10.2　事件的相互独立性 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2　事件的相互独立性
【学习目标】
　　1.结合具体实例,了解两个随机事件独立性的含义.
　　2.在熟悉的情境中,能够将古典概型与事件独立性相结合,计算简单问题的概率.
◆ 知识点一　两个事件相互独立
1.定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=　　　　　成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
2.事件A与事件B相互独立,即事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率　　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件相互独立. (　 )
(2)运动员甲射击一次,事件“射中9环”与“射中8环”相互独立. (　 )
(3)若P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,则事件E与事件F相互独立. (　 )
2.篮球比赛中罚球两次时,事件A表示“第一球罚中”,事件B表示“第二球罚中”,试问事件A与事件B是否相互独立
◆ 知识点二　事件相互独立的性质
1.如果事件A与B相互独立,那么　　　　　,　　　　,　　　　也都相互独立.
2.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A,B相互独立,则P( )=P()·P(). (　 )
(2)若事件A与B相互独立,则B与相互独立. (　 )
(3)对于两个相互独立的事件A与B,若P(A)=0.3,P(B)=0.4,则P(A)=0.18. (　 )
◆ 探究点一　事件相互独立的判断
例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件:
(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(2)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
(3)掷一枚质地均匀的骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
变式 (1)一袋中装有5个白球、3个黄球,有放回地每次随机摸出1个球,若A1=“第一次摸到的是白球”,A2=“第二次摸到的是白球”,则事件A1与是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
(2)(多选题) 设A,B为两个随机事件,若P(A)=,P(B)=,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若A B,则P(A∪B)=
B.若P(A∩B)=,则A,B相互独立
C.若A与B相互独立,则P(A∪B)=
D.若A与B相互独立,则P(∩)=
[素养小结]
判断两事件是否具有独立性的方法
(1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法:检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
需要注意的是,不要把相互独立事件与互斥事件、对立事件的概念混淆.
◆ 探究点二　相互独立事件概率的计算
例2 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为,在每次投篮中,甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)甲、乙各投篮一次,求恰好有1人命中的概率;
(2)甲、乙各投篮一次,求至少有1人命中的概率.
变式1 甲 乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和.求:
(1)两人都译出的概率;
(2)两人中至少有一人译出的概率;
(3)两人中至多有一人译出的概率.
变式2 现有甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采用7局4胜制,每局11分制,每赢一球得1分,选手只要得到至少11分,并且领先对方至少2分(包括2分),即赢得该局比赛.在一局比赛中,每人只发2个球就要交换发球权,如果双方比分为10∶10后,每人发一个球就要交换发球权.
(1)若在本场比赛中,前三局甲赢两局,乙赢一局,在后续比赛中,每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且每局比赛的结果相互独立,求甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率;
(2)若某局比赛中双方比分为8∶8,且接下来两球由甲发球,若甲发球时甲得分的概率为,乙发球时乙得分的概率为,各球的结果相互独立,求该局比赛甲得11分获胜的概率.
[素养小结]
1.准确理解互斥事件、相互独立事件的含义,灵活利用概率的加法和乘法公式解题.
2.利用“正难则反”解题,若所求事件的概率正面计算较烦琐时,可以从对立面入手求解.
拓展 [2024·江西上饶高一期末] 甲、乙两人组成“博学队”参加“博学少年”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
(2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.
10.2　事件的相互独立性
【课前预习】
知识点一
1.P(A)P(B)　2.没有影响
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)√
2.解:事件A与事件B相互独立.
知识点二
1.A与　与B　与　2.乘积
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,
若这一事件发生,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为,故前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件.
(3)记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},故P(A)==,P(B)==,P(AB)=,所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A与B相互独立.
变式　(1)A　(2)BD　[解析] (1)由题意可得=“第二次摸到的不是白球”,即=“第二次摸到的是黄球”,由于每次都是有放回地摸球,故每次摸球的结果互不影响,故事件A1与是相互独立事件.
(2)对于A,若A B,则P(A∪B)=P(B)=,A错误;对于B ,因为P(A)=,P(B)=,所以P(A)P(B)==P(A∩B),故A,B相互独立,B正确;对于C,因为A与B相互独立,所以,也相互独立,则P(A∪B)=1-P(∩)=1-P()P()=1-×=,C错误;对于D,若A与B相互独立,则,也相互独立,则P(∩)=P()P()=×=,D正确.故选BD.
探究点二
例2　解:(1)由题意,甲投篮一次命中的概率为,乙投篮一次命中的概率为,且甲和乙投篮是否命中相互没有影响,
所以甲、乙各投篮一次,恰好有1人命中的概率为×+×=.
(2)甲、乙各投篮一次,两人均没有命中的概率为×=,所以甲、乙各投篮一次,至少有1人命中的概率为1-=.
变式1　解:(1)甲、乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和,则两人都译出的概率为P1=×=.
(2)两人中至少有一人译出的概率为P2=×+×+×=.
(3)两人中至多有一人译出的概率为P3=1-×=.
变式2　解:(1)设事件A=“甲、乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”,若两局比赛就能结束本场比赛,则只能甲连胜两局,所以P(A)=×=.
(2)设事件B=“该局比赛甲得11分获胜”,甲得11分获胜有两类情况:甲连得3分,则甲11∶8获胜;甲得3分,乙得1分,则甲11∶9获胜,此时有三种情况,每球得分方分别为乙甲甲甲,甲乙甲甲,甲甲乙甲,
所以P(B)=××+×××+×××+×××=.
拓展　解:(1)设事件F=“甲两轮至少猜对一个数学名词”,
则 P(F)=2××+=+=.
(2)设事件A=“甲第一轮猜对”,B=“乙第一轮猜对”,C=“甲第二轮猜对”,D=“乙第二轮猜对”,
E=“‘博学队’在两轮比赛中猜对三个数学名词”,
所以P(A)=P(C)=,P(B)=P(D)=,P()=P()=,P()=P()=,则E=BCD∪ACD∪ABD∪ABC,由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=
P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=×××+×××+×××+×××=,
故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为.