10.1.4　概率的基本性质 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.4　概率的基本性质
【学习目标】
　　1.体会概率的概念,能够探索出概率的性质.
　　2.掌握随机事件概率的运算法则.
◆ 知识点　概率的基本性质
性质1　对任意的事件A,都有　　　　.
性质2　必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　　,P( )=　　　　.
性质3　如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　.
推广:如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=　　　　　　　　　　　　.
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(A)=　　　　,P(B)=　　　　.
性质5　如果A B,那么P(A)　　　　P(B).
推广:对于任意事件A,因为 A Ω,所以0　　　　P(A)　　　　1.
性质6　设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　　　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A与B互为对立事件,则P(A)=-P(B). (　 )
(2)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件. (　 )
(3)在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B). (　 )
2.已知P(A)=0.6,P(B)=0.1,若B A,则P(A∪B)=　　　　,P(AB)=　　　　.
◆ 探究点一　概率性质的直接应用
例1 (1)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.1
(2)从装有质地、大小均相同的2个红球和n个白球的口袋中随机取出1个球,若取到红球的概率是,则取到白球的概率为 (　 )
A. B. C. D.
(3)已知在一次随机试验E中,定义两个随机事件A,B,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∩B)=0.3,则P(A∪B)=　　　　.
变式 (1)给出下列说法,其中说法正确的是 (　 )
A.若A,B为一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
C.若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1
D.若A B,则P(A)(2)已知随机事件A和B互斥,A和C互为对立事件,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2,则P(C)= (　 )
A.0.8 B.0.7
C.0.6 D.0.5
(3)(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是 (　 )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
[素养小结]
1.在运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件,做到不重不漏,然后再利用概率加法公式计算.
2.利用对立事件的概率公式求解时,必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.
◆ 探究点二　求解复杂事件的概率
例2 盒子里装有红、黑、白、绿四种颜色的球共12个,从中任取1个球.记事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率;
(2)求事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率.
变式 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个题,其中选择题3个,判断题2个,甲、乙两人从中抽出2个题,每人抽1个题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
[素养小结]
求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化为彼此互斥的事件的概率的和;二是先求对立事件的概率,再求所求事件的概率.
拓展 袋内共有100个除颜色外完全相同的红球、白球和黑球,其中红球有45个,从袋中任意摸出1个球,摸出白球的概率是0.23.
(1)求袋内黑球的个数;
(2)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球或黑球的概率.
10.1.4　概率的基本性质
【课前预习】
知识点
P(A)≥0　1　0　P(A)+P(B)　P(A1)+P(A2)+…+P(Am)　1-P(B)　1-P(A)　≤　≤　≤
P(A)+P(B)-P(A∩B)
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.0.6　0.1　[解析] 因为P(A)=0.6,P(B)=0.1,B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.6,P(AB)=P(B)=0.1.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)B　(2)C　(3)0.4　[解析] (1)由题意知,从中任意取出2粒恰好是同一色的概率P=+=,故选B.
(2)“取到红球”与“取到白球”互为对立事件,故所求概率P=1-=.
(3)由题意P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.3-0.3=0.4.
变式　(1)C　(2)B　(3)BCD　[解析] (1)对于A,当A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),当A,B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),A选项错误;对于B,当事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,B选项错误;对于C,当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,C选项正确;对于D,由概率的性质可知,若A B,则P(A)≤P(B),D选项错误.故选C.
(2)由随机事件A和B互斥可知, P(A∪B)=P(A)+P(B),将P(A∪B)=0.5,P(B)=0.2代入计算可得P(A)=0.3,又A和C互为对立事件,所以P(A)+P(C)=1,解得P(C)=0.7.故选B.
(3)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A中说法正确;设A=“甲不输”,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B中说法错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C中说法错误;设B=“乙不输”,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D中说法错误.故选BCD.
探究点二
例2　解:方法一(应用互斥事件的概率加法公式求概率):
(1)事件“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)事件“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二(应用对立事件的概率公式求概率):
(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A∪B的对立事件为C∪D,
故“取出1个球为红球或黑球”发生的概率为P(A∪B)=1-P(C∪D)=1-[P(C)+P(D)]=1-=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A∪B∪C的对立事件为D,所以“取出1个球为红球或黑球或白球”发生的概率为P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-=.
变式　解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”包含的样本点有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”包含的样本点有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个;
“甲、乙都抽到选择题”包含的样本点有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6个;
“甲、乙都抽到判断题”包含的样本点有(p1,p2),(p2,p1),共2个.
因此样本点的总数为6+6+6+2=20.
(1)记事件A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,则P(A)==;
记事件B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,
则P(B)==.
故“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)记事件C=“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”,则事件=“甲、乙两人都抽到判断题”,
由题意得P()==,故“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1-P()=1-=.
拓展　解:(1)设袋内有x个黑球,则白球有(100-45-x)个,由题可知=0.23,解得x=32,故袋内黑球的个数为32.
(2)因为白球和黑球共有100-45=55(个),所以从袋中任意摸出1个球,摸到的球是白球或黑球的概率为=0.55.