8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【学习目标】
知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.
能用公式计算一些简单几何体的表面积和体积.
◆ 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积定义
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的 .
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
图形 表面积公式
旋 转 体 圆 柱 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 锥 r为底面半径,l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 台 r',r分别是上、下底面半径,l是母线长 上底面面积:S上底= . 下底面面积:S下底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系
根据圆柱、圆锥、圆台之间的关系,可以发现三者的表面积公式之间有如下关系:
在圆台的表面积公式S圆台=π(r2+r'2+rl+r'l)中,当 时,得圆柱的表面积公式S圆柱=2πr(r+l);当 时,得圆锥的表面积公式S圆锥=πr(r+l).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆柱的侧面积等于底面圆面积与高的积. ( )
(2)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的,它的表面积不变. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环. ( )
2.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为2 cm,则这个圆锥的底面积为 cm2,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.
◆ 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
1.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
(1)V圆柱=πr2h(r为底面半径,h是高).
(2)V圆锥= (r为底面半径, h是高).
(3)V圆台= (r',r分别是上、下底面半径, h是高).
2.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)柱体的体积公式:V柱体= (S为底面积,h为柱体高).
(2)锥体的体积公式:V锥体= (S为底面积,h为锥体高).
(3)台体的体积公式:V台体= (S',S分别为上、下底面面积,h为台体高).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积不变. ( )
(2)圆台的上底面半径为2,下底面半径为3,高为6,则此圆台的体积为38π. ( )
2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 探究点一 圆柱、圆锥、圆台的轴截面问题
例1 (1)若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形,则这个圆柱的侧面积为 ( )
A.9π B.12π C.π D.π
(2)已知圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,若圆锥的侧面积为π,则轴截面的面积为 .
变式 (1)若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则这个圆锥的底面半径为 .
(2)一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,截去小圆锥的母线长为3 cm,则圆台的母线长为 .
◆ 探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
例2 (1)已知圆台的上、下底面圆的半径分别为2和5,高为4,则这个圆台的侧面积为 ( )
A. B.35π C.28π D.64π
(2)已知某圆锥的侧面积为π,该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为( )
A. B. C.2π D.
(3)已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD,剩余部分如图所示.若弦AB所对的圆心角为,则剩余部分的体积为 .
变式 (1)已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,则该圆柱的侧面积与表面积的比值为 ( )
A. B. C. D.
(2)[2024·合肥一中高一期中] 已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r的半圆,且该圆锥的体积为3π,则r= .
[素养小结]
求圆柱和圆锥的表面积时,只需按照公式进行求解;而解决台体的问题通常要还台为锥,求表面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是侧面展开图的弧长.
◆ 探究点三 简单组合体的表面积与体积
例3 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,求以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体的体积.
变式 [2024·湖北华师大一附中高一月考] 毡帐是一种内部木架结构,外部毛毡围拢的房子,建造和搬迁都很方便,适合牧业和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体(圆柱的上底面与圆锥的底面重合),下半部分圆柱的高为2.5米,上半部分圆锥的母线长为2米,轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平方米的等腰钝角三角形,则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡 ( )
A.(6+15)π平方米
B.(5+6)π平方米
C.(12+15)π平方米
D.(10+6)π平方米
[素养小结]
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要先根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
1.面积和
2.πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) πr'2 πr2 π(r'l+rl) π(r2+r'2+rl+r'l)
3.r'=r r'=0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积.
(2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形和两个相等的圆、一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆.
2.16π 24π 40π [解析] 因为圆锥的底面半径为4 cm,所以底面周长为8π cm,底面积为16π cm2.由勾股定理得,母线长为=6(cm),由题意知圆锥的侧面展开图为扇形,所以圆锥的侧面积为×8π×6=24π(cm2).表面积为16π+24π=40π(cm2).
知识点二
1.(2)πr2h (3)πh(r'2+r'r+r2)
2.(1)Sh (2)Sh (3)(S'++S)h
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)由圆锥的体积公式知圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,高缩小为原来的,它的体积变为原来体积的2倍.
2.解:圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台上、下底面半径相等时,圆台变为圆柱,圆台的体积公式变为圆柱的体积公式;当圆台上底面半径为0时,圆台变为圆锥,圆台的体积公式变为圆锥的体积公式.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)1 [解析] (1)设圆柱的底面半径为r,则该圆柱的母线长为2r,因为该圆柱的轴截面面积为(2r)2=4r2=9,所以该圆柱的侧面积为2πr·2r=4πr2=9π,故选A.
(2)因为圆锥的轴截面是斜边长为2r的等腰直角三角形,所以圆锥的母线长为r,底面直径为2r,则此圆锥的侧面积为πr·r=π,可得r=1,所以轴截面的面积为×(r)2=1.
变式 (1)3 (2)9 cm [解析] (1)设底面半径为r,因为轴截面是等腰直角三角形,所以圆锥的高也是r,根据题意得×2r×r=9,可得r=3.
(2)设圆台的母线长为y cm,因为圆台的上、下底面半径的比是1∶4,所以可设圆台的上、下底面半径分别是x cm,4x cm,根据相似三角形的性质得=,可得y=9,故圆台的母线长为9 cm.
探究点二
例2 (1)B (2)A (3)10π+3 [解析] (1)∵圆台的上、下底面圆的半径分别为2,5,高为4,∴圆台的母线长l==5,∴这个圆台的侧面积为π(2×5+5×5)=35π.故选B.
(2)设该圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,由×l2=π,得l=.因为2πr=×,所以r=1,所以该圆锥的体积为×π×1×=.故选A.
(3)因为弦AB所对的圆心角为,所以剩余部分的底面面积为××22+×22×sin=+,所以剩余部分的体积为×3=10π+3.
变式 (1)C (2)2 [解析] (1)设该圆柱底面的半径为r,则高h=2r,故圆柱的侧面积为2πr·h=4πr2,表面积为4πr2+2πr2=6πr2,故该圆柱的侧面积与表面积的比值为=,故选C.
(2)设圆锥的底面圆的半径为R,高为h,由题意知,圆锥的母线长为r,且2πR=×2πr,得R=,所以h==r,又圆锥的体积为3π,所以3π=π×r,解得r=2.
探究点三
例3 解:以边AD所在直线为轴旋转一周所得几何体为一个圆台中间挖去一个圆锥.设圆台的上底面圆心为E,因为∠DAB=,∠ADC=,AB=5,CD=2,AD=1,
所以CE=DE=CD=2,得AE=3,所以该几何体的体积V=V圆台-V圆锥=×(25π++4π)×3-×π×22×2=×39π×3-×8π=.
变式 A [解析] 设圆锥的高为h米,底面半径为r米,因为圆锥的母线长为2米,轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形,所以可得则上半部分圆锥的侧面积S1=π×3×2=6π(平方米),下半部分圆柱的侧面积S2=2π×3×2.5=15π(平方米),则建造该毡帐(不含底面)需要毛毡S1+S2=(6+15)π(平方米).故选A.第2课时 球的表面积和体积
【学习目标】
1.知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式计算一些简单的与球有关的表面积和体积.
2.能解决与球有关的简单截面问题.
3.能用公式计算一些简单组合体的表面积和体积.
◆ 知识点一 球的表面积和体积
设球的半径为R,则球的表面积公式:S球= ;
球的体积公式:V球= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍. ( )
(2)若三个球的半径之比为1∶2∶3,则最大球的体积与最小球的体积之和是另一个球的体积的2倍.( )
2.若球的半径R=3,则过球心的截面圆的面积为 ,球的表面积为 ,体积为 .
◆ 知识点二 球的截面问题
(1)用一个 去截球,截面一定是 .
(2)如果平面过 ,那么得到的截面圆为球的 ;如果平面不过球心,那么得到的截面圆为球的 .
(3)如图,设小圆的圆心为O',半径为r,球的球心为O,半径为R,则
①OO'⊥圆面O';
②R2=r2+OO'2.
◆ 探究点一 球的表面积与体积公式的应用
例1 (1)已知球的直径为6 cm,求它的表面积和体积.
(2)已知球的表面积为64π,求它的体积.
(3)已知球的体积为π,求它的表面积.
变式 (1)若一个球的体积与表面积相等,则该球的半径为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.
(2)已知小球与大球的表面积之比为1∶9,则小球与大球的体积之比为 .
◆ 探究点二 球的截面问题
例2 已知球的半径为10 cm,若它的一个截面圆的面积为36π cm2,求球心与截面圆圆心之间的距离.
变式 过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离是球的半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的体积为 ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球的半径R,截面圆的半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
◆ 探究点三 与球有关的组合体的表面积与体积问题
例3 在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形,E恰好是梯形的下底边的中点,将所得平面图形绕直线DE旋转一周.
(1)说明所得几何体的结构特征;
(2)求所得几何体的表面积和体积.
变式 (1)某几何体由一个半球、一个圆柱和一个圆台组成,其轴截面如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A.2530π B.3016π
C.3824π D.4350π
(2)如图所示,已知球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面,则V圆锥∶V球∶V圆柱= .
[素养小结]
解决组合体问题主要是正确分辨各个几何体,然后结合几何体的表面积公式或者体积公式求得最值.
第2课时 球的表面积和体积
【课前预习】
知识点一
4πR2 πR3
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)由球的表面积公式知,若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的9倍.
(2)设三个球的半径分别为r,2r,3r,则它们的体积分别为πr3,πr3,πr3,所以最大球的体积与最小球的体积之和为πr3+πr3=πr3,它是另一个球的体积的倍.
2.9π 36π 36π [解析] 由题意得,过球心的截面圆的面积为πR2=9π,球的表面积为4πR2=36π,体积为πR3=36π.
知识点二
(1)平面 圆 (2)球心 大圆 小圆
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)∵直径为6 cm,∴半径R=3 cm,
∴S球=4πR2=36π(cm2),V球=πR3=36π(cm3).
(2)设球的半径为R,∵S球=4πR2=64π,∴R2=16,即R=4,∴V球=πR3=π×43=π.
(3)设球的半径为R,∵V球=πR3=π,∴R3=125,即R=5,∴S球=4πR2=100π.
变式 (1)C (2)1∶27 [解析] (1)设该球的半径为R,由题意得πR3=4πR2,可得R=3.故选C.
(2)设小球的半径为R1,表面积为S1,体积为V1,大球的半径为R2,表面积为S2,体积为V2,∵球的表面积公式为S=4πR2,S1∶S2=1∶9,∴R1∶R2=1∶3,又球的体积公式为V=πR3,∴V1∶V2=∶=1∶27.
探究点二
例2 解:如图,设截面圆的半径为r,球心与截面圆圆心之间的距离为d,球的半径为R.
由πr2=36π,可得r=6 cm,又R=10 cm,
所以在Rt△OO'A中,
可得d==8(cm),即球心与截面圆圆心之间的距离为8 cm.
变式 D [解析] 因为AB=BC=CA=2,所以△ABC的外接圆半径r=. 设球的半径为R,则R2-=,所以R=,所以球的体积V=πR3=.故选D.
探究点三
例3 解:(1)根据题意知,将所得平面图形绕直线DE旋转一周后,所得几何体是上部是一个圆锥,下部是一个圆柱挖去一个半球的组合体.
(2)由题图可知,DE=4,CD=4,故该组合体的表面积S组合体=S圆锥侧+S圆柱侧+S半球 =π×4×4+2π×4×4+×4π×42 =(16+64)π,
该组合体的体积V组合体=V圆锥+V圆柱-V半球 =×π×42×4+π×42×4-××π×43=.
变式 (1)A (2)1∶2∶3 [解析] (1)由图可得,V半球=××π×93=486π,V圆柱=π×92×14=1134π,V圆台=×(92++12)×π×30=910π,所以该几何体的体积V=V半球+V圆柱+V圆台=486π+1134π+910π=2530π.故选A.
(2)设圆柱底面圆的半径为r,则圆柱的高h=2r,球的半径为r,所以V圆锥=πr2h=πr3,V球=πr3,V圆柱=πr2h=2πr3,所以V圆锥∶V球∶V圆柱=πr3∶πr3∶2πr3=1∶2∶3.
