10.3.1　频率的稳定性+10.3.2　随机模拟 导学案（含答案）.-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
【学习目标】
　　结合具体实例,会用频率估计概率.
◆ 知识点一　频率的稳定性
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有　　　　.一般地,随着试验次数n的　　　　,频率偏离概率的幅度会　　　　,即事件A发生的频率　　　　会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的　　　　.可以用频率fn(A)估计概率　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件的概率越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大. (　 )
(2)概率能反映随机事件发生可能性的大小. (　 )
(3)某种疾病治愈率为0.3,若前7个人没有治愈,则后3个人一定能治愈. (　 )
(4)试验次数n相同,频率fn(A)可能不同,这说明随机事件发生的频率具有随机性. (　 )
2.在相同条件下进行掷硬币的试验,若掷100次,记“正面向上”这一事件为A,此次试验中,出现反面向上的次数为53,则nA=　　　　　,fn(A)=　　　　.
◆ 知识点二　随机模拟
1.随机数的定义
随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会　　　　.
2.产生随机数的方法
(1)由试验(如摸球或抽签)产生随机数
例:产生1~25之间的随机整数.
①将25个大小形状相同的小球分别标上1,2,…,24,25,放入一个袋中,充分搅拌.
②从中摸出1个球,这个球上的数就是随机数.
(2)由计算器或计算机产生随机数
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,但不是真正的随机数,称为伪随机数.
称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用计算机进行随机模拟,可以在短时间内多次重复做试验,应用很广泛. (　 )
(2)用计算器或计算机产生随机数,既能保证操作简单、省时省力,又能保证等可能性. (　 )
◆ 探究点一　频率与概率的关系
[探索] 小明说:“做10次抛硬币试验,正面向上的次数一定是5.”这个说法对吗


例1 (1)容量为40的样本观测数据,分组后得到的频数分布表如下:
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 4 7 8 11 7 3
则样本观测数据落在区间[20,50)内的频率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0.35 B.0.45
C.0.55 D.0.65
(2)为了解某社区居民家庭人均月收入(百元)情况,调查了该社区80户居民的家庭人均月收入,列出频率分布表如下:
家庭人均 月收入 (百元) 第一组 [10,16) 第二组 [16,22) 第三组 [22,28) 第四组 [28,34) 第五组 [34,40) 第六组 [40,46]
频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1
则这80户居民中, 家庭人均月收入在[28,34)内的有　　　　户(用数字作答);假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该社区居民中随机抽取1户,估计该家庭为中低收入家庭的概率是　　　　.
(3)利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生,其中共青团员有320人,戴眼镜的有365人,若在这个学校中随机抽查1名学生,则估计他是共青团员的概率为　　　　,戴眼镜的概率为　　　　.
变式 (1)甲同学在数学探究活动中做抛硬币试验,共抛掷了2000次,其中正面朝上的有1034次,则下列说法正确的是 (　 )
A.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为0.517
B.甲同学的试验中,反面朝上的频率为0.483
C.抛掷一枚硬币,反面朝上的概率小于0.5
D.甲同学的试验中,正面朝上的频率接近0.517
(2)鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具,相传由春秋末期到战国初期的鲁班发明,它看似简单,却凝结着不平凡的智慧,易拆难装,十分巧妙,每根木条上的花纹是卖点,也是制作的关键.某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具,各生产了100件样品,样品分为一等品、二等品、三等品,根据销售部市场调研分析,得到相关数据如下(单件成本利润率=利润÷成本×100%):
甲款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 10% 8% 4%
频数 10 60 30
乙款鲁班锁玩具
一等品 二等品 三等品
单件成本利润率 7.5% 5.5% 3%
频数 50 30 20
①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,求该产品是一等品的概率;
②若甲、乙两款鲁班锁玩具各生产100件的投资成本均为20 000元,且每件的投资成本是相同的,分别求投资这两款鲁班锁玩具各100件所获得的利润.
[素养小结]
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近上下摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值,即为概率.
◆ 探究点二　随机模拟试验
例2 (1)用随机模拟的方法估计概率时,其准确程度取决于 (　 )
A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法
(2)天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少 (用随机模拟试验来解决,并给出关键步骤)
变式1 天气预报显示,某地连续四天,每天下雨的概率为0.6,现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率:在0~9十个整数值中,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨,6,7,8,9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数:
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869
3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460
7980 2436 5987 3882 0753 8935
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 (　 )
A. B. C. D.
变式2 某射击运动员每次击中目标的概率都是80%,若该运动员连续射击10次,用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率.
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
【课前预习】
知识点一
随机性　增大　缩小　fn(A)　稳定性　P(A)
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.47　0.47　[解析] 由题意知nA=47,fn(A)==0.47.
知识点二
1.相等
诊断分析
(1)√　(2)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:这个说法不对.因为每次试验的结果都是随机的,在试验前不能确定正面向上的次数.
例1　(1)D　(2)28　0.3　(3)0.64　0.73　[解析] (1)样本观测数据落在[20,50)内的频数为7+8+11=26,故所求频率为=0.65,故选D.
(2)a=1-(0.1+0.2+0.15+0.1+0.1)=0.35,所以这80户居民中,家庭人均月收入在[28,34)内的有80×0.35=28(户).频率分布表中第一组与第二组的频率之和为0.3, 所以可估计所求概率为0.3.
(3)500名学生中有共青团员320人,即共青团员出现的频率为=0.64,所以随机抽查1名学生,估计他是共青团员的概率为0.64.500名学生中戴眼镜的有365人,即戴眼镜的学生出现的频率为=0.73,所以随机抽查1名学生,估计他戴眼镜的概率为0.73.
变式　(1)B　[解析] 甲同学的试验中,正面朝上的频率为0.517,反面朝上的频率为0.483,故B正确;抛掷一枚硬币,正面朝上与反面朝上的概率均为0.5,为定值,故A,C错误;甲同学的试验中,正面朝上的频率就是0.517,而不是接近0.517,故D错误.故选B.
(2)解:①用频率估计概率,从这200件产品中随机抽取一件,该产品是一等品的概率为=.
②对于甲款鲁班锁玩具,一等品的利润为×10%×10=200(元),二等品的利润为×8%×60=960(元),三等品的利润为×4%×30=240(元),故100件甲款鲁班锁玩具所获得的利润为200+960+240=1400(元).
对于乙款鲁班锁玩具,一等品的利润为×7.5%×50=750(元),二等品的利润为×5.5%×30=330(元),三等品的利润为×3%×20=120(元),故100件乙款鲁班锁玩具所获得的利润为750+330+120=1200(元).
探究点二
例2　(1)B　[解析] 随机数的个数越多,由频率估计概率越准确,故选B.
(2)解:①设计模拟试验
利用计算机(计算器)产生0~9之间的取整数值的随机数,约定用0,1,2,3表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨,以体现下雨的概率是40%.连续产生三个随机数为一组,作为三天的模拟结果.
②进行模拟试验
例如:产生30组随机数,这就相当于做了30次重复试验.
③统计试验结果
在一组数中,若恰有两个数在{0,1,2,3}中,则表示三天中恰有两天下雨,统计出这样的随机数的组数n,则在30次试验中,三天中恰有两天下雨的频率为,故可估计所求概率为.
变式1　B　[解析] 由表中数据可得表示四天中恰有三天下雨的随机数有9533,9522,0018,0018,3281,8425,2436,0753,共8组,所以估计四天中恰有三天下雨的概率为=.故选B.
变式2　解:用随机模拟的方法估计其恰好有5次击中目标的概率的步骤如下:
(1)用1,2,3,4,5,6,7,8表示击中目标,用9,0表示未击中目标,这样可以体现击中的概率为80%;
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数,每10个作为一组,统计组数n;
(3)统计这n组数中恰有5个数在{1,2,3,4,5,6,7,8}中的组数m;
(4)连续射击10次恰好有5次击中目标的概率的近似值为.