10.1.2　事件的关系和运算 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.2　事件的关系和运算
【学习目标】
　　1.结合具体实例,了解随机事件的并、交与互斥的含义.
　　2.能结合实例用事件的并、交运算表达随机事件.
◆ 知识点　事件的关系和运算
1.包含关系
(1)定义:一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,就称事件B　　　　事件A(或事件A包含于事件B).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图①所示.
(3)相等事件的含义与表示:如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等,记作　　　　.
2.并事件
(1)含义:一般地,事件A与事件B　　　　　　发生,这样的一个事件中的样本点　　　　在事件A中,　　　　在事件B中,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图②所示.
3.交事件
(1)含义:一般地,事件A与事件B　　　　发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图③所示.
4.事件互斥
一般地,如果事件A与事件B　　　　发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即　　　　,则称事件A与事件B　　　　(或互不相容).如图④所示.
5.事件对立
(1)含义:一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且　　　,那么称事件A与事件B互为　　　　.
(2)表示:事件A的对立事件记为　　　　.如图⑤所示.
6.多个事件的和事件及积事件
对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.对于多个事件的和事件及积事件以此类推.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件. (　 )
(2)若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件. (　 )
(3)若事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件. (　 )
(4)在掷骰子试验中,“出现5点”和“出现6点”的和事件是“出现大于或等于5点”. (　 )
2.掷一枚骰子一次,记事件A=“出现的点数为2”,事件C=“出现的点数为偶数”,事件D=“出现的点数小于3”,则事件A,C,D三者之间有什么关系
◆ 探究点一　事件关系的表示与判断
例1 在分别标有号码1~10的10张光盘中任取一张,设事件A=“抽得一张号码不小于5的光盘”,事件B=“抽得一张号码为偶数的光盘”,事件C=“抽得一张号码能被3整除的光盘”.
(1)写出试验的样本空间及事件A,B,C(用集合形式表示).
(2)试将下列事件表示为样本点的集合,并分别说明下列事件的含义.
①AB;②A∪B;③;④.
变式 从某大学数学系图书室中任选一本书,设事件A={数学书},B={中文版的书},C={2022年以后出版的书}.问:
(1)A∩B∩表示什么事件
(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A
(3) B表示什么意思
(4)如果=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的
[素养小结]
事件间的运算方法:
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
◆ 探究点二　互斥事件与对立事件
例2 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件是否互斥或对立.
(1)“至少有1个白球”与“都是白球”;
(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”;
(3)“至少有1个白球”与“都是红球”.
变式 (1)某小组有5名男生和4名女生,从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是 (　 )
A.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”
B.“至少有3名男生”与“全是男生”
C.“至少有1名男生”与“全是女生”
D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是 (　 )
A.“恰有一个是奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
(3)(多选题)一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球(除颜色外其余均相同)各三个,现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”,事件Q表示“取出的球都是白球”,事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”,则下列结论错误的是 (　 )
A.P和R是互斥事件
B.P和Q是对立事件
C.Q和R是对立事件
D.Q和R是互斥事件,但不是对立事件
10.1.2　事件的关系和运算
【课前预习】
知识点
1.(1)包含　(2)B A　A B　(3)A=B
2.(1)至少有一个　或者　或者　(2)A∪B　A+B
3.(1)同时　(2)A∩B　AB
4.不能同时　A∩B= 　互斥
5.(1)A∩B= 　对立　(2)
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:A=C∩D,(A∩C) D等.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},事件A={5,6,7,8,9,10},B={2,4,6,8,10},C={3,6,9}.
(2)①AB={6,8,10},表示“抽得一张号码为不小于6的偶数的光盘”.
②A∪B={2,4,5,6,7,8,9,10},表示“抽得一张号码为偶数或不小于5的光盘”.
③={1,3,5,7,9},表示“抽得一张号码为奇数的光盘”.
④∵B∪C={2,3,4,6,8,9,10},
∴={1,5,7},表示“抽得一张号码为不能被3整除的奇数的光盘”.
变式　解:(1)A∩B∩={2022年或2022年以前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2022年以后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.
(3) B表示2022年或2022年以前出版的书全是中文版的.
(4)是,=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书,同时=B又可化成=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.
探究点二
例2　解:给2个红球编号为1,2,给2个白球编号为3,4,从口袋中任取2个球,用(x,y)表示取出的2个球,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.设事件A=“至少有1个白球”,则A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
(1)设B=“都是白球”,则B={(3,4)},所以B A,即A和B不互斥.
(2)设C=“至少有1个红球”,则C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},因为A∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},所以A和C不互斥.
(3)设D=“都是红球”,则D={(1,2)},因为A∪D=Ω,A∩D= ,所以A和D互为对立事件.
变式　(1)C　(2)A　(3)ABD　[解析] (1)“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件,但不是对立事件,排除A;“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生,不是互斥事件,排除B;“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,C正确;“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生,不是互斥事件,排除D.故选C.
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,在该试验中,设A=“两个都是奇数”,B=“一个奇数一个偶数”,C=“两个都是偶数”,则事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω(Ω为样本空间).对于A,“恰有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A,因为事件A和事件B不可能同时发生,所以是互斥事件,因为事件C发生时,事件A与B都不发生,所以A和B不是对立事件;对于B,“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C,显然不互斥;对于C,“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A,显然不互斥;对于D,“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C,显然不互斥.故选A.
(3)由题可知,样本空间Ω={(黑,黑),(黑,白),(白,白)},事件P={(黑,黑)},事件Q={(白,白)},事件R={(黑,黑),(黑,白)},所以P和R不是互斥事件,P和Q不是对立事件,Q和R是对立事件,故A,B,D中结论错误,C中结论正确.故选ABD.