第2课时 平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质定理,并能够证明.
2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面 a⊥α 面面垂直 线面垂直
2.面面垂直的性质定理的作用:
(1)判定直线与平面垂直;
(2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个平面垂直,则两个平面内任意两条直线互相垂直. ( )
(2)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,则b⊥β. ( )
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,如何在黑板上画一条直线与地面垂直
◆ 探究点一 面面垂直的性质定理的应用
例1 如图,在三棱锥P-ABC中,△PAC为正三角形,AB⊥AC,平面PAB⊥平面PAC.求证:AB⊥平面PAC.
变式 如图所示,四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,以BE为折痕将△BEC折起,使C到达C'的位置,且平面BEC'⊥平面ABED,得到四棱锥C'-ABED.
(1)求证:AE⊥BC';
(2)求二面角C'-AE-B的余弦值.
[素养小结]
当利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两平面的交线.
◆ 探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,N,M分别为AB,CC1的中点,且AB=AC.
(1)证明:CN⊥平面ABB1A1.
(2)证明:平面AMB1⊥平面ABB1A1.
变式 如图①,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,BC=2,E,F分别为腰AD,BC的中点,H,M分别为EF,AB的中点.将四边形CDEF沿EF折起,使平面EFC'D'⊥平面ABFE,如图②.
(1)求证:MH⊥平面EFC'D';
(2)请在图②所给的点中找出两个点,使得这两点所在直线与平面D'HM垂直,并给出证明.
[素养小结]
在证明两平面垂直时,一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂直用性质定理解题时,一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线,如果这样的直线在图中不存在,也需通过作辅助线来解决.
拓展 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在其表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长度为 .
第2课时 平面与平面垂直的性质
【课前预习】
知识点
1.垂直
诊断分析
1.(1)× (2)× [解析] (1)满足条件的这两条直线不一定垂直,如图所示,平面α⊥平面β,a α,b β,a,b不垂直.
(2)因为直线b不一定在平面α内,所以直线b不一定垂直于平面β.
2.解:记黑板所在平面与地面所在平面的交线为l,则由面面垂直的性质定理知,只要在黑板上画出一条与交线l垂直的直线,则所画直线必与地面垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:取PA的中点M,连接CM,BM,∵△PAC为正三角形,∴CM⊥PA.∵平面PAB⊥平面PAC,平面PAB∩平面PAC=PA,CM 平面PAC,∴CM⊥平面PAB.∵AB 平面PAB,∴AB⊥CM.又AB⊥AC,CM∩AC=C,AC 平面PAC,CM 平面PAC,∴AB⊥平面PAC.
变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形,∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB.∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',∴AE⊥BC'.
(2)由(1)知△BC'E是等腰直角三角形,∴∠BEC'=45°.∵AE⊥平面BEC',∴EB⊥AE,EC'⊥AE,∴∠BEC'是二面角C'-AE-B的平面角,∴二面角C'-AE-B的余弦值为.
探究点二
例2 证明:(1)在△ABC中,因为∠BAC=,AB=AC,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB的中点,所以CN⊥AB.
因为AA1⊥平面ABC,CN 平面ABC,所以AA1⊥CN.
因为AA1∩AB=A,AA1,AB 平面ABB1A1,
所以CN⊥平面ABB1A1.
(2)取AB1的中点D,连接DM,DN,如图.
因为N,D分别为AB,AB1的中点,所以DN∥BB1且DN=BB1.
又CM∥BB1且CM=BB1,
所以DN∥CM且DN=CM,
所以四边形CNDM为平行四边形,所以DM∥CN.
由(1)知CN⊥平面ABB1A1,所以DM⊥平面ABB1A1,
又DM 平面AMB1,所以平面AMB1⊥平面ABB1A1.
变式 解:(1)证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,H为EF的中点,M为AB的中点,∴MH⊥EF.∵平面EFC'D'⊥平面ABFE,平面EFC'D'∩平面ABFE=EF,MH 平面ABFE,∴MH⊥平面EFC'D'.
(2)在图②中,C',E这两个点所在直线与平面D'HM垂直.证明如下:连接C'E,C'H,由(1)知MH⊥平面EFC'D',∵C'E 平面EFC'D',∴MH⊥C'E.
∵C'D' EH, 且C'D'=D'E,∴四边形C'D'EH是菱形,
∴C'E⊥D'H.
∵MH∩D'H=H,∴C'E⊥平面D'HM,∴C',E这两点所在直线与平面D'HM垂直.
拓展 + [解析] 如图所示,分别取CD,SC的中点F,G,连接BD,EF,GF,GE,则易知GF∥SD,GE∥SB,因为GF,GE 平面SBD,SD,SB 平面SBD,所以GF∥平面SBD,GE∥平面SBD.因为GF∩GE=G,所以平面GEF∥平面SBD.设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD,则SO⊥AC,易知BD⊥AC,又BD∩SO=O,所以AC⊥平面SBD,则可得AC⊥平面GEF,故动点P的轨迹是△EFG的三边(除去点E).又EF=DB=,GF=GE=SB=,所以动点P的轨迹的长度为EF+FG+GE=+.8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
【学习目标】
1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的判定定理.
2.了解二面角及其平面角的概念.
3.能够运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一 二面角的概念
1.二面角的概念
从一条直线出发的 的图形叫作二面角.
这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.如图所示,棱为AB(l),面分别为α,β,此二面角可以记作二面角 或 或 或P-AB-Q.
2.二面角的平面角
(1)如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作 棱l的射线OA和OB,则 叫作二面角α-l-β的平面角.二面角的平面角α的取值范围是 .
(2)平面角是直角的二面角叫作直二面角.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二面角是从一条直线出发的两个半平面所夹的角度. ( )
(2)二面角是两个平面相交时两个平面所夹的锐角.( )
2.二面角就是两个平面相交所形成的图形吗
3.在两个半平面内分别向棱作垂线,两条垂线所成的角是否为二面角的平面角 它与二面角的平面角的大小有什么关系
◆ 知识点二 两平面互相垂直
1.平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
画法:画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直,如图所示.
记作: .
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言:如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直.
符号语言:a α,a⊥β .(线面垂直 面面垂直)
图形语言:如图所示.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,那么α⊥β. ( )
(2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线,那么α⊥β. ( )
(3)如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,那么α⊥β. ( )
2.过平面α的一条垂线可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条斜线可作多少个平面与平面α垂直 过平面α的一条平行线可作多少个平面与平面α垂直
◆ 探究点一 证明面面垂直
例1 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为B1C1的中点,证明:平面A1BM⊥平面BB1C1C.
变式 如图,在三棱锥D-ABC中,AB=CD=6,AD=BC=2,AB⊥BC,AD⊥DC,DB=.求证:平面ACD⊥平面ABC.
[素养小结]
判定面面垂直的方法:
(1)面面垂直的定义;
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a α α⊥β).
◆ 探究点二 求二面角
例2 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-A的正切值为 ( )
A. B.
C. D.
(2)三棱锥P-ABC的两个侧面PAB,PBC都是边长为2a的正三角形,AC=a,则二面角A-PB-C的大小为 ( )
A.90° B.30°
C.60° D.45°
变式 (1)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角的大小 ( )
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
(2)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求二面角D'-AB-D的大小.
[素养小结]
求二面角大小的一般步骤:
简称为“一作二证三求”.
拓展 如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC且△ABC为正三角形,M,N分别是PB,PC的中点,若平面AMN⊥平面PBC,求二面角P-BC-A的余弦值.
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
【课前预习】
知识点一
1.两个半平面所组成 α-l-β α-AB-β P-l-Q
2.(1)垂直于 射线OA和OB构成的∠AOB 0°≤α≤180°
诊断分析
1.(1)× (2)×
2.解:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,两个平面相交能形成四个二面角.
3.解:这两条垂线所成的角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平面角的大小相等或互补.
知识点二
1.直二面角 α⊥β 2.垂线 α⊥β
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√
2.解:根据平面与平面垂直的定义与判定定理,易知过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直.过平面α的一条斜线可作一个平面与平面α垂直.过平面α的一条平行线可作一个平面与平面α垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:在正三棱柱ABC-A1B1C1中,易知BB1⊥平面A1B1C1.
因为A1M 平面A1B1C1,所以BB1⊥A1M.
因为△A1B1C1为正三角形,M为B1C1的中点,
所以A1M⊥B1C1.
因为BB1∩B1C1=B1,BB1,B1C1 平面BB1C1C,
所以A1M⊥平面BB1C1C,
又A1M 平面A1BM,所以平面A1BM⊥平面BB1C1C.
变式 证明: ∵AB⊥BC,AB=6,BC=2,∴由勾股定理可得AC=4,故∠BAC=30°,同理可得∠ACD=30°.过点D作DO⊥AC,交AC于O,连接BO,如图,则DO=3,AO=.在△AOB中,由余弦定理得cos∠BAO===,可得OB=,则DO2+OB2=9+21=30=DB2,∴DO⊥OB.∵AC∩OB=O,∴DO⊥平面ABC,又DO 平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC.
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)如图,连接AC,与BD交于点O,连接A1O.∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1O,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.在Rt△A1OA中,tan∠A1OA==,即二面角A1-BD-A的正切值为,故选C.
(2)如图,取PB的中点M,连接AM,CM.因为△PAB,△PBC都是边长为2a的正三角形,所以AM⊥PB,CM⊥PB,因此∠AMC为二面角A-PB-C的平面角.由题意知AM=CM=a,又AC=a,所以△AMC为正三角形,即∠AMC=60°.故选C.
变式 (1)D [解析] 如图所示,平面EFDG⊥平面ABC,平面HDG⊥平面BCD,所以二面角A-BC-D的两个半平面分别垂直于二面角E-GD-H的两个半平面.当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直.因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.
(2)解:如图,由正方体的性质易知AB⊥平面ADD'A',又AD 平面ADD'A',AD' 平面ADD'A',
所以AB⊥AD,AB⊥AD',
又平面ABD∩平面ABD'=AB,
所以 ∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.因为四边形ADD'A'为正方形,
所以∠D'AD=45°,即二面角D'-AB-D的大小是45°.
拓展 解:取BC的中点F,连接PF,设PF∩MN=E,连接AE,AF.∵M,N分别是PB,PC的中点,PB=PC,
∴MN∥BC,E为MN的中点,PE⊥MN.
∵PA=PB=PC且△ABC为正三角形,
∴PC=PB,PA=PA,AC=AB,故△APC≌△APB,
又M,N分别是PB,PC的中点,∴AN=AM,
∴AE⊥MN,∴∠PEA即为二面角P-MN-A的平面角.
∵平面AMN⊥平面PBC,∴∠PEA=90°,
又PE=EF,∴PA=AF. ∵PF⊥BC,AF⊥BC,
∴∠AFP即为二面角P-BC-A的平面角.
设AB=2a,则PA=PB=PC=AF=a,∴PF==a,∴EF=a.
在Rt△AEF中, cos∠AFE==,即cos∠AFP=,∴二面角P-BC-A的余弦值为.
