8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案（含答案）2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【学习目标】
　　1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.
　　2.能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
　　3.能用公式解决简单的实际问题.
◆ 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.表面积是几何体　　　　的面积,它表示几何体　　　　的大小.
2.多面体的表面积就是围成多面体　　　　　　　　　　的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的　　　　　　　　　　的和.
3.几种特殊多面体的侧面积公式
S直棱柱侧=ch(c为底面周长,h为高);
S正棱锥侧=ch(c为底面周长,h为斜高);
S正棱台侧=(c+c')h(c'为上底面周长,c为下底面周长,h为斜高).
4.几种特殊多面体的表面积公式
S正四面体=　　　　(a为棱长);
S正方体=　　　　(a为棱长);
S长方体=　　　　　　(a,b,c分别为长、宽、高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积之和. (　 )
(2)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等. (　 )
(3)如果一个正方体的每条棱都增加1 cm,它的表面积扩大为原来的4倍,那么扩大后的正方体的棱长为4 cm. (　 )
2.已知正六棱柱的高为6,底面边长为4,则它的两底面面积之和为　　　　,侧面积为　　　　,表面积为　　　　　　.
◆ 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
1.棱柱的体积公式:V棱柱=　　　　(S为棱柱的底面面积,h为棱柱的高).
2.棱锥的体积公式:V棱锥=　　　　(S为棱锥的底面面积,h为棱锥的高).
3.棱台的体积公式:V棱台=　　　　　　　(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)底面面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. (　 )
(2)锥体的体积是等底面面积、等高的柱体的体积的三分之一. (　 )
(3)两个正方体的体积之比为1∶27,则这两个正方体的棱长之比为1∶3. (　 )
2.若某正棱台的底面是正方形,上底面边长为4,下底面边长为10,高为4,则此正棱台的体积为　　　　.
3.根据棱柱、棱锥、棱台之间的关系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 (1)若正三棱锥的底面边长为a,三条侧棱两两垂直,则它的侧面积为　　　　.
(2)[2024·无锡高一期中] 若正三棱台ABC-A1B1C1的上底面边长为1,下底面边长为2,侧棱长为1,则它的表面积为　　　　.
变式 已知正四棱锥的底面边长是2,高为,则这个正四棱锥的侧面积是　　　　.
[素养小结]
求解正棱台的表面积时注意棱台的基本量:底面边长、高、斜高、侧棱长,并注意两个直角梯形的应用.
(1)高,侧棱,上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高,斜高,上、下底面多边形的中心与多边形边的中点连线所成的直角梯形.
◆ 探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积
例2 (1)已知正四棱台上、下底面边长分别为2和8,侧面梯形的高为5,则该正四棱台的体积为　　　　.
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为　　　　.
变式 在棱长为2的正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥P-MBD的体积为　　　　.
[素养小结]
求几何体体积时需注意的问题:对棱柱、棱锥、棱台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高(等积转化法),要充分利用截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.求台体的体积时,也可以将台体转化为锥体计算.
◆ 探究点三　简单组合体的表面积和体积
例3 如图,某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体ABCD-A1B1C1D1,上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥P-A1B1C1D1,求:
(1)该几何体的体积;
(2)该几何体的表面积.
变式 如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个三棱锥,则该三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为　　　　.
[素养小结]
求组合体的表面积与体积的关键是先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,再分别代入公式求解.
拓展 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为　　　　.
8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
1.表面　表面　2.各个面的面积　各个面的面积
4.a2　6a2　2(ab+bc+ca)
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和.
(2)剪开的棱不同,同一个多面体的表面展开图可能不同,但无论怎么剪开,表面积相等.
(3)设原来正方体的棱长为x cm,则6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以扩大后的正方体的棱长为2 cm.
2.48　144　144+48　[解析] 由题知两底面面积之和为2××42×6=48,侧面积为6×6×4=144,则该正六棱柱的表面积为144+48.
知识点二
1.Sh　2.Sh　3.h(S'++S)
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)底面面积相等、高相等的所有棱柱的体积均相等.
2.208　[解析] 此正棱台的体积V=×(16+100+)×4=208.
3.解:当棱台的上底面按同一比例缩小,且使上底面缩为一点时,棱台的体积公式变为棱锥的体积公式;当棱台的上底面按同一比例增大,且使上底面与下底面全等时,棱台的体积公式变为棱柱的体积公式.由此可知棱柱、棱锥的体积公式是棱台的体积公式的特殊情况.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)a2　(2)　[解析] (1)因为正三棱锥的底面边长为a,三条侧棱两两垂直,所以该三棱锥的三个侧面均为全等的等腰直角三角形,且斜边长为a,故侧棱长为a,则它的侧面积为3××a×a=a2.
(2)根据题意,正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面均为等边三角形,上底面是边长为1的等边三角形,下底面是边长为2的等边三角形,侧面为等腰梯形,上底边长为1,下底边长为2,腰长为1,所以侧面梯形的高h=,所以表面积S=×1×1×+×2×2×+3×=.
变式　8　[解析] 如图所示,AO=,QR=2,设B为QR的中点,连接AB,OB,所以OB=1,则AB==2,所以S△AQR=2×2×=2,则S侧=2×4=8.
探究点二
例2　(1)112　(2)　[解析] (1)如图,取正四棱台的轴截面ABCD,A,B,C,D分别为所在棱的中点,由题意可知AB=2,CD=8,AD=BC=5.过点A作AE⊥CD,垂足为E,则DE=3,正四棱台的高AE==4,所以该正四棱台的体积为×(22+82+)×4=112.
(2)如图,∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,∴S△AMN=×1×1=,∴==××2=.
变式　　[解析] 如图,正四面体的棱长为2,点C在平面PAB内的射影为点O,点O是三角形PAB的中心,点O在MB上,BO=××2=,则CO==,所以三棱锥C-PBA的体积VC-PBA=××2×2××=.S△PMB=S△PAB,因为PD=NP,且NB=CB,所以点D到平面PAB的距离是点C到平面PAB距离的,所以三棱锥P-MBD的体积VD-PBM=VC-PBA=×=.
探究点三
例3　解:(1)由题意得=8×8×3=192,
=×8×8×3=64,
故该几何体的体积V=+=192+64=256.
(2)如图所示,连接A1C1,B1D1,设A1C1与B1D1交于点O,取B1C1的中点E,连接PO,OE,PE.∵PO=3,OE=4,∴PE==5,则四棱锥P-A1B1C1D1的表面积S1=4××8×5+8×8=144,长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积S2=4×8×3=96,故该几何体的表面积S=S1+S2=144+96=240.
变式　　[解析] 设长方体的长、宽、高分别为2a,2b,2c,则长方体的体积V1=2a×2b×2c=8abc,所截三棱锥的体积V2=××a×b×c=abc,所以所截三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为==.
拓展　　[解析] 分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则多面体ABCDEF被分为三棱锥E-ADG,三棱柱ADG-BCH,三棱锥F-HBC三个部分.由四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,易得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,∴S△AGD=S△BHC=××1=,∴该多面体的体积V=V三棱锥E-AGD+V三棱柱AGD-BHC+V三棱锥F-BHC=××+×1+××=.