9.2.3　总体集中趋势的估计导学案 （含答案）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.3　总体集中趋势的估计
【学习目标】
　　1.结合具体实例,经历用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)的过程,并理解集中趋势参数的统计含义.
　　2.结合具体实例,认识样本与总体的关系,逐步建立用样本估计总体的思想,尝试运用统计语言描述总体的特征.
◆ 知识点一　众数、中位数和平均数
1.众数、中位数和平均数的定义
(1)众数:一组数据中　　　　　　　的数.
(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于　　　位置的数.如果数据的个数是偶数,则取　　　两个数据的平均数.
(3)平均数:一组数据的　　　　除以数据个数所得到的数.
2.众数、中位数和平均数的比较
名称 优点 缺点
平均数 与中位数比较,平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分,对极端值不敏感
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)众数是一组数据中出现次数最多的数. (　 )
(2)平均数不一定是原数据中的数. (　 )
(3)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的.(　 )
◆ 知识点二　总体集中趋势的估计
1.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.
2.单峰频率分布直方图的平均数与中位数
形状 关系
对称 平均数与中位数差不多
右边“拖尾” 平均数大于中位数
左边“拖尾” 平均数小于中位数
平均数总是在“长尾巴”那边
3.对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均数、中位数;对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用　　　　.
◆ 知识点三　众数、中位数、平均数与频率
分布直方图
(1)平均数:在频率分布直方图中,样本平均数可以用每个小矩形底边中点的　　　　　与小矩形的　　　　的乘积之和近似代替.
(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该　　　　.
(3)众数:在频率分布直方图中,众数是　　　　小矩形底边的中点所对应的数据.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)样本的平均数是频率分布直方图中最高小长方形底边的中点对应的数据. (　 )
(2)若改变一组数据中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. (　 )
(3)众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量. (　 )
(4)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系,任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.(　 )
◆ 探究点一　平均数、中位数和众数的计算
例1 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高比赛的17名学生的成绩如下表所示:
成绩(单位:m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
分别求这17名学生成绩的众数、中位数与平均数(结果保留至小数点后两位).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式 (1)已知10名工人生产同一零件,生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,设这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
(2)已知一组数据5,2,x,5,8,9,且5A.6 B.6.5
C.7 D.7.5
◆ 探究点二　平均数、中位数、众数的应用
例2 某公司销售部有营销员15人,销售部为了制定某种商品的月销售定量,统计了这15人某月的销售量(单位:件),具体数据如下表所示:
销售量 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1)求这15人该月销售量的平均数、中位数和众数.
(2)假设销售部负责人把每位营销员的月销售定量定为320件,你认为是否合理 为什么 如不合理,请你制定一个较合理的月销售定量,并说明理由.
变式 下表是某校高一年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位:次):
一班 20 34 26 29 28 34 35 36 34 34 31
二班 26 28 30 28 30 31 30 36 30 31 30
(1)这两组数据的平均数,中位数和众数各是多少
(2)你认为用哪个数表示两个班的成绩更合适
[素养小结]
平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响较大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在较大的极端值;反之,说明数据中存在较小的极端值.
◆ 探究点三　根据频率分布直方图估计总体的集中趋势
例3 某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试,用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本,得到数学成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)估计图中a的值,并估计这1000名学生在这次测试中数学成绩不低于120分的人数;
(2)估计样本数据的中位数(结果保留1位小数);
(3)估计这1000名学生的数学成绩的平均数.
变式 某市为了了解学生的体能情况,从全市所有高一年级学生中按90∶1的比例随机抽取200人进行一分钟跳绳测试,将所得数据整理后,分为6组画出频率分布直方图(如图所示),由于操作失误,导致第一组和第二组的数据丢失,但知道第二组的频率是第一组频率的2倍.
(1)求a和b的值;
(2)若次数在120以上(含120)为优秀,试估计全市高一年级学生的优秀率和全市优秀学生的人数;
(3)估计全市高一年级学生一分钟跳绳次数的中位数和平均数.
[素养小结]
用频率分布表或频率分布直方图求数字特征:
(1)众数是最高的小长方形的底边的中点对应的数据.
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等.
(3)平均数等于每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标的和.
(4)利用频率分布直方图求得的众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
9.2.3　总体集中趋势的估计
【课前预习】
知识点一
1.(1)出现次数最多　(2)中间　中间　(3)和
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)众数可能有多个.
知识点二
3.众数
知识点三
(1)横坐标　面积　(2)相等　(3)最高
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　[解析] (1)样本的众数是频率分布直方图中最高小长方形底边的中点对应的数据.
(2)中位数和众数有可能不改变.
【课中探究】
探究点一
例1　解:在这17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数=×(1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1+1.85×1+1.90×1)=≈1.69.
故这17名学生成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.
变式　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题意得a=×(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)==15.7.将这组数据按从小到大的顺序排列为11,13,15,15,16,16,17,18,18,18,则中位数为16,众数为18,即b=16,c=18,∴c>b>a.
(2)∵5探究点二
例2　解:(1)这15人该月销售量的平均数为=320(件),
将这15人该月的销售量按照从小到大的顺序排列为120,120,150,150,150,210,210,210,210,210,250,250,250,510,1800,可得中位数为210件,众数为210件.
(2)我认为不合理,理由:由表格中的数据可知,大部分营销员达不到要求,故不合理.
可以将210件作为月销售定量,理由:
由表格中的数据可知,有一半以上的营销员达到要求,故可以将210件作为月销售定量.
变式　解:(1)一班成绩的平均数为(20+34+26+29+28+34+35+36+34+34+31)÷11=341÷11=31(次),
一班的数据按照从小到大的顺序排列为20,26,28,29,31,34,34,34,34,35,36,
所以一班成绩的中位数为34次,34出现的次数最多,所以一班成绩的众数是34次.
二班成绩的平均数为(26+28+30+28+30+31+30+36+30+31+30)÷11=330÷11=30(次),
二班的数据按照从小到大的顺序排列为26,28,28,30,30,30,30,30,31,31,36,
所以二班成绩的中位数是30次,30出现的次数最多,所以二班成绩的众数是30次.
(2)用平均数表示两个班的成绩更合适.
探究点三
例3　解:(1)由题知(0.01+0.012+0.02+0.03+a)×10=1,解得a=0.028,则在这次测试中数学成绩不低于120分的样本频率为(0.03+0.028+0.012)×10=0.7,所以估计这1000名学生在这次测试中数学成绩不低于120分的人数为1000×0.7=700.
(2)设样本数据的中位数为x,则(0.01+0.02)×10+0.03×(x-120)=0.5,解得x≈126.7,所以估计样本数据的中位数约为126.7分.
(3)估计这1000名学生的数学成绩的平均数为(0.01×105+0.02×115+0.03×125+0.028×135+0.012×145)×10=126.2(分).
变式　解:(1)由题意得
解得
(2)由频率分布直方图,估计全市高一年级学生的优秀率是(0.030+0.018+0.006)×10=0.54,
∴估计全市优秀学生的人数为0.54×200×90=9720.
(3)∵第一、二、三、四组的频率分别为0.04,0.08,0.34,0.30,∴前三组的频率之和为0.46,
∴估计全市高一年级学生一分钟跳绳次数的中位数为120+×10=120+≈121.3,
平均数为95×0.04+105×0.08+115×0.34+125×0.30+135×0.18+145×0.06=121.8.