8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【学习目标】
　　1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
　　2.掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的分类与表示.
◆ 知识点一　空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线的定义
我们把　　　　　　　　　　　　　　　　　叫作异面直线,如图所示.
2.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有三种:
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别在两个不重合的平面内的两条直线一定是异面直线. (　 )
(2)空间中两条不相交的直线一定是异面直线.(　 )
(3)若a,b为异面直线,b,c为异面直线,则a,c为异面直线. (　 )
2.如果一条直线与一个平面相交,那么该直线与这个平面内的直线的位置关系有几种
◆ 知识点二　空间中直线与平面的位置关系
位置 关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有　　　个公共点 　　　　　一个公共点 　　　公共点
符号 表示 　　　 　　　 　　　
图形 表示
说明:当直线与平面相交或平行时,直线不在平面内,也称为直线在平面外.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若直线与平面不相交,则直线与平面没有公共点. (　 )
(2)若直线在平面外,则直线与平面平行. (　 )
(3)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(　 )
◆ 知识点三　空间中平面与平面的位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面　　　　——没有公共点;
平面α与平面β平行,记作　　　　.
注:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(如图).
(2)两个平面　　　　——有一条公共直线.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)分别位于两个平行平面内的两条直线平行.(　 )
(2)若两个平面有无数个公共点,则这两个平面为同一平面. (　 )
◆ 探究点一　空间中两条直线位置关系的判定
例1 如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　.
变式 (多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
D.既不平行又不相交的两条直线是异面直线
◆ 探究点二　直线与平面的位置关系
例2 (1)若直线上有一点在平面外,则下列说法正确的是 (　 )
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数个点都在平面外
C.直线上有无数个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面所在的平面中,与棱AA1平行的平面有(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
(3)下列说法中正确的个数是 (　 )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③两条相交直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与这个平面平行.
A.0 B.1
C.2 D.3
◆ 探究点三　平面与平面的位置关系
例3 (1)(多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
C.平面α内的△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么平面α与β平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交
(2)若点A∈α,B α,C α,则平面ABC与平面α的位置关系是 　　　　　.
变式1 [2024·杭州二中高一期中] 以下说法正确的是 (　 )
A.若a是平面α外的一条直线,则过a且与α平行的平面有且只有一个
B.若夹在两个平面间的三条平行线段的长度相等,则这两个平面平行
C.若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β
D.空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,若这三点到平面α的距离均为1,则这样的平面α恰有两个
变式2 如果3个平面把空间分成4部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 如果3个平面把空间分成6部分,那么这3个平面有怎样的位置关系 画图说明.
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课前预习】
知识点一
1.不同在任何一个平面内的两条直线
2.在同一平面内,有且只有一个公共点　在同一平面内,没有公共点　不同在任何一个平面内,没有公共点
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)当两条直线分别在两个不重合的平面内时,它们也可能相交或平行,此时是共面直线,只有当它们既不相交也不平行时才是异面直线.
(2)空间中两条不相交的直线也可能是平行直线.
(3)a,c也可能是平行直线或相交直线.
2.解:两种.设直线与平面的交点为P,则当平面内的直线不过点P时,该直线与这个平面内的直线异面;当平面内的直线经过点P时,该直线与这个平面内的直线相交.
知识点二
无数　有且只有　没有　a α　a∩α=A　a∥α
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)当直线与平面不相交时,直线可能在平面内,此时有无数个公共点.
(2)当直线在平面外时,直线可能与平面相交或平行.
(3)当直线l与平面α相交时,直线l上也有无数个点不在平面α内.
知识点三
(1)平行　α∥β　(2)相交
诊断分析
(1)×　(2)×　[解析] (1)这两条直线没有公共点,所以它们可能平行或异面.
(2)当两个平面相交时,它们也有无数个公共点.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面　[解析] (1)因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.
(2)因为A1B与B1C不同在任何一个平面内,所以A1B与B1C异面.
(3)因为D1D∩D1C=D1,所以D1D与D1C相交.
(4)因为AB与B1C不同在任何一个平面内,所以AB与B1C异面.
变式　CD　[解析] 如图所示的长方体ABCD-EFGH,对于选项A,直线EF与BC无交点,但两直线异面,故选项A错误;对于选项B,直线EF⊥FG,EF⊥BF,但FG⊥FB,故选项B错误;对于选项C,根据异面直线的定义可知选项C正确;对于选项D,既不平行又不相交的两条直线是异面直线,故选项D正确.故选CD.
探究点二
例2　(1)B　(2)B　(3)C　[解析] (1)直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数个点都在平面外.
(2)如图所示,由图可知AA1∥平面BC1,AA1∥平面DC1,AA1∥平面BB1D1D.故选B.
(3)易知①正确,②正确.两条相交直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线可能平行于这个平面,也可能与这个平面相交,故③错误.故选C.
探究点三
例3　(1)CD　(2)相交　[解析] (1)对于A,这两个平面平行或相交,故A错误;对于B,在平面α内任意一条直线都和平面β平行,这两个平面才平行,故B错误;对于C,因为△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,所以平面α与β平行,故C正确;对于D,平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交,故D正确.故选CD.
(2)∵点A∈α,B α,C α,∴平面ABC与平面α有公共点,且不重合,∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
变式1　D　[解析] 对于A,当a与α相交时,不存在过a且与α平行的平面,故A错误;对于B,当三条平行线段所在直线共面时,两平面可能相交,也可能平行,故B错误;对于C,当α与β相交时,平面α内也存在不共线的三点到平面β的距离相等,故C错误;对于D,空间中A,B,C三点构成边长为2的正三角形,若这三点到平面α的距离均为1,则这样的平面α恰有两个,且这两个平面在平面ABC的异侧,故D正确.故选D.
变式2　解:若3个平面把空间分成4部分,则这3个平面平行(如图①).若3个平面把空间分成6部分,则这3个平面相交于同一条直线(如图②)或其中2个平面平行,第3个平面与这2个平面均相交(如图③).