第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质
【学习目标】
1.理解直线和平面所成的角的概念.
2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理,并能够证明.
3.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 直线和平面所成的角
1.斜线、 射影的定义
(1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的 ,斜线和平面的交点A叫作斜足,如图.
(2)射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的 .
这里要注意两点:一是点P具有任意性,可通过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.
2.直线和平面所成的角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.如图所示, 就是斜线l和平面α所成的角.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是[0°,90°]. ( )
(2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角. ( )
(3)平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角. ( )
◆ 知识点二 直线和平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
于同一个平面的两条直线 a∥b 线面垂直 线线平行
前面学习了空间中两直线的平行,下面回顾一下证明两直线平行的方法:
(1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行.
(2)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
(4)面面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
(5)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直. ( )
(2)过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. ( )
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. ( )
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗
◆ 探究点一 求直线与平面所成的角
例1 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,若AB=2,AA1=1,求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值.
变式 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AB1与平面ACC1A1所成的角.
[素养小结]
求直线与平面所成的角的一般步骤:
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
(2)垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;
(3)把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.
◆探究点二 线面垂直的性质定理的应用
例2 如图所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是 .
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC和A1D上的点,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求证:EF∥BD1.
第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质
【课前预习】
知识点一
1.(1)斜线 (2)射影 2.射影 ∠PAO(θ)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是[0°,90°].
(2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角.
(3)如图,OB⊥α,斜线AO在平面α上的射影为AB,θ(0°<θ<90°)为斜线与平面α所成的角,θ1(0°<θ1≤90°)为斜线与平面α内除AB外的任意一条直线AC所成的角.作OC⊥AC,垂足为C,则sin θ=,sin θ1=.因为OB知识点二
垂直 平行
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.解:不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据线面垂直的性质定理知,这两条直线互相平行,与这两条直线是异面直线矛盾,故另一条直线不垂直于这个平面.
【课中探究】
探究点一
例1 解:如图,取A1B1的中点M,连接C1M,BM.因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,所以底面A1B1C1是等边三角形,从而C1M⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1,C1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥C1M,又AA1∩A1B1=A1,AA1 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,所以C1M⊥平面ABB1A1,因此∠C1BM为直线BC1与平面ABB1A1所成的角.因为C1B==,C1M=,所以sin∠C1BM==,故直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
变式 解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,设B1D1∩A1C1=O,连接AO,如图.
因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以B1O⊥A1C1.因为AA1⊥平面A1B1C1D1,B1O 平面A1B1C1D1,所以B1O⊥AA1,
又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1 平面ACC1A1,所以B1O⊥平面ACC1A1,
则∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角.
在Rt△AB1O中,∠AOB1=90°,B1O=B1D1=AB1,所以∠B1AO=30°,
所以直线AB1与平面ACC1A1所成的角为30°.
探究点二
例2 平行 [解析] ∵平面α∩平面β=l,∴l α,又∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,EA 平面EAB,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,EB 平面EAB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
变式 证明:如图,连接AB1,B1C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D∥B1C,
∵EF⊥A1D,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.
连接A1B,C1B,易知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1 平面BC1D1,D1C1 平面BC1D1,
∴B1C⊥平面BC1D1.
又BD1 平面BC1D1,∴B1C⊥BD1.
同理,B1A⊥平面BA1D1,又BD1 平面BA1D1,∴B1A⊥BD1.
∵B1A∩B1C=B1,B1A 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的判定定理.
2.能够运用线面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 直线与平面垂直
1.定义:一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作 .直线l叫作平面α的 ,平面α叫作直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫作垂足.
2.画法:画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图,直线l垂直于平面α.
3.点到平面的距离:过一点作 已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫作这个点到该平面的 , 的长度叫作这个点到该平面的距离.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那么它与该平面垂直. ( )
(2)如果一条直线与一个平面不垂直,那么它与平面内任何一条直线都不垂直. ( )
(3)如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面内所有的直线都垂直. ( )
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,其影子的位置在移动.随着时间的变化旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化 若不变,夹角为多少
◆ 知识点二 直线与平面垂直的判定定理
1.文字语言:如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直.
2.符号语言:m α,n α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n .
3.图形语言:如图所示.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在线面垂直的判定定理中,平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点. ( )
(2)如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直,那么该直线与此平面垂直. ( )
(3)若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则此直线与该三角形所在平面垂直. ( )
2.若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直,则此直线与该平行四边形所在平面垂直吗
◆ 探究点一 线面垂直概念的理解
例1 (1)在下列条件中,能判定一条直线与一个平面垂直的是 ( )
A.这条直线垂直于该平面内的一条直线
B.这条直线垂直于该平面内的两条直线
C.这条直线垂直于该平面内的任意两条直线
D.这条直线垂直于该平面内的无数条直线
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的①正五边形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.则可以证明该直线与平面垂直的是 (填序号).
变式 已知直线a,b和平面α,且b在α内,a不在α内,则下列说法错误的是 ( )
A.若a∥α,则存在无数条直线b,使得a∥b
B.若a⊥α,则存在无数条直线b,使得a⊥b
C.若存在无数条直线b,使得a∥b,则a∥α
D.若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a⊥α
◆ 探究点二 证明直线与平面垂直
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,E为PB的中点,EB=EA,PA⊥AC,PC⊥BC.求证:BC⊥平面PAC.
变式1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC的中点,求证:AE⊥平面PAD.
变式2 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AD=a,AB=2a,E为棱C1D1的中点.求证:DE⊥平面BCE.
[素养小结]
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的一般步骤:
①在这个平面内找两条直线,使它们和已知直线垂直;
②确定这个平面内的两条直线是相交直线;
③根据判定定理得出结论.
(2)证明线面垂直的常用方法除利用判定定理外,还可用以下结论:
①a∥b,a⊥α b⊥α;
②α∥β,a⊥α a⊥β.
拓展 (多选题)如图,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一点,E,F分别是PB,PC上的点,且AE⊥PB,AF⊥PC,给出下列结论,其中正确的有 ( )
A.BC⊥平面PAC B.AF⊥平面PCB
C.EF⊥PB D.AE⊥平面PCB
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
【课前预习】
知识点一
1.任意一条 l⊥α 垂线 垂面
3.垂直于 垂线段 垂线段
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)由图①可知错误.
①
(2)由图②可知错误.
②
(3)由直线与平面垂直的定义知正确.
2.解:由直线与平面垂直的定义知,随着时间的变化,旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角不变,为90°.
知识点二
1.两条相交直线 2.l⊥α
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)它们可以有公共点,也可以没有公共点.
(2)在线面垂直的判定定理中,要求平面内的两条直线必须相交.
(3)因为三角形的任意两条边都相交,所以根据直线与平面垂直的判定定理知,此直线与该三角形所在平面垂直.
2.解:当一条直线垂直于平行四边形的两条邻边时,此直线与该平行四边形所在平面垂直;当一条直线垂直于平行四边形的两条对边时,因为这两条对边平行,所以此直线与该平行四边形所在平面不一定垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)①③ [解析] (1)由线面垂直的判定定理可得,一条直线与一个平面垂直的条件是这条直线垂直于平面内的两条相交直线.只有C选项满足题意,当这条直线垂直于该平面内的任意两条直线时,这条直线也垂直于该平面内的两条相交直线.故选C.
(2)因为正五边形的任意两条边所在直线都相交,所以①可以证明线面垂直;因为梯形的上、下两底边平行,所以②不能证明线面垂直;因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以证明线面垂直;若直线垂直于正六边形的两条对边,因为两条对边是平行的,所以④不能证明线面垂直.故填①③.
变式 D [解析] 对于A,若a∥α,则α内存在无数条直线与a平行,故A中说法正确;对于B,若a⊥α,则a垂直于α内的任意直线,故B中说法正确;对于C,因为a∥b,a α,b α,所以a∥α,故C中说法正确;对于D,若存在无数条直线b,使得a⊥b,则a与α平行或相交(含垂直),故D中说法错误.故选D.
探究点二
例2 证明:设D是AB的中点,连接ED,∵EB=EA,
∴ED⊥AB.
∵E是PB的中点,D是AB的中点,
∴ED∥PA,∴PA⊥AB.
又PA⊥AC,AB∩AC=A,AB 平面ABC,AC 平面ABC,
∴PA⊥平面ABC.∵BC 平面ABC,∴PA⊥BC.
又PC⊥BC,PA∩PC=P,PA 平面PAC,PC 平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
变式1 证明:连接AC,因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形,
因为E是BC的中点,所以AE⊥BC,
因为AD∥BC,所以AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE,
又因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AE⊥平面PAD.
变式2 证明:易知BC⊥平面CDD1C1.
又DE 平面CDD1C1,∴DE⊥BC.
在△CDE中,CD=2a,CE=DE=a,则有CE2+DE2=CD2,∴∠DEC=90°,即DE⊥EC.
又BC∩EC=C,BC 平面BCE,EC 平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
拓展 ABC [解析] ∵PA垂直于圆O所在的平面,BC在圆O所在的平面内,∴PA⊥BC.又BC⊥AC,AC∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,∴BC⊥平面PAC,故A正确.∵AF 平面PAC,BC⊥平面PAC,∴AF⊥BC,又AF⊥PC,PC∩BC=C,PC 平面PCB,BC 平面PCB,∴AF⊥平面PCB,故B正确.∵AF⊥平面PCB,PB 平面PCB,∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,∴PB⊥平面AEF,又EF 平面AEF,∴EF⊥PB,故C正确.∵AF⊥平面PCB,且过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直,∴AE与平面PCB不垂直,故D不正确.故选ABC.
