7.1.1 数系的扩充和复数的概念 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
　　1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数.
　　2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示,掌握复数的分类,理解两个复数相等的充要条件.
◆ 知识点一　复数的有关概念
1.复数
(1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作　　　　　,a叫作复数的　　　　,b叫作复数的　　　　.
(2)表示方法:复数通常用　　　　表示,即　　　　　　　　　.
2.复数集
(1)定义:　　　　　所构成的集合叫作复数集.
(2)表示方法:通常用　　　　表示.
3.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当　　　　　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数a+bi的实部是a,虚部是b. (　 )
(2)任何两个复数都不能比较大小. (　 )
(3)3+i>2+i. (　 )
(4)方程x2+3=0无解. (　 )
2.若复数z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R)满足z1=z2,则a+b的值为多少
◆ 知识点二　复数的分类
1.复数 z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
复数
2.用图示法表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系,如图所示.
【诊断分析】 (1)若复数z=a+bi(a,b∈R),且z=0,则a+b的值为　　　　.
(2)用“ ”或“ ”填空:N*　　　　N　　　　Z　　　　Q　　　　R　　　　C.
◆ 探究点一　复数的概念
例1 (1)下列说法中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.5+i>4+i
B.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数
C.实数集是复数集的真子集
D.若z2=-1,则z=i
(2)写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
4,2-3i,-+i,5+i,6i.
变式 (多选题)已知a,b∈R,i为虚数单位,下列说法错误的是 (　 )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若z=3-2i,则z的虚部为2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i2=-1
[素养小结]
(1)对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大组成部分.
◆ 探究点二　复数的分类应用
[探索] 当a,b满足什么条件时,复数z=a+bi(a,b∈R)分别是实数、虚数、纯虚数


例2 已知m∈R,复数z=+(m2-3m-18)i.
(1)当m满足什么条件时,复数z为实数
(2)当m满足什么条件时,复数z为虚数
(3)当m满足什么条件时,复数z为纯虚数
变式 (1)当实数m满足什么条件时,复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是实数 虚数
(2)已知复数z=(m2-2m-3)+(m-3)i(m∈R),当实数m取何值时,复数z表示纯虚数 并写出此时z的虚部.
[素养小结]
复数分类问题的求解方法与步骤:
(1)化标准式:先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,从而确定实部与虚部.
(2)定条件求解:根据所给条件列出实部和虚部满足的方程(不等式),求解即可.
特别关注:复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
◆ 探究点三　复数的相等及其应用
例3 (1)已知x,y是实数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,则x=　　　　,y=　　　　.
(2)已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,则实数m的取值集合为　　　　　　　.
变式 (1)已知x,y均是实数,且满足(2x-2)+i=-y-(5-y)i,求x与y的值.
(2)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),求实数a的值.
(3)已知(m2-1)+(m2-2m)i>1,求实数m的值.
[素养小结]
(1)根据复数相等的充要条件,可将复数问题转化为实数问题,这是复数问题实数化思想的体现.
(2)如果两个复数都是实数,那么可以比较大小,否则是不能比较大小的.
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【课前预习】
知识点一
1.(1)虚数单位　实部　虚部　(2)字母z　z=a+bi(a,b∈R)
2.(1)全体复数　(2)C　3.a=c且b=d
诊断分析
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)对于复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),其实部是a,虚部是b.
(2)当两个复数都是实数时,能比较大小.
(3)两个虚数不能比较大小.
(4)该方程在复数范围内有解.
2.解:由题意得a=1,b=3,则a+b=4.
知识点二
1.(b=0)　(b≠0)
诊断分析
(1)0　(2) 　 　 　 　 　[解析] (2)根据各数集的含义可知,N* N Z Q R C.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　[解析] 在A中,两个虚数不能比较大小,故A错误;在B中,当a=-1时,(a+1)i是实数,故B错误;易知C正确;在D中,当z=-i时,z2=-1,故D错误.故选C.
(2)解:4,2-3i,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,-,5,0,虚部分别是0,-3,,,6.4是实数,2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.
变式　AB　[解析] 对于A,当a=0且b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中说法错误;对于B, 若z=3-2i,则z的虚部为-2,故B中说法错误;易知C,D中说法正确.故选AB.
探究点二
探索 解:当b=0时,z=a+bi是实数;当b≠0时,z=a+bi是虚数;当a=0,b≠0时,z=a+bi是纯虚数.
例2　解:(1)要使z=+(m2-3m-18)i为实数,
只需解得m=6.
(2)要使z=+(m2-3m-18)i为虚数,
只需解得m≠-3且m≠6.
(3)要使z=+(m2-3m-18)i为纯虚数,
只需解得m=1或m=-.
变式　解:(1)若复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是实数,则m2+5m+6=0,∴m=-3或m=-2.若复数z=m2+m-2+(m2+5m+6)i是虚数,则m2+5m+6≠0,∴m≠-3且m≠-2.
(2)依题意得,当m2-2m-3=0且m-3≠0,即m=-1时,复数z是纯虚数,此时z=-4i,故z的虚部为-4.
探究点三
例3　(1)　4　(2){1,2}　[解析] (1)∵x,y是实数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,∴由复数相等的充要条件得解得
(2)∵M∪P=P,∴M P,∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.∴实数m的取值集合为{1,2}.
变式　解:(1)由复数相等的充要条件得解得
(2)由题意得 解得或 所以a=±.
(3)由题意得 解得m=2.