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专题24 圆的有关性质
一．选择题（共28小题）
1．（2024 长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为
A．4 B． C．5 D．
2．（2024 新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为
A． B． C． D．
4．（2024 通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为
A． B． C． D．
5．（2024 台湾）如图，、皆为半圆，与相交于点，其中、、、在同一直在线，且为的中点．若，则的度数为何？
A．58 B．60 C．62 D．64
6．（2024 海南）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于
A． B． C． D．
7．（2024 泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
8．（2024 赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是
A． B． C． D．
9．（2024 湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为
A． B． C． D．
10．（2024 临夏州）如图，是的直径，，则
A． B． C． D．
11．（2024 甘肃）如图，点，，在上，，垂足为，若，则的度数是
A． B． C． D．
12．（2024 云南）如图，是的直径，点，在上．若，，则
A． B． C． D．
13．（2024 宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于
A． B． C． D．
14．（2024 重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为
A． B． C． D．
15．（2024 台湾）中，，．今分别以、为圆心，长为半径画圆、圆，关于点位置，下列叙述何者正确？
A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部
C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部
16．（2024 广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于
A． B． C． D．
17．（2024 牡丹江）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为
A． B． C． D．
18．（2024 吉林）如图，四边形内接于．过点作，交于点．若，则的度数是
A． B． C． D．
19．（2024 济宁）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点，．若，，则的度数为
A． B． C． D．
20．（2024 宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于，则的值为
A． B． C． D．
21．（2024 河南）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
22．（2024 滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是
A． B．
C． D．
23．（2024 德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为
A．1 B． C．2 D．4
24．（2024 雅安）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为
A．4 B． C．6 D．
25．（2024 甘孜州）如图，正六边形内接于，，则的长为
A．2 B． C．1 D．
26．（2024 济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为
A．1 B．2 C． D．
27．（2024 呼和浩特）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为
A． B． C． D．
28．（2024 青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点，，则的度数是
A． B． C． D．
二．多选题（共1小题）
29．（2024 潍坊）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．四边形为菱形
三．填空题（共22小题）
30．（2024 常州）如图，是的直径，是的弦，连接、、．若，则 ．
31．（2024 牡丹江）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为 ．
32．（2024 北京）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则 ．
33．（2024 陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
34．（2024 南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则 度．
35．（2024 江西）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ．
36．（2024 连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 ．
37．（2024 长春）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ．
38．（2024 青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
39．（2024 滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ．
40．（2024 巴中）如图，四边形为的内接四边形．若四边形为菱形，则的大小为 ．
41．（2024 苏州）如图，是的内接三角形，若，则 ．
42．（2024 黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则 ．
43．（2024 淮安）如图，△是的内接三角形，，半径为3，则的长为 ．
44．（2024 盐城）如图，是的内接三角形，，连接、，则 ．
45．（2024 眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 ．
46．（2024 山东）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
47．（2024 内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．
48．（2024 镇江）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 ．
49．（2024 宿迁）如图，已知正六边形的边长为2，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
50．（2024 广元）点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为 ．
51．（2024 淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则 ．
四．解答题（共8小题）
52．（2024 台湾）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．
这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接．、两点为图2中距离最远的两个桌角，、两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于点，为中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）的长度为多少公分？
（2）判断与的长度何者较大？请说明理由．
53．（2024 包头）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点，连接，，且．
（1）如图1，若，，求的半径；
（2）如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
54．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
55．（2024 安徽）如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为，若，求的长．
56．（2024 苏州）如图，中，，为中点，，，是的外接圆．
（1）求的长；
（2）求的半径．
57．（2024 宁夏）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若的半径为，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
58．（2024 烟台）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；
（3）若，，求的周长．
59．（2024 自贡）在中，，是的内切圆，切点分别为，，．
（1）图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ；
（2）如图2，延长到点，使，过点作于点．求证：是的切线．
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专题24 圆的有关性质
一．选择题（共28小题）
1．（2024 长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为
A．4 B． C．5 D．
【答案】
【考点】垂径定理；勾股定理
【解析】，
，
．
故选．
2．（2024 新疆）如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【考点】垂径定理；勾股定理
【解析】是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选．
3．（2024 凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用
【解析】设圆心为，连接，如图所示，
垂直平分，，
，
，，
，
，
，
，
解得，
即圆形工件的半径为，
故选．
4．（2024 通辽）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂径定理的应用
【解析】如图，连接，
为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，
，，
设拱门所在圆的半径为，
，而，
，
，
解得：，
拱门所在圆的半径为；
故选．
5．（2024 台湾）如图，、皆为半圆，与相交于点，其中、、、在同一直在线，且为的中点．若，则的度数为何？
A．58 B．60 C．62 D．64
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】如图，连接、，
为的中点，
为左边半圆的直径，
的度数为，
，
是右边圆的直径，
，
，
的度数为：，
故选．
6．（2024 海南）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】连接、、．
是半圆的直径，
，
，
，
，
△、△均是等边三角形，
，
，
，
△是等腰三角形，
，
，
，
，
．
故选．
7．（2024 泰安）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】，
，
平分，
，
是的直径，
，
．
故选．
8．（2024 赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】半径，
，
，
，
，
，
．
故选．
9．（2024 湖南）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】，
．
又，
．
故选．
10．（2024 临夏州）如图，是的直径，，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理
【解析】，
，
．
故选．
11．（2024 甘肃）如图，点，，在上，，垂足为，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理
【解析】，
，
，
，
．
故选．
12．（2024 云南）如图，是的直径，点，在上．若，，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】连接，
，
，
故选．
13．（2024 宜宾）如图，是的直径，若，则的度数等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理
【解析】是的直径，
，
，
，
，
故选．
14．（2024 重庆）如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】，
．
，
点为的中点，
，
，
．
，
．
故选．
15．（2024 台湾）中，，．今分别以、为圆心，长为半径画圆、圆，关于点位置，下列叙述何者正确？
A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部
C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部
【答案】
【考点】圆周角定理；点与圆的位置关系
【解析】，．
，
，
点在圆外，在圆内，
故选．
16．（2024 广元）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
故选．
17．（2024 牡丹江）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【解析】如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
故选．
18．（2024 吉林）如图，四边形内接于．过点作，交于点．若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【解析】，
，
四边形内接于，
．
故选．
19．（2024 济宁）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点，．若，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆内接四边形的性质；三角形的外角性质；度分秒的换算
【解析】四边形是圆内接四边形，
，
是的外角，
，
是的外角，
，
，
，
，
，，
，
，
故选．
20．（2024 宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；旋转的性质；特殊角的三角函数值
【解析】如图，连接、，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
在四边形中，，
，
绕点逆时针旋转后得到对应的三角形为△，则，，三点共线，如图所示，
，
由旋转可知，，
，
在等腰直角三角形中，，
．
故选．
21．（2024 河南）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】扇形面积的计算；三角形的外接圆与外心；垂径定理；等边三角形的性质
【解析】如图，连接、、，交于点．
为等边三角形，
，
，，
是弧中点，
，，，
，
，，
为等边三角形，
，
，
故选．
22．（2024 滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
三角形为直角三角形，令，，．
选项，
选项，
选项，
选项，
很明显，只有选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是选项．
故答案选：．
方法二：如图，作于点，于点，于点．
易证四边形是正方形，设，
则，
，，
，
，
，
．故选项正确．
，
，
，
，即．故选项正确．
由前面可知，
，
，
上述式子，
，故选项正确．
排除法可知选项错误．
故选．
23．（2024 德阳）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为
A．1 B． C．2 D．4
【答案】
【考点】二次根式的乘除法；正多边形和圆
【解析】如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，
，
，
是正三角形，
，
设，则，
，
，
解得或舍去，
即正六边形的边长为2．
故选．
24．（2024 雅安）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为
A．4 B． C．6 D．
【答案】
【考点】正多边形和圆
【解析】设半径为，由题意得，，
解得，
六边形是的内接正六边形，
，
，
是正三角形，
弦所对应的弦心距为，
．
故选．
25．（2024 甘孜州）如图，正六边形内接于，，则的长为
A．2 B． C．1 D．
【答案】
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质
【解析】正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
故选．
26．（2024 济宁）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【考点】三角形的内切圆与内心；正多边形和圆
【解析】如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，点是它的中心，
，
，
是正三角形，
，
，
在中，，，
，
即它的内切圆半径为，
故选．
27．（2024 呼和浩特）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆周角定理；正多边形和圆
【解析】如图，连接，，，，，连接，则是正五边形，正方形的对称轴，
，，
是正五边形的对称轴，
，
，
，
．
故选．
28．（2024 青岛）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】正多边形和圆
【解析】五边形是正五边形，
，
四边形为正方形，
，，
，，
，
故选．
二．多选题（共1小题）
29．（2024 潍坊）如图，是的外接圆，，连接并延长交于点．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点．直线交于点，连接，下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．四边形为菱形
【答案】
【考点】菱形的性质；解直角三角形；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【解析】令，交于点，
由题意得：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，选项正确；
，，
，
，
，
故四边形为菱形，选项正确；
，
，
四边形为菱形，
，
四边形为平行四边形，
，
，选项正确；
，故选项错误；
故选．
三．填空题（共22小题）
30．（2024 常州）如图，是的直径，是的弦，连接、、．若，则 70 ．
【答案】．
【考点】直角三角形的性质；圆周角定理
【解析】，
．
是的直径，
，
．
故答案为：．
31．（2024 牡丹江）如图，在中，直径于点，，，则弦的长为 ．
【答案】．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】，，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
32．（2024 北京）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则 55 ．
【答案】55．
【考点】圆周角定理
【解析】设与相交于点，
的直径平分弦（不是直径），
，
，
，
，
，
故选55．
33．（2024 陕西）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．
【答案】．
【考点】圆周角定理
【解析】是所对的圆周角，
．
，
．
又，
，
，
即．
故答案为：．
34．（2024 南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则 75 度．
【答案】75．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】，，
，
，
故答案为：75．
35．（2024 江西）如图，是的直径，，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 或或2 ．
【答案】或或2．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
，
将沿翻折交直线于点，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
；
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：或或2．
36．（2024 连云港）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点、，则 90 ．
【答案】90．
【考点】圆周角定理
【解答】是圆的直径，
所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，
、、、所对的弧的和为半圆，
，
故答案为：90．
37．（2024 长春）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是，
上述结论中，正确结论的序号有 ①②③ ．
【答案】①②③．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；解直角三角形的应用
【解析】①点是的中点，
，
，
故结论①正确；
②是半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
，
，
故结论②正确；
③，，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故结论③正确；
④点是的中点，，
，
即点，为半圆弧上的三等分点，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，
，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
38．（2024 青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
【答案】．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理
【解析】四边形是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：．
39．（2024 滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 60 ．
【答案】60．
【考点】圆内接四边形的性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】四边形内接于，
，
四边形是菱形，
，
，
由圆周角定理得：，
，
故答案为：60．
40．（2024 巴中）如图，四边形为的内接四边形．若四边形为菱形，则的大小为 ．
【答案】．
【考点】圆内接四边形的性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
41．（2024 苏州）如图，是的内接三角形，若，则 62 ．
【答案】62．
【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】连接，
，，
，
，
，
故答案为：62．
42．（2024 黑龙江）如图，内接于，是直径，若，则 65 ．
【答案】65．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【解析】连接，
，
，
是的直径，
，
，
故答案为：65．
43．（2024 淮安）如图，△是的内接三角形，，半径为3，则的长为 ．
【答案】．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【解析】，
，
弧的长为：．
故答案为：．
44．（2024 盐城）如图，是的内接三角形，，连接、，则 50 ．
【答案】50．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
45．（2024 眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连结．若，，则的长为 8 ．
【答案】8．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】延长，交于，
是的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：8．
46．（2024 山东）如图，是的内接三角形，若，，则 ．
【答案】．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理
【解析】连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
47．（2024 内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】．
【考点】轴对称最短路线问题；三角形的内切圆与内心
【解析】在取点，使，连接，，过点作于，
是 的内心，
平分，
，
又，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小值为，
，，
，
，
，，
，
的最小值为 ，
故答案为：．
48．（2024 镇江）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则 10 ．
【答案】10．
【考点】圆周角定理；正多边形和圆
【解析】，
，
，
故答案为：10．
49．（2024 宿迁）如图，已知正六边形的边长为2，以点为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为 ．
【答案】．
【考点】正多边形和圆；弧长的计算
【解析】如图，六边形是正六边形，
，
的长为．
故答案为：．
50．（2024 广元）点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为 ．
【答案】．
【考点】正多边形和圆
【解析】由正五边形的性质可知，是正五边形的对称轴，
，
是正五边形的外角，
，
，
故答案为：．
51．（2024 淮安）如图，点是正六边形的边的中点，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后恰好经过顶点．已知正六边形的边长为2，则 ．
【答案】．
【考点】正多边形和圆
【解析】如图，延长、交于点，作于点，于点，则，
由反射光线的性质可知，
，
即，
，
，
，
设，则，
，
六边为正六边形，
，
，
是中点，
，
在△中，，，
，
在正六边形中，，
，，
△△，
，即，
解得，
，
连接，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
．
故答案为：．
四．解答题（共8小题）
52．（2024 台湾）某教室内的桌子皆为同一款多功能桌，4张此款桌子可紧密拼接成中间有圆形镂空的大圆桌，上视图如图1所示，其外围及镂空边界为一大一小的同心圆，其中大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，且任两张相邻桌子接缝的延长线皆通过圆心．
为了有效运用教室空间，老师考虑了图2及图3两种拼接此款桌子的方式．
这两种方式皆是将2张桌子的一边完全贴合进行拼接．、两点为图2中距离最远的两个桌角，、两点为图3中距离最远的两个桌角，且与2张桌子的接缝相交于点，为中点．
请根据上述信息及图2、图3中的标示回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）的长度为多少公分？
（2）判断与的长度何者较大？请说明理由．
【考点】由三视图判断几何体；垂径定理
【解析】（1）大圆的半径为80公分，小圆的半径为20公分，
大圆的半径小圆的半径（公分），
为中点，
公分；
答：的长度为30公分．
（2），理由如下：
由题意得：大圆的直径（公分），
如图3，延长、交于点，延长、交于点，则公分，
公分，
公分，
，
，
公分，
，
，
即．
53．（2024 包头）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点，连接，，且．
（1）如图1，若，，求的半径；
（2）如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解答】（1）解：如图1中，过点作于点．
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为3．
（2）证法一：如图2中，过点作于点，则，
，
，
，，
，
，
；
证法二：如图2中，过点作于点，则，
，
，
，，，
，
，
；
54．（2024 浙江）如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连结，使．
（1）若，为直径，求的度数．
（2）求证：①；
②．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【解答】（1）解：为直径，
，
，
，
；
（2）证明：①如图，延长，
四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
；
②过点作交于点，连接，，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
55．（2024 安徽）如图，是的外接圆，是直径上一点，的平分线交于点，交于另一点，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为，若，求的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形的外接圆与外心；垂径定理
【解答】（1）证明：，
，
与都是所对的圆周角，
，
，
，
平分，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，，
，，
圆的半径，
，
在中，，，，
．
56．（2024 苏州）如图，中，，为中点，，，是的外接圆．
（1）求的长；
（2）求的半径．
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】（1），，
，
，
，为中点，
，
，
；
（2）过点作于点，连接，并延长交于，连接，
在中，，，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，即，
解得，（舍去），
，，
与都是所对的圆周角，
，
为的直径，
，
，
，即的半径为．
57．（2024 宁夏）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若的半径为，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【考点】圆周角定理；解直角三角形；三角形的内切圆与内心；切线的性质；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算
【解答】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为 的内心，
，
，
，
又为的直径，
，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
，，
，
．
58．（2024 烟台）如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
（1）若，求的度数；
（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；
（3）若，，求的周长．
【考点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】（1）是的直径，
，
又，
，
四边形是内接四边形，
，
；
（2），
连接，
点为的内心，
，，
，
，，
，，
，
；
（3）过分别作，，，垂足分别为、、，
点为的内心，即为的内切圆的圆心，
、、分别为该内切圆与三边的切点，
，，，
，，，
，
，，，
，
的周长为
．
59．（2024 自贡）在中，，是的内切圆，切点分别为，，．
（1）图1中三组相等的线段分别是， ， ；若，，则半径长为 ；
（2）如图2，延长到点，使，过点作于点．求证：是的切线．
【考点】切线的判定与性质；三角形的内切圆与内心
【解答】（1）解：连接，，如图：
由切线长定理可知，，，
，是的内切圆，
，，
四边形是正方形，
设，则，，
，
，
解得，
，即半径长为1；
故答案为：，，1；
（2）证明：过作于，连接，，，如图：
，，，
，
，
，
，即，
同（1）可知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，即是的半径，
，
是的切线．
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