的样本空间:
(1)连续抛掷一枚硬币2次,观察正面、反面出现的情况;
(2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛,通过抽签确定演讲的顺序,记录抽签的结果;
(3)连续抛掷一枚骰子2次,观察2次掷出的点数之和;
(4)设袋中装有4个白球和6个黑球,从中不放回地逐个取出,直至白球全部取出,记录取球的次数.
[素养小结]
如何不重不漏地写出试验的样本空间:
(1)样本点是相对于条件而言的,要弄清试验的样本点,首先必须明确试验中的条件;
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有样本点,也可应用画树状图、列表等方法解决.
◆ 探究点二　随机事件、必然事件、不可能事件
例2 (1)下列事件中,随机事件的个数为 (　 )
①甲、乙两人下棋,甲获胜;
②小明过马路,遇见车的车牌号尾号是奇数;
③某种彩票的中奖率为99%,某人买一张此种彩票中奖;
④用任意平面截球,所得截面图形是椭圆.　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知下列事件:①任取一个整数,被2整除;②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分;③甲、乙两人进行竞技比赛,甲的实力远胜于乙,在一次比赛中甲一定获胜;④当圆的半径变为原来的2倍时,圆的面积是原来的4倍.其中必然事件的个数是 (　 )
A.0 B.1
C.3 D.4
变式 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)某人购买一注福利彩票,中奖500万元;
(2)三角形的内角和为180°;
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签;
(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现.
[素养小结]
对事件分类的两个关键点
条件 事件的分类是与一定的条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生
结果发 生与否 有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况
◆ 探究点三　随机事件的集合表示
例3 试验E:连续抛掷一枚硬币3次,观察正面、反面出现的情况.
(1)写出试验的样本空间;
(2)设事件A表示“第一次出现正面”,事件B表示“3次出现同一面”,事件C表示“至少出现一次正面”,试用集合表示事件A,B,C.
变式1 写出下列随机试验的样本空间,并用样本点组成的集合表示给出的随机事件.
(1)在1,2,3,4四个数字中可重复地取出两个数.
A=“一个数是另一个数的两倍”;B=“两个数互素”.
(2)甲、乙两人下一盘棋,观察结果.
A=“甲不输”;B=“没有人输”.
变式2 在试验“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察每次掷出的点数”中,指出下列随机事件的含义:
(1)A={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)};
(2)B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}.
[素养小结]
(1)随机事件的表示:先列出所有的样本点,再确定要求的随机事件包含哪些样本点,把这些样本点作为元素表示成集合即可.
(2)说明随机事件的含义:要先理解事件中样本点的意义,观察它们的规律,进而确定随机事件的含义.
第十章　概率
10.1　随机事件与概率
10.1.1　有限样本空间与随机事件
【课前预习】
知识点一
1.(1)随机试验　试验　(2)①重复进行　②明确可知　③一个
2.每个可能的基本结果　全体　Ω　有限样本空间
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:该学生选报兴趣小组的所有可能结果有数学和计算机、数学和航空模型、计算机和航空模型,所以该试验的样本点的个数为3.
知识点二
1.(1)随机事件　基本事件
2.样本点　必然事件
3.不可能事件
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.解:“2024年李欢的高考数学成绩在130分以上”是随机事件. “2024年李欢的高考数学成绩是256分”是不可能事件.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)掷一枚骰子,记录出现的点数,该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}.
(2)将一枚骰子掷两次,记录出现的点数,该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取出3只球,观察其编号,
该试验的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}.
变式　解:(1)第一次硬币向上的面与第二次硬币向上的面构成一个样本点,样本空间为{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.
(2)四位同学的一个排列构成一个样本点,样本空间为{甲乙丙丁,甲乙丁丙,甲丙乙丁,甲丙丁乙,甲丁乙丙,甲丁丙乙,乙甲丙丁,乙甲丁丙,乙丙甲丁,乙丙丁甲,乙丁甲丙,乙丁丙甲,丙乙甲丁,丙乙丁甲,丙甲乙丁,丙甲丁乙,丙丁乙甲,丙丁甲乙,丁乙丙甲,丁乙甲丙,丁丙乙甲,丁丙甲乙,丁甲乙丙,丁甲丙乙}.
(3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点,样本空间为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(4)白球全部取出,最少取4次,最多取10次,样本空间为{4,5,6,7,8,9,10}.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)根据随机事件的定义可知①②③是随机事件,④是不可能事件,所以随机事件的个数为3.故选C.
(2)①②③均可能发生也可能不发生,为随机事件,④一定发生,为必然事件.故选B.
变式　解:(1)某人购买一注福利彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件.
(2)所有三角形的内角和都为180°,所以是必然事件.
(3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件.
(4)同时抛掷两枚硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件.
(5)任意抽取,可能得到1,2,3,4号标签中的任意一张,所以是随机事件.
(6)由能量守恒定律可知,不需要任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件.
探究点三
例3　解:(1)试验E的所有可能结果共有8种,下面用字母H表示出现正面,字母T表示出现反面,则试验E的样本空间可以记为Ω={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H),(T,T,T)}.
(2)因为事件A表示“第一次出现正面”,所以满足要求的样本点共有4个,为(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),所以事件A={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T)}.
事件B表示“3次出现同一面”,所以满足要求的样本点共有2个,为(H,H,H),(T,T,T),所以事件B={(H,H,H),(T,T,T)}.
事件C表示“至少出现一次正面”,所以满足要求的样本点共有7个,为(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H).因此,事件C={(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(H,T,T),(T,H,H),(T,H,T),(T,T,H)}.
变式1　解:(1)在1,2,3,4四个数字中可重复地取出两个数,该试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.A=“一个数是另一个数的两倍”,则A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}.
B=“两个数互素”,则B={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)}.
(2)甲、乙两人下一盘棋,观察结果,该试验的样本空间Ω={甲胜,乙胜,和棋}.A=“甲不输”,则A={甲胜,和棋}.B=“没有人输”,则B={和棋}.
变式2　解:(1)观察事件A中所含的样本点(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)可知,每个样本点中第二个数均比第一个数大1,
因此,若事件A中所含的样本点出现其中一个,则“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生,
同时,若“第二次掷出的点数比第一次的大1”发生,则事件A中的样本点必出现其中一个,
故事件A的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,第二次掷出的点数比第一次的大1”.
(2)观察事件B中所含的样本点(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)可知,每个样本点中两个数的和均为5,
因此,若事件B中所含的样本点出现其中一个,则“两次掷出的点数之和为5”发生,
同时,若“两次掷出的点数之和为5”发生,则事件B中的样本点必出现其中一个,
故事件B的含义为“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,两次掷出的点数之和为5”.