7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【学习目标】
　　1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算.
　　2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单数学问题.
◆ 知识点一　复数的加、减法运算
1.复数的加、减法运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1+z2=　　　　　　　　,
z1-z2=　　　　　　　　.
2.复数加法的运算律
(1)交换律:z1+z2=　　　　.
(2)结合律:(z1+z2)+z3=　　　　　.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数与复数相加、减后结果为复数. (　 )
(2)复数加法的运算律类同于实数的加法运算律.(　 )
(3)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. (　 )
2.复数(1-i)-(2+i)+3i=　　　　　　.
◆ 知识点二　复数加、减法的几何意义
1.如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为,,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则与z1+z2对应的向量是　　　　,与z1-z2对应的向量是　　　　.
2.复平面内两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离为　　　　　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义. (　 )
(2)|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复数z在复平面内对应的点Z与复数z0在复平面内对应的点Z0之间的距离. (　 )
(3)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则复平面内这两个复数对应的点之间的距离为8. (　 )
◆ 探究点一　复数的加、减运算
[探索] 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体怎么运算呢


例1 计算:(1)(-2+3i)+(5-i)=　　　　;
(2)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)=　　　　;
(3)若a,b∈R,则(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=　　　　.
变式 (1)设x,y∈R,若x+(y-1)i=3+xi,其中i是虚数单位,则x+y=　　　　.
(2)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b=　　　　.
(3)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=　　　　.
[素养小结]
复数的加、减法运算技巧
(1)对于复数的加减运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可.类比实数的加减运算,若有括号,则先计算括号内的;若没有括号,则可从左到右依次进行计算.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
◆ 探究点二　复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量表示的复数;
(2)向量表示的复数及A,C两点之间的距离;
(3)向量表示的复数及O,B两点之间的距离.
变式 (1)若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2在复平面内对应的点在实轴上,则a= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.2
C.1 D.-1
(2)在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
①求,,对应的复数;
②判断△ABC的形状.
[素养小结]
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
◆ 探究点三　|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义的应用
例3 (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 (　 )
A.1 B.
C.2 D.
(2)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
变式 [2024·菏泽一中高一月考] 设z是复数且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值.
[素养小结]
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离,利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何问题求解.
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【课前预习】
知识点一
1.(a+c)+(b+d)i　(a-c)+(b-d)i
2.(1)z2+z1　(2)z1+(z2+z3)
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (3)两个虚数作差可以等于实数,所以可以比零大,但是两个虚数是不能比较大小的.
2.-1+i　[解析] (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
知识点二
1.　　2.
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:两个或两个以上的复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
例1　(1)3+2i　(2)-4-10i　(3)2+(2b-3)i
[解析] (1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
(2)原式=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.
(3)(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=2-3i+[-(a-b)+(a+b)]i=2+(2b-3)i.
变式　(1)7　(2)3　(3)-1+10i　[解析] (1)因为x+(y-1)i=3+xi,所以x=3,y-1=x,即x=3,y=4,所以x+y=7.
(2)∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,∴
解得∴a+b=3.
(3)因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以解得所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
探究点二
例2　解:(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,则|AC|==.
(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,则|OB|==.
变式　(1)D　[解析] ∵z1+z2=2+i+(3+ai)=5+(1+a)i在复平面内对应的点在实轴上,∴1+a=0,解得a=-1.故选D.
(2)解:①因为A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i,所以,,(O为坐标原点)对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.因为=-,所以对应的复数为(2+i)-1=1+i;因为=-,所以对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i;因为=-,所以对应的复数为(-1+2i)-(2+i)=-3+i.综上,对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
②因为||==,||==2,||==,所以||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.
探究点三
例3　(1)A　[解析] 设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3.因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点Z的轨迹为线段Z1Z2,原问题可转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.易知|ZZ3|min=1,所以|z+i+1|min=1.
(2)解:方法一:作出z1,z2对应的向量,(O为坐标原点),使+=.∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,∴,不共线,连接ZZ1,ZZ2,则四边形OZ1ZZ2为菱形,又|z1|2+|z2|2=|z1+z2|2,∴四边形OZ1ZZ2为正方形,∴|z1-z2|=.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0,∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=.
方法三: |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),将已知数据代入,可得|z1-z2|2=2,则|z1-z2|=.
变式　解:设复数z在复平面内表示的点为Z,根据复数模的几何意义可知,点Z的集合为复平面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,又|z|表示点Z到原点的距离,
所以|z|min=-1=-1.