7.1.2 复数的几何意义 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.2　复数的几何意义
【学习目标】
　　1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念,理解复数模的概念.
　　2.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题.
◆ 知识点一　复平面
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b, 复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作　　　　,x轴叫作　　　　,y轴叫作　　　　.实轴上的点都表示实数;除了　　　　外,虚轴上的点都表示纯虚数.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,与实数对应的点都在实轴上. (　 )
(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. (　 )
(3)在复平面内,与非纯虚数对应的点都分布在四个象限内. (　 )
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知识点二　复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点　　　　及以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量　　　　是一一对应的(如图所示).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数即为向量,反之,向量即为复数. (　 )
(2)复数与向量一一对应. (　 )
(3)若=(0,-3),则在复平面内对应的复数为-3i . (　 )
(4)复数z=1-4i在复平面内对应的点在第四象限.(　 )
◆ 知识点三　复数的模
(1)定义:向量的　　　　叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.
(2)记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作　　　　或　　　　.
(3)公式:|z|=|a+bi|=　　　　,其中a,b∈R.
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于　　　　(a的绝对值).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的模一定是正实数. (　 )
(2)两个复数的模可以比较大小. (　 )
2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|=　　　　.
◆ 知识点四　共轭复数
(1)定义:当两个复数的实部　　　　,虚部　　　　　　时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作　　　　　.
(2)表示方法:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,那么=　　　　.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,两个互为共轭复数的复数对应的点关于实轴对称. (　 )
(2)实数a的共轭复数仍是a本身. (　 )
(3)两个互为共轭复数的复数的模相等. (　 )
◆ 探究点一　复数的几何意义
例1 (1)已知在复平面内,O是坐标原点,复数z=2+i对应的点是Z,如果点Z1与点Z关于虚轴对称,点Z2与点Z关于原点对称,分别求与对应的复数.
(2)当实数m满足什么条件时,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点①在虚轴上 ②在第二象限 ③在直线y=x上
变式 (1)在复平面内,将复数1+i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,那么对应的复数是　　　　.
(2)当实数m满足什么条件时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点①位于第四象限 ②位于x轴的负半轴上
[素养小结]
(1)在复平面内,解决复数与点的一一对应的问题时,首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标,再根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
(2)在复平面内,解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
◆ 探究点二　复数模的计算
例2 (1)已知复数z=4+3i,则|z|= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.1
C.5 D.
(2)已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z=　　　　.
(3)若复数z=(a+2)-2ai的共轭复数的模等于,则实数a的值为　　　　.
变式 (1)求复数z1=6+8i,z2=--i的模,并比较它们的模的大小.
(2)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z.
[素养小结]
(1)通常用复数z=a+bi(a,b∈R)的模的公式|z|=计算复数的模.
(2)已知复数的模求复数,只需套用模长公式解方程.
◆ 探究点三　复数的模的几何意义
例3 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小.
(2)设z∈C,且|z|=|z1|,则复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形
变式 (1)设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合对应图形的长为　　　　.
(2)复数z0=2i(i为虚数单位),复数z1满足1≤|z1|≤|z0+2|,在复平面内z1对应的点Z1组成的集合为U,求集合U对应图形的面积.
[素养小结]
解决复数模的几何意义的问题时,应根据复数的模的定义|z|=||,并依据|z|满足的条件,判断点Z的集合表示的图形,把复数模的问题转化为几何问题来解决.比较常见的几何图形有直线、圆、圆环等.
7.1.2　复数的几何意义
【课前预习】
知识点一
复平面　实轴　虚轴　原点
诊断分析
1.(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (2)在复平面内,与纯虚数对应的点都在虚轴上,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.D　[解析] 复平面内的点(0,-2)对应的复数是-2i,是纯虚数.
知识点二
Z(a,b)　
诊断分析
(1)×　(2) ×　(3)√　(4)√
知识点三
(1)模　(2)|z|　|a+bi|　(3)　|a|
诊断分析
1.(1)×　(2)√　[解析] (1)还有可能是零.
2.
知识点四
(1)相等　互为相反数　共轭虚数　(2)a-bi
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)由题意知,Z(2,1),
由Z1与Z关于虚轴对称,得Z1(-2,1),
由Z2与Z关于原点对称,得Z2(-2,-1),
∴,的坐标分别为(-2,1),(-2,-1),
∴,对应的复数分别为-2+i,-2-i.
(2)复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
①由复数z在复平面内对应的点在虚轴上,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
②由复数z在复平面内对应的点在第二象限,得即∴-1③由复数z在复平面内对应的点在直线y=x上,得m2-m-2=m2-3m+2,∴m=2.
变式　(1)i　[解析] 由题意得=(1,1),则||=.将绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,则点M1在y轴上,且||=,所以=(0,),所以对应的复数是i.
(2)解:①由题意得即∴-7②由题意得即∴m=4.
探究点二
例2　(1)C　(2)-1+i　(3)或-1　[解析] (1)z=4+3i,则|z|==5.故选C.
(2)因为z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2,得=2,解得a=-1或a=1(舍去),所以z=-1+i.
(3)方法一:由题意得=(a+2)+2ai,∵||=,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
方法二:∵|z|=||,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
变式　解:(1)因为|z1|==10,
|z2|==,所以|z1|>|z2|.
(2)依题意可设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因为z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,所以解得a=12,b=-5,故z=12-5i.
探究点三
例3　解:(1)|z1|==2,
|z2|= =1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),所以点Z到原点的距离为2,所以点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
变式　(1)10π　[解析] 由|z|=|3+4i|得|z|=5,这表明向量(O为坐标原点)的模等于5,即点Z到原点的距离等于5,因此点Z的集合是以原点O为圆心,5为半径的圆,其长度为10π.
(2)解:由题知z0=2i,因为1≤|z1|≤|z0+2|,所以1≤|z1|≤|2+2i|=2,
所以在复平面内z1对应的点Z1组成的集合U是夹在以原点为圆心,1为半径的圆与以原点为圆心,2为半径的圆之间的圆环,
所以集合U对应图形的面积为π×(2)2-π×12=7π.