8.6.1 直线与直线垂直 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
【学习目标】
　　1.理解异面直线所成的角.
　　2.掌握异面直线所成的角、两条直线垂直的判断与性质.
◆ 知识点一　异面直线所成的角
1.两条直线所成的角
平面内两条直线相交形成4个角,其中　　　　　的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线　　　　　　　　.当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为　　　　.
2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把　　　　　　　　　　　叫作异面直线a与b所成的角(或夹角),如图所示.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在异面直线所成的角的定义中,a'与b'所成的角的大小与O的选择有关. (　 )
(2)在空间中,存在两条异面直线所成的角为120°. (　 )
2.设异面直线a,b所成的角与异面直线c,b所成的角相等,试判断a,c的位置关系.
◆ 知识点二　异面直线互相垂直
1.如果两条异面直线所成的角是　　　　,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.
2.直线a与直线b垂直,记作　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BB1与C1D1相互垂直. (　 )
(2)若a,b为两条异面直线,且c⊥a,d⊥b,则c,d不可能是平行直线. (　 )
2.讨论垂直于同一条直线的两条直线的位置关系.
◆ 探究点一　求异面直线所成的角
例1 如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为AH与DE的交点,求:
(1)BE与CG所成的角;
(2)FO与BD所成的角.
变式 (1)[2024·菏泽一中高一月考] 如图,在正三棱锥P-ABC中,M,N分别为PA,PB的中点,则异面直线MN与AC所成的角为 (　 )
　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则异面直线B1C1与DE所成的角为　　　　.
[素养小结]
求两条异面直线所成的角的一般步骤:
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线所成的角(或其补角).
(2)计算角:一般在三角形中求角的大小.
(3)确定角:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
◆ 探究点二　证明空间中两条直线垂直
例2 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD.
变式 如图所示,在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BD1=4,若∠BAD=60°,求证:B1C⊥AD1.
[素养小结]
要证明两异面直线垂直,应先构造两异面直线所成的角,若能证明这个角是直角,即得到两异面直线垂直.
8.6　空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
【课前预习】
知识点一
1.不大于90°　倾斜的程度　0°
2.直线a'与b'所成的角
诊断分析
1.(1)×　(2)×　[解析] (1)a'与b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定,与O的选择无关.
(2)两条异面直线所成的角α的取值范围是(0°,90°].
2.解:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,CD所成的角相等,此时BC,CD为相交直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,B1C1所成的角相等,此时BC,B1C1为平行直线;异面直线AA1,BC所成的角与异面直线AA1,C1D1所成的角相等,此时BC,C1D1为异面直线.故a,c的位置关系为相交、平行或异面.
知识点二
1.直角　2.a⊥b
诊断分析
1.(1)√　(2)×　[解析] (1)因为BB1∥CC1,所以∠CC1D1为异面直线BB1与C1D1所成的角,因为∠CC1D1=90°,所以异面直线BB1与C1D1相互垂直.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB(a)与DD1(b)为异面直线,BC(c)⊥AB(a),A1D1(d)⊥DD1(b),此时BC(c)∥A1D1(d).
2.解:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥AA1,B1C1⊥AA1,此时BC∥B1C1;AB⊥AA1,AD⊥AA1,此时AB,AD相交;AB⊥AA1,A1C1⊥AA1,此时AB,A1C1异面.综上可知,垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)∵CG∥BF,
∴∠EBF或其补角是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中,EF=BF,∴∠EBF=45°,∴BE与CG所成的角为45°.
(2)如图,连接FH,在正方体ABCD-EFGH中,FB=HD,FB∥HD,∴四边形FBDH是平行四边形,∴BD∥FH,
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角.连接AF,
易知△AFH是等边三角形,
又O是AH的中点,∴∠HFO=30°,
∴FO与BD所成的角为30°.
变式　(1)A　(2)30°　[解析] (1)因为M,N分别为PA,PB的中点,所以MN∥AB,则∠BAC或其补角即为异面直线MN与AC所成的角.因为三棱锥P-ABC为正三棱锥,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=,故异面直线MN与AC所成的角为.故选A.
(2)如图,取AB1的中点F,连接EF,DF,∵D,F分别为AC1,AB1 的中点,∴DF∥C1B1,则∠FDE(或其补角)为异面直线B1C1与DE所成的角.取AC的中点O,连接BO,DO,则DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四边形DOBE为平行四边形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC,∴OB=AC=1.DF=C1B1=CB=,EF=AB=,DE=BO=1,则DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,则sin∠FDE==,∴∠FDE=30°,即异面直线B1C1与DE所成的角为30°.
探究点二
例2　证明:∵P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其补角是异面直线AC与BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,∴∠PQR=90°,∴异面直线AC与BD所成的角为90°,∴AC⊥BD.
变式　证明:如图所示,连接BD.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,AB=4,∴BD=4.∵△BDD1为直角三角形,∴B=BD2+D,∴DD1=4.连接BC1,交B1C于点O.∵BC1∥AD1,∴∠BOC(或其补角)为异面直线B1C与AD1所成的角.易知四边形BCC1B1为正方形,∴∠BOC=90°,∴B1C⊥AD1.