第2课时 平面与平面平行的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面 ,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线 a∥b 面面平行
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面均平行于第三个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若两个平面平行,则分别在两个平面内的两条直线相互平行. ( )
(3)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ( )
2.若夹在两个平面间的三条线段平行且相等,试判断这两个平面的位置关系.
◆ 探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面α所截,截面为CDEF,其中E在A1D1上,F在B1C1上,且EF=DC,证明:AD∥BC.
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过点P的直线n与α,β分别交于点C,D,且PA=6,AB=9,PD=8,求CD的长.
[素养小结]
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
◆ 探究点二 平行关系的综合应用
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点.
(1)求证:直线EG∥平面BDD1B1;
(2)求证:平面EFG∥平面BDD1B1;
(3)若正方体的棱长为1,过A,E,C1三点作正方体的截面,画出截面与正方体的交线,并求出截面的面积.
变式 [2024·三明一中高一期中] 如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为侧棱SC的中点.
(1)求证:SA∥平面EDB;
(2)若F为棱AB的中点,求证:EF∥平面SAD;
(3)设平面SAB∩平面SCD=l,求证:AB∥l.
[素养小结]
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系,并且可以相互转化的.
(2)解决平行关系的综合问题一般通过平行关系的转化实现.
拓展 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点.
(1)求证:平面B1DF∥平面ACE.
(2)试问平面B1DF截正方体所得的截面是什么图形 并说明理由.
第2课时 平面与平面平行的性质
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (2)因为两个平面平行,所以分别在两个平面内的两条直线无公共点,它们平行或异面.
2.解:如图所示,两种情况均满足AA1=BB1=CC1且AA1∥BB1∥CC1,故这两个平面的位置关系为平行或相交.
【课中探究】
探究点一
例1 解:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
又平面ABCD∩平面α=CD,平面A1B1C1D1∩平面α=EF,所以EF∥CD.
又C1D1∥CD且C1D1=CD,EF=CD,
所以C1D1∥EF且C1D1=EF,
则四边形EFC1D1是平行四边形,
所以D1E∥C1F,即A1D1∥B1C1,
又A1D1∥AD,BC∥B1C1,所以AD∥BC.
变式 解:连接AC,BD,∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD可确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.当点P位于平面α,β同侧时,如图①,则PB=15,=,∴=,∴CD=.当点P位于平面α,β之间时,如图②,则PB=3,=,∴=,∴CD=24.故CD=或CD=24.
探究点二
例2 解:(1)证明:如图,连接SB,由EG为△CSB的中位线,可得EG∥SB,
又EG 平面BDD1B1,
SB 平面BDD1B1,
所以EG∥平面BDD1B1.
(2)证明:由题意知EF∥DB,又EF 平面BDD1B1,DB 平面BDD1B1,所以EF∥平面BDD1B1.由(1)可得EG∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF 平面EFG,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDD1B1.
(3)如图,取B1C1的中点N,连接A1N,NE,AE,可得AE∥A1N,AE=A1N.取A1D1的中点M,连接MC1,AM,C1E,可得MC1=A1N,MC1∥A1N,所以MC1∥AE,MC1=AE,所以四边形AEC1M为平行四边形.易知平行四边形AEC1M为过点A,E,C1的截面,且AE=EC1=AM=MC1==,所以平行四边形AEC1M为菱形.连接AC1,ME,易得AC1=,ME=,所以截面的面积为×AC1×ME=××=.
变式 证明:(1)如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,
又E为侧棱SC的中点,所以SA∥EO.
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)连接FO,因为F为棱AB的中点,DO=BO,
所以AD∥FO,
又FO 平面SAD,AD 平面SAD,所以FO∥平面SAD.
由(1)知SA∥EO,又EO 平面SAD,SA 平面SAD,所以EO∥平面SAD.
又EO∩FO=O,EO,FO 平面EOF,
所以平面EOF∥平面SAD.
又EF 平面EOF,所以EF∥平面SAD.
(3)因为AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,
所以AB∥平面SCD.
又平面SAB∩平面SCD=l,AB 平面SAB,所以AB∥l.
拓展 解:(1)证明:连接EF,如图.∵E,F分别是棱BB1和棱CC1的中点,∴EF∥BC∥AD,且EF=BC=AD,∴四边形AEFD为平行四边形,则AE∥DF.又AE 平面ACE,DF 平面ACE,∴DF∥平面ACE.∵B1E∥CF,且B1E=CF,∴四边形B1ECF为平行四边形,
则CE∥B1F,又B1F 平面ACE,EC 平面ACE,
∴ B1F∥平面ACE.
∵DF∩B1F=F,DF 平面B1DF,B1F 平面B1DF,
∴平面B1DF∥平面ACE.
(2)方法一:如图,取AA1 的中点G,连接DG,B1G,可得B1G∥AE且B1G=AE,由(1)知,DF∥AE且DF=AE,则B1G∥DF且B1G=DF,可得四边形DGB1F为平行四边形,易知四边形DGB1F为平面B1DF截正方体所得的图形.又B1G=B1F,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.
方法二:如图,设平面B1DF与棱AA1交于点G,连接DG,B1G,
∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面B1DF=DG,平面BCC1B1∩平面B1DF=B1F,∴DG∥B1F,同理有DF∥B1G,∴四边形DGB1F为平行四边形,
又易得B1F=DF,∴四边形DGB1F为菱形,即平面B1DF截正方体所得的截面是菱形.8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面平行的判定定理.
2.能够运用面面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面平行的判定定理
1.文字语言:如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
符号语言:a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α.
图形语言:如图所示.
2.利用判定定理证明两个平面平行必须具备的条件:
(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;
(2)这两条直线必须相交.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. ( )
(3)如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能同时选择的两条直线有哪些
◆ 探究点一 对平面与平面平行的判定定理的理解
例1 给出下列四个说法:
①若平面α内的两条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行;
②若平面α内有无数条直线均与平面β平行,则平面α与平面β平行;
③平行于同一条直线的两个平面平行;
④若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行.
其中正确说法的个数是 .
变式 设a,b为两条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,下列说法中正确的是 ( )
A.若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β
B.若α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,则γ∥β
C.若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β
D.若平面α内的一个平行四边形的两条边与平面β内的一个平行四边形的两条边对应平行,则α∥β
◆ 探究点二 平面与平面平行的判定
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上(不包括端点).若PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,求证:平面MNQ∥平面PBC.
变式1 在直三棱柱A1B1C1-ABC中,点D,E分别为棱AB,BB1的中点,点F在棱CC1上.试确定点F的位置,使得平面AB1F∥平面CDE,并证明.
变式2 如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱BC上一点,D1为B1C1的中点,且A1B∥平面ADC1.证明:平面A1BD1∥平面ADC1.
[素养小结]
(1)要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线,证明这两条相交直线平行于另一个平面即可.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内寻找与另一个平面平行的两条相交直线,若找不到再作辅助线.
8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
【课前预习】
知识点
1.两条相交直线
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)一个平面内必须有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面才平行.
2.解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,而AB∥CD,BC∥AD,故不能同时选择的直线有AB和CD,BC和AD.
【课中探究】
探究点一
例1 0 [解析] ①错误,因为平面α内的这两条直线不一定相交,故不能判定α与β平行;②错误,平面α内这无数条直线可能互相平行,这样就不能找到两条相交直线与β平行,故不能判定α与β平行;③错误,这两个平面也可能相交;④错误,这两个平面也可能相交.故正确说法的个数是0.
变式 C [解析] 对于A,当α∩β=l,m∥l,m α时,平面α内的直线m上有无数个点到平面β的距离相等,但不满足α∥β,故A错误;对于B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,设平面BCC1B1为平面α,平面ACC1A1为平面β,平面ABB1A1为平面γ,直线CC1为直线b,直线BB1为直线a,此时显然满足α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b,但不满足γ∥β,故B错误;对于C,若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β,故C正确;对于D,设α∩β=l,当平面α内的一个平行四边形相对的两条边所在直线m,n满足m∥n∥l,平面β内的一个平行四边形相对的两条边所在直线p,q满足p∥q∥l时,满足m∥p,n∥q,但不满足α∥β,故D错误.故选C.
探究点二
例2 证明:∵PM∶MA=PQ∶QD,∴QM∥AD,
又AD∥BC,∴QM∥BC.
∵QM 平面PBC,BC 平面PBC,∴QM∥平面PBC.
∵BN∶ND=PQ∶QD,∴QN∥PB,
又QN 平面PBC,PB 平面PBC,∴QN∥平面PBC.
∵QM∩QN=Q,QM 平面MNQ,QN 平面MNQ,
∴平面MNQ∥平面PBC.
变式1 解:当点F为棱CC1的中点时,平面AB1F∥平面CDE.
证明如下:因为点D,E分别为AB,BB1的中点,
所以DE∥AB1,又因为AB1 平面CDE,DE 平面CDE,所以AB1∥平面CDE.
因为CF=B1E,CF∥B1E,所以四边形CFB1E是平行四边形,可得FB1∥CE,
又因为FB1 平面CDE,CE 平面CDE,所以FB1∥平面CDE.
又因为AB1∩FB1=B1,且AB1,FB1 平面AB1F,所以平面AB1F∥平面CDE.
变式2 证明:如图,连接A1C,交AC1于O,连接OD,
则平面A1BC∩平面ADC1=OD,
∵A1B 平面A1BC,
A1B∥平面ADC1,
∴OD∥A1B,又O为A1C的中点,
∴D为BC的中点,
又D1为B1C1的中点,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴BD1∥DC1,又BD1 平面ADC1,DC1 平面ADC1,
∴BD1∥平面ADC1,
又A1B∥平面ADC1,BD1∩A1B=B,BD1 平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,∴平面A1BD1∥平面ADC1.
