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专题26 圆的有关计算及综合压轴题
一．弧长的计算
1．（2024 安徽）若扇形的半径为6，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】，
故选：．
2．（2024 贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】因为，，
所以的长为：．
故选：．
3．（2024 广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】弧长的计算；等腰三角形的性质
【解析】连接，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
的长度为，
故选：．
4．（2024 包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】弧长的计算
【解析】如图，连接，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的长为．
故选：．
5．（2024 哈尔滨）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 ．
【答案】．
【考点】弧长的计算
【解析】，
，
故答案为：．
6．（2024 成都）如图，在扇形中，，，则的长为
【答案】．
【考点】弧长的计算
【解析】的长为．
故答案为：．
7．（2024 镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长 （结果保留．
【答案】．
【考点】平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】四边形是平行四边形，
，
由题意得：，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：．
8．（2024 临夏州）如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为 （结果保留．
【答案】．
【考点】翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；正方形的性质
【解析】由对折可知，
四边形是矩形，，
则，．
过点作的垂线，垂足为，
则．
因为，，
所以．
在中，
，
所以，
则，
所以的长度为：．
故答案为：．
9．（2024 内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 28.7 米．取3.14，计算结果精确到
【答案】28.7．
【考点】弧长的计算
【解析】由题意，
（米．
米．
故答案为：28.7．
10．（2024 兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转，则 108 ．
【答案】108．
【考点】弧长的计算
【解析】的周长为 ，
顺时针转动3周时，点移动的弧长为 ，
，
解得，
故答案为：108．
11．（2024 长春）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为 ．（结果保留
【答案】．
【考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质；轨迹
【解析】有题可知点经过的轨迹是以为圆心的弧．
，
，
，
弧得长度为：．
故答案为：．
二．扇形面积的计算
12．（2024 青岛）如图，，，，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】扇形面积的计算；圆周角定理
【解析】如图，连接，
则，
，
，
，
，
扇形的面积为，
故选：．
13．（2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】扇形面积的计算
【解析】如图，连接，，作于点，
，
三角形是等边三角形，
，，
，
，
．
故选：．
14．（2024 东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ．
A． B． C． D．
【答案】
【考点】扇形面积的计算
【解析】由题知，
，
，
所以山水画所在纸面的面积为：．
故选：．
15．（2024 河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】函数的图象；扇形面积的计算
【解析】设该扇子所在圆的半径为，
，
，
该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
，
，
是的正比例函数，
，
它的图象是过原点的一条线段，
故选：．
16．（2024 重庆）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】扇形面积的计算
【解析】连接．
两弧有且仅有一个公共点，，
，
在 中，，
，
两个扇形均为圆，而且它们的半径相等，
两个扇形为圆，面积之和为，
．
故选：．
17．（2024 长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为 （结果保留．
【答案】．
【考点】扇形面积的计算
【解析】扇形的面积．
故答案为：．
18．（2024 深圳）如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，为中点，，则扇形的面积为 ．
【答案】
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】，
，
为中点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
同理，，
，
．
故答案为：．
19．（2024 资阳）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】．
【考点】矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】如图，连接、．
由题意易知是等边三角形，
．
故答案为：．
20．（2024 吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留．
【答案】．
【考点】扇形面积的计算
【解析】阴影部分的面积为：．
故答案为：．
21．（2024 山西）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．
【答案】．
【考点】扇形面积的计算
【解析】由题知，
，
点，分别是，的中点，
，
，
花窗的面积为
故答案为：．
22．（2024 甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 （结果用表示）
【答案】．
【考点】扇形面积的计算
【解析】
，
故答案为：．
23．（2024 自贡）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条，夹角为，长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留．
【答案】．
【考点】扇形面积的计算
【解析】扇面面积扇形的面积扇形的面积
，
故答案为：．
三．圆锥的计算
24．（2024 无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】圆锥的计算
【解析】，
故选：．
25．（2024 广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】几何体的展开图；勾股定理；圆锥的计算
【解析】由题意得，圆锥的底面圆周长为，
故圆锥的底面圆的半径为，
所以圆锥的高为：，
该圆锥的体积是：．
故选：．
26．（2024 云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】
【考点】圆锥的计算
【解析】圆锥的侧面积（平方厘米）．
故选：．
27．（2024 南通）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
【答案】．
【考点】圆锥的计算
【解析】圆锥的侧面积．
故答案为：．
28．（2024 齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 ．
【答案】．
【考点】认识平面图形；圆锥的计算；勾股定理
【解析】设扇形的母线长为 ，
圆锥的底面半径是，
圆锥的底面周长是 ，即侧面展开图扇形的弧长是 ，
则，
解得：，
由勾股定理得：圆锥的高．
故答案为：．
29．（2024 徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角为，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】．
【考点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】设扇形的半径为 ，弧长为 ，
由题意得：，
解得：（负值舍去），
则，
解得：，
圆锥的底面圆的半径为：，
故答案为：．
30．（2024 宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 90 ．
【答案】90．
【考点】圆锥的计算
【解析】设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为，由题意得，
，
解得．
故答案为：90．
31．（2024 黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 90 ．
【答案】90．
【考点】圆锥的计算
【解析】设圆锥的母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角是，
侧面积为，
，
解得：，
扇形面积为，
解得：，
圆锥侧面展开图的圆心角是90度．
故答案为：90．
32．（2024 绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】．
【考点】圆锥的计算
【解析】扇形的弧长，
故圆锥的底面半径为．
故答案为：．
33．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ．
【答案】．
【考点】圆锥的计算
【解析】由圆锥的底面半径为4，母线长为5，
则圆锥的侧面积为．
故答案为：．
34．（2024 扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 5 ．
【答案】5．
【考点】圆锥的计算
【解析】由题意可知：圆锥的底面周长为，
则圆锥底面圆的半径为，
故答案为：5．
35．（2024 通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
【答案】．
【考点】展开图折叠成几何体；圆锥的计算；扇形面积的计算
【解析】这个扇形纸片的面积是为．
故答案为：．
36．（2024 呼和浩特）如图是平行四边形纸片，，，，点为的中点，若以为圆心，为半径画弧交对角线于点，则 40 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】40，2．
【考点】展开图折叠成几何体；等腰三角形的性质；圆周角定理；圆锥的计算
【解析】四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
以为圆心，为半径画弧交对角线于点，
，
，
点、、在以点为圆心的圆上，
，
，
弧的长度为，
设这个圆锥的底面圆半径为 ，
则，
解得，
这个圆锥的底面圆半径为．
故答案为：40，2．
37．（2024 广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留
【考点】展开图折叠成几何体；圆锥的计算
【解析】（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，
方法一：如图作出示意图，由题意知，，
折叠后，
底面周长，
，
，
，
，
滤纸能紧贴此漏斗内壁．
方法二：由得，
图3中，，
图4中，，
，
，
滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2）由（1）知，
，
过作于点，则，
在中，，
．
答：圆锥形的体积是．
四．圆的综合压轴题
38．（2024 呼和浩特）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．
①求的长；
②求的半径．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：连接，
，，
，
设，则，
，
，
，
是的切线；
（2）解：①连接，
，
，
是切线，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②，
，
，
，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
的半径．
39．（2024 大庆）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：将沿直线翻折到，
，
为的直径，是切线，
，
；
（2）证明：是切线，
，
为的直径，
，
，
由折叠可得，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：，
设，则，
，
，
由折叠可得，
，
在中，，
，
，，
，
．
40．（2024 福建）如图，在中，，，以为直径的交于点，，垂足为，的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
【考点】圆的综合题
【解析】（1），且是的直径，
，
，
在 中，，
，
在 中，，
，
；
（2）证明：过点作，交延长线于点，如图1，
，．
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
；
（3）连接，．如图2，
是的直径，
，．
，，
，，
由（2）知，，
，，
，
，
，
，
，
由（2）知，，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
41．（2024 凉山州）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接并延长，分别交于、两点，交于点，若的半径为2，，求的值．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
．
42．（2024 内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：是的中点，
，
．
是的直径，
．
，
，
，
；
（2）证明：连接，如图，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
为的半径，
是的切线；
（3）解：连接，过点作于点，如图，
则，
，
．
，，，
四边形为矩形，
，
，
则为等腰直角三角形，
，．
，
，
．
，
，
阴影部分的面积．
43．（2024 广西）如图，已知是的外接圆，．点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与相切；
（3）若，，求的半径．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：点，分别是，的中点，
，，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）证明：连接，如图，
，
，
垂直平分，
经过圆心，
由（1）知：，
，
为半径，
与相切；
（3）解：连接，，，如图，
，，
，，
，
．
，
，
，
，
，
，
的半径为10．
44．（2024 绥化）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．（1）求证：与相切；
（2）若正方形的边长为，求的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：如图，
连接，过点作于点，
与相切于点，
，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切；
（2）解：如图，
为正方形的对角线，
，
与相切于点，
，
由（1）可知，
设，
在中，
，
，
，
，
又正方形的边长为，
在中，
，
，
，
，
的半径为 ；
（3）解：如图，
连接，，
设，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又，
，
．
45．（2024 广州）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．（1）当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
【考点】圆的综合题
【解析】（1），，理由如下，
四边形是菱形，
，，
和关于轴对称，
，
，
，
，
，
综上，，．
（2）①如图，设的外接圆圆心为，连接、，作于点，作于点．
，
，
，
，
，
，
在中，，
，且点不与、重合，
，且，
，且．
（3）能相切，此时，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设的外接圆圆心为，连接、，作于点，
，
点也在上，
设，则（弦切角），
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
作于点，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．
46．（2024 德阳）已知的半径为5，、是上两定点，点是上一动点，且，的平分线交于点．
（1）证明：点为上一定点；
（2）过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：连接，，如图：
，的平分线交于点，
，
，
的度数是，
为定点，
为上一定点；
（2）解：①与相切，理由如下：
连接，如图：
的平分线交于点，
，
，
，
，
，
为的半径，
与相切；
②当为直角时，连接交于，如图：
，
，
，为的直径，
的半径为5，
，，
，
由①知，，
，，
，，
四边形是矩形，
；
当为直角时，连接，，如图：
，，
是的直径，，
，
，
与相切，
，
，
；
由图可知，当由运动到（不包括，时，是锐角三角形，
的取值范围是．
47．（2024 哈尔滨）在中弦，相交于点，，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接并延长交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，点在上，连接，点在弧上，连接交于点，交于点，连接，若，，，，，求的长．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图1，
连接，，
由（1）知，
，，
，
，
，
△△，
；
（3）解：如图2，
作的垂直平分线，交于，连接，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，，
，
△是等边三角形，
，，
△△，
，，
，
同理可得，
△是等边三角形，
，
设，则，，
，
，
，
由得，
，
，（舍去），
，
，
，，
点、、、共圆，
，，，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
△△，
，
在△中，，，
，，
，
，
，
，
在△中，
，
设，，则，，
在△中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
△△，
，
在△中，
，
，
在△中，，，
，
．
48．（2024 淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将△绕点逆时针旋转得到△．如图①
小明发现：与的位置关系是 与相切 ，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当△确定时，线段的长存在最大值．请求出当，时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
【考点】圆的综合题
【解析】操作发现：
连接并延长交于点，连接，
是直径，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
是的半径，
与相切；
实践探究：由旋转的性质得：，，
即，
，
，
△△，
，
，
，
△△，
，
设，
则，
，
当时，有最大值为 ；
问题解决：证明：过点作交于点，
，
由旋转的性质知：，
，
，
，
，
由旋转的性质得：△△，
，
，
，
△△，
，
，
．
49．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 ， （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）由题知，．
，
线段的“平移关联图形”可以是，也可以是，
当线段的“平移关联图形”是时，，
当线段的“平移关联图形”是时，；
故答案为：，1或者，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图如图所示，
作法提示：①在延长线上截取，
②再分别以和为圆心，长为半径画弧交于点，
③连接和，则△即为所求；
理由：，△是等边三角形，
△为等边三角形，
△△，
平移距离为2，
△是△的一个“平移关联图形”，且满足．
（3）点、、的坐标分别是、、，
，，
，，
对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
，，
当在圆外时，
，，
，
，
．
当在圆内时，
则，
，
；
综上，或．
50．（2024 潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率 0.785 ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
【考点】圆的综合题
【解析】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
故答案为：0.785．
（2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
，，，都经过正方形的中心点，
在中，，，
，
，
在中，，
，
当时，取得最小值，此时，
解得：．
（4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率．
51．（2024 兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形外一点，点在的延长线上，使得，如果点在图形上，则称点是图形的“延长2分点”．例如：如图1，，，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点在线段上，所以点是线段的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形：线段，，，在，，中， ， 是图形的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点是图形的“延长2分点”，求的最小值；
（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点，使得点是图形的“延长2分点”．请直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
，，
，，
点是图形的“延长2分点”，
点在线段上，
，在线段上，
，是图形的“延长2分点”，
故答案为：，；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
，，
，，
直线上存在点是图形的“延长2分点”，
直线与有交点，
当过点时，值最小，
把，代入，得：，
的最小值为；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似△，
，，，
，，，
等腰直角三角形上存在点，使得点是图形的“延长2分点”，
当与△有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则：或，
；
当与相切时，且切点为，连接，则：，
为等腰直角三角形，
△为等腰直角三角形，
，，，，
轴，
，
以为圆心，半径为1的，
点在直线上，，
，
，
或，
；
综上：或．
52．（2024 通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”， ，．求证．
【模型应用】
（2）如图2、中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）在和中，
，
，
；
（2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论，
如图，在取点，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
（Ⅱ）选择①为条件，②为结论，
如图，在取点，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
53．（2024 长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“” ．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为，内切圆半径为，则有．
（2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点，的平分线交于点，连接．求证：是的直径．
（3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与，，，分别相切于点，，，．
①如图2，连接，交于点．求证：；
②如图3，连接，，，，若，，，求内切圆的半径及的长．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）①当平行四边形的对角不互补时，对边和不相等时，
即内角不等于且邻边不相等的平行四边形是“平凡型无圆”四边形，
故①错误；
②内角不等于的菱形对角不互补，但是对边之和相等，
菱形是“内切型单圆”四边形，
故②正确；
③由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，
如图，此时，，
△是等腰直角三角形，
，
，
故③正确．
故答案为：①；②，③．
（2）①该四边形是“外接型单圆”四边形；
理由：，
四边形无内切圆．
四边形是“外接型单圆”四边形；
②证法1：如图1，平分，平分，
，，
，即，
与均为半圆，
是的直径．
证法2：如图1，连接．
四边形内接于，
，
平分，平分，
，，
，
由同弧所对的圆周角相等可得，
，即．
是的直径
证法3：如图2，连接，．
四边形内接于，
，
由题意，得，，
由同弧所对的圆周角相等可得：，，
，
．
是的直径．
（3）①证明：如图3，连接，，，，．
是四边形的内切圆，
，，，．
．
在四边形中，．
同理可证，
四边形是“完美型双圆”四边形，
四边形有外接圆，
，
．
又，，
．
，即．
②方法1：如图4，连接，，，．
四边形是“完美型双圆”四边形，
．
与，，，分别相切于点，，，，
，．
．
，
．
，
△△．
，即，
解得，
在△中，有，即，
解得，
在△中，
同理可证△△，
所以，即，
解得．
方法2：如图4，
由△△，得，即，
解得，
由△△，
得，即，
解得．
54．（2024 北京）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
（1）如图，点，．
①在点，，中，点 是弦的“可及点”，其中 ；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为 ；
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
点应在的圆内或圆上，
点，，
，
，
，
由对称得：，
△为等腰直角三角形，
，
设半径为，
则，故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
点是弦的“可及点”，
可知，，三点共线，
，
，
故答案为：，45；
②取中点为，连接，
，
，
点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点、，
当轴时，点横坐标最大，
，，
，
，
点，，
，
，
点的横坐标的最大值为，
故答案为：；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
点应在的圆内或圆上，
点需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，，
点在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点、，
，
，
由对称得点，在的垂直平分线上，
的外接圆为，
点也在的垂直平分线上，记与交于点，
，
，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，，
，
当最大，时，此时为等边三角形，
由上述过程知，
，
当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
记直线与交于，，与轴交于点，过点作轴，
当，，当时，，
解得，
与轴交于点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的取值范围是．
55．（2024 湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， 30 ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
（2）证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
（3）解：补全图形如图，
是切线，
，
，
，
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
．
法一：如图，过作，垂足为，则，
，，
△△，
，
设，则，
，
在△中，，
在△中，，
，解得，
，，
．
法二：由，得，证△△，
直接得到，
．
56．（2024 云南）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：直线与相切；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）解：是的直径，
；
（2）证明：，
，
，
，
．
，
，
．
为的半径，
直线与相切；
（3）解：正确的结论为：，理由：
连接，，过点作的切线，交的延长线于点，设与交于点，如图，
在和中，
，
，
．
由（2）知：，
，
．
为的半径，
为的切线．
为的切线，
，．
，，
，
，，．
，，
，，
．
，
，
点是线段的中点，
点是线段的中点，
点与点重合．
线段经过点，
．
57．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，，是的外接圆，点在上，连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
【考点】圆的综合题
【解析】（1），，
为等边三角形，
，
为的直径，
，，
，
．
故答案为：；
（2）若，点、在向侧，与的数量关系为：，理由：
延长至点使，连接，如图，
，，
为等边三角形，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
，
，
，
．
（3）①当点、在同侧时，
延长至点，连接，使，过点作于点，如图，
，，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，．
，
，，
，
，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
②当点、在两侧时，
延长至点，使，连接，过点作于点，如图，
，，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综上，若，、、满足的数量关系为：当点、在同侧时；当点、在两侧时，．
58．（2024 河北）已知的半径为3，弦．中，，，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动．设．
（1）当点与点重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点到的距离，并求此时的值；
（3）设点到的距离为．
①当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，求的值；
②直接写出的最小值．
【考点】圆的综合题
【解析】如图，连接，，
的半径为3，，
，
为等边三角形，
，
的长为，
劣弧的长为；
（2）过作于，过作于，连接，如图：
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
而，
，
点到的距离为2；
，，
，
，
；
（3）①过作于，过作于，如图：
，过点的切线与垂直，
过圆心，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，即 ；
②如图，当为中点时，过作于，过作于，
，
，故当为中点时，最短小，
过作于，
为中点，
，
同（2）可得，
，
，
，
，
，
，
，
设，则 ，
，
，
解得： 的负值已舍去），
的最小值为 ，即的最小值为．
59．（2024 山西）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）猜想推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲． 对角线：
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： 240 ．
（2）如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】圆的综合题
【解析】（2）．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与 中，
．
．
（3）答案不唯一，
作法一：作法二：
如图，六边形即为所求．
60．（2024 连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 2 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
（4）如图6，在中，，点、分别在边和上，连接、、．若，，求的最小值．
【考点】圆的综合题
【解析】（1）正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
设，，
，，
，，
大正方形面积是小正方形面积的2倍，
故答案为：2；
（2）如图，
，
，，，，
，结合图形变换可得：；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
为圆外一个定点，
当与相切时，最大，
，
，
由（2）可得：，
，，
，
；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得△，
由（2）可得：，
当，，三点共线时，最短，
，，
，，
，
的最小值为．
61．（2024 上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM DN，求边CD的长．
【考点】圆的综合题．
【解析】（1）证明：延长DE和CB交于点G，
∵AD∥BC，
∴，
∵AE＝AB，DF＝
∴，，
∴，
∴EF∥BC．
（2）①记点O为△ADE外接圆圆心，过点O作OF⊥AE于点F，连接OA，OD，OE．
∵点O为△ADE外接圆的圆心，
∴OA＝OE＝OD，
∴AF＝EF＝AE＝，
∵AE＝AB，
∴AB＝3AE＝3，
∵AE＝AD，OE＝OD，OA＝OA，
∴△AOE≌△AOD（SSS），
∴∠EAO＝∠DAO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴2∠EAO+2∠ABO＝180°，即∠EAO+∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵OF⊥AE，
∴∠AFO＝∠AOB＝90°，
∵∠FAO＝∠OAB，
∴△FAO∽△OAB，
∴，即AO2＝AF AB＝，
∴AO＝，
∴△ADE外接圆半径为．
②延长BA，CD交于点P，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q．
∵AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴，
由①知AB＝3，
∴，
∴PA＝1，
∵CD2＝DM DN，
∴，
∵∠CDN＝∠MDC，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠CMD，
∵∠DMC＝∠CEM，
∴∠CEM＝∠DCN，
∴EM∥CD，
∴，
由AB＝3，AE＝1得，BE＝2，
∴，
∴BM＝MC＝2，
∴△BEM∽△BPC，
∴，
设ME＝2a，则PC＝4a，
∵AD∥BC，
∴，
∴PD＝a，DC＝3a，
∵EM∥CD，
∴△ENM∽△CND，
∴，
设EN＝2b，则CN＝3b，
∵∠DMC＝∠CEM，∠ECM＝∠MCN，
∴△CNM∽△CME，
∴，即CM2＝CN CE，
∴4＝3b 5b，解得b＝，
∴CE＝，
在Rt△BQE中，由勾股定理可得：
BE2﹣BQ2＝CE2﹣CQ2，
∴4﹣BQ2＝（）2﹣（4﹣BQ）2，
解得BQ＝，
∴EQ2＝BE2﹣BQ2＝，
∵QM＝BM﹣BQ＝2﹣＝，
∴在Rt△EQM中，由勾股定理可得，EM＝，
∵，
∴DC＝．
第三问方法二：
∵AD＝AE＝1，
∴AB＝3AE＝3，
∵AD∥BC，BC＝4，
∴，即，
∴AP＝1＝AD＝AE，
∵BE＝AP﹣AE＝2，PE＝AE+AP＝2，
∴E为BP中点，
∵CD2＝DM DN，
∴△DCN∽△DMC，
∴∠DCN＝∠DMC＝∠CEM，
∴EM∥CD，
∴M也为BC中点，
∴CM＝BM＝2，
∵BP＝BC＝4，
∴∠P＝∠DCM，
∵∠ECP＝∠DMC，
∴△ECP∽△DMC，
∴，
设DP＝a，则CD＝3a，CP＝4a，
∴，解得a＝，
∴CD＝．
62．（2024 滨州）【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．如图，在锐角中，探究， 之间的关系．（提示：分别作和边上的高．
【得出结论】
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长．
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径）．
请利用图1证明．
【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过，，三点的圆的半径．
【考点】圆的综合题
【解析】【基础应用】
，，
，
，，，
，
解得；
【推广证明】
作于点，作于点，连接并延长交于点，连接，如图所示，
，
，
，
同理可证，，
，
是直径，
，
，
，
，
；
【拓展应用】
连接，如图所示，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
作交于点，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
过，，三点的圆的半径为．
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专题26 圆的有关计算及圆的综合压轴题
一．弧长的计算
1．（2024 安徽）若扇形的半径为6，，则的长为
A． B． C． D．
2．（2024 贵州）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为
A． B． C． D．
3．（2024 广安）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为
A． B． C． D．
4．（2024 包头）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为
A． B． C． D．
5．（2024 哈尔滨）若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 ．
6．（2024 成都）如图，在扇形中，，，则的长为
7．（2024 镇江）如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，，，则的长 （结果保留．
8．（2024 临夏州）如图，对折边长为2的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交，于，两点，则的长度为 （结果保留．
9．（2024 内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．取3.14，计算结果精确到
10．（2024 兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点随之旋转，则 ．
11．（2024 长春）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为 ．（结果保留
二．扇形面积的计算
12．（2024 青岛）如图，，，，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为
A． B． C． D．
13．（2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是
A． B． C． D．
14．（2024 东营）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ．
A． B． C． D．
15．（2024 河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为，该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是
A． B．
C． D．
16．（2024 重庆）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
17．（2024 长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为 （结果保留．
18．（2024 深圳）如图，小明在矩形中裁剪出扇形，，为中点，，则扇形的面积为 ．
19．（2024 资阳）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（2024 吉林）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留．
21．（2024 山西）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．
22．（2024 甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 （结果用表示）
23．（2024 自贡）龚扇是自贡“小三绝”之一，为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图），扇形外侧两竹条，夹角为，长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留．
三．圆锥的计算
24．（2024 无锡）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
25．（2024 广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是
A． B． C． D．
26．（2024 云南）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
27．（2024 南通）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
28．（2024 齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 ．
29．（2024 徐州）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角为，圆锥的底面圆的半径为 ．
30．（2024 宿迁）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 ．
31．（2024 黑龙江）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
32．（2024 绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
33．（2024 盐城）已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 ．
34．（2024 扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
35．（2024 通辽）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）．
36．（2024 呼和浩特）如图是平行四边形纸片，，，，点为的中点，若以为圆心，为半径画弧交对角线于点，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ．
37．（2024 广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留
四．圆的综合压轴题
38．（2024 呼和浩特）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．
①求的长；
②求的半径．
39．（2024 大庆）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
40．（2024 福建）如图，在中，，，以为直径的交于点，，垂足为，的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
41．（2024 凉山州）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接并延长，分别交于、两点，交于点，若的半径为2，，求的值．
42．（2024 内江）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求阴影部分的面积．
43．（2024 广西）如图，已知是的外接圆，．点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：与相切；
（3）若，，求的半径．
44．（2024 绥化）如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．（1）求证：与相切；
（2）若正方形的边长为，求的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
45．（2024 广州）如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．（1）当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
46．（2024 德阳）已知的半径为5，、是上两定点，点是上一动点，且，的平分线交于点．
（1）证明：点为上一定点；
（2）过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
47．（2024 哈尔滨）在中弦，相交于点，，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接并延长交于点，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，点在上，连接，点在弧上，连接交于点，交于点，连接，若，，，，，求的长．
48．（2024 淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将△绕点逆时针旋转得到△．如图①
小明发现：与的位置关系是 ，请说明理由：
【实践探究】
连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当△确定时，线段的长存在最大值．请求出当，时，长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明．
49．（2024 常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 ， （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
50．（2024 潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率 ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可）
51．（2024 兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点是图形外一点，点在的延长线上，使得，如果点在图形上，则称点是图形的“延长2分点”．例如：如图1，，，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点在线段上，所以点是线段的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形：线段，，，在，，中， 是图形的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点是图形的“延长2分点”，求的最小值；
（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点，使得点是图形的“延长2分点”．请直接写出的取值范围．
52．（2024 通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“牵形图”， ，．求证．
【模型应用】
（2）如图2、中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证．
53．（2024 长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“” ．
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；
②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为，内切圆半径为，则有．
（2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．
①该四边形是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若的平分线交于点，的平分线交于点，连接．求证：是的直径．
（3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与，，，分别相切于点，，，．
①如图2，连接，交于点．求证：；
②如图3，连接，，，，若，，，求内切圆的半径及的长．
54．（2024 北京）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
（1）如图，点，．
①在点，，中，点 是弦的“可及点”，其中 ；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为 ；
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
55．（2024 湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当时， ；
【问题探究】
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
56．（2024 云南）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：直线与相切；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
57．（2024 扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，，是的外接圆，点在上，连接、、．
【特殊化感知】
（1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为 ；
【一般化探究】
（2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示）
58．（2024 河北）已知的半径为3，弦．中，，，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点与点重合，点在上，点在内），随后移动，使点在弦上移动，点始终在上随之移动．设．
（1）当点与点重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点到的距离，并求此时的值；
（3）设点到的距离为．
①当点在劣弧上，且过点的切线与垂直时，求的值；
②直接写出的最小值．
59．（2024 山西）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念性质判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）猜想推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲． 对角线：
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
（2）如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
60．（2024 连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图，这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长；
（4）如图6，在中，，点、分别在边和上，连接、、．若，，求的最小值．
61．（2024 上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM DN，求边CD的长．
62．（2024 滨州）【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．如图，在锐角中，探究， 之间的关系．（提示：分别作和边上的高．
【得出结论】
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长．
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径）．
请利用图1证明．
【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过，，三点的圆的半径．
