7.3.1 复数的三角表示式+7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案（含答案）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【学习目标】
　　1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角的主值的概念.
　　2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代数表示式和三角表示式之间的互化.
　　3.了解复数三角形式的乘、除运算法则,并能够进行简单运算.
　　4.了解复数三角表示的几何意义,并能够进行简单应用.
◆ 知识点一　复数的三角表示式
1.定义:如图,一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的　　　　;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫作复数z=a+bi的　　　　.r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称　　　　　　.为了与三角形式区分开来,a+bi叫作复数的代数表示式,简称　　　　　　.
2.辐角的主值:规定在　　　　　范围内的辐角θ的值为辐角的主值,记作　　　　,即0≤arg z<2π.
3.两个非零复数相等当且仅当它们的模与　　　　　　分别相等.
◆ 知识点二　复数三角形式的乘、除法运算及
其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算与除法运算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则
(1)z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=　　　　　　　　　　　　　　.
(2)==　.
乘法规则:两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
除法规则:两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数三角表示乘法、除法的几何意义
乘法的几何意义:两个复数z1,z2相乘时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按　　　　时针方向旋转角　　　(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角　　　　),再把它的模变为原来的　　　　倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2.
类比复数乘法的几何意义,复数除法的几何意义如下:
除法的几何意义:两个复数z1,z2(z2≠0)进行除法运算时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按　　　　时针方向旋转角　　　　(如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角　　　　),再把它的模变为原来的　　　　,得到向量,表示的复数就是.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. (　 )
(2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角的主值是. (　 )
(3)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. (　 )
(4)若z1=2,z2=2,则的辐角的主值是. (　 )
◆ 探究点一　复数三角形式的有关概念
例1 (1)下列复数中是用三角形式表示的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin (-α)]
(2)复数z=cos+isin 的辐角的主值是 (　 )
A. B.
C.- D.-
(3)复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角的主值是　　　　.
[素养小结]
要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式和求解复数的辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形式的定义将其转化,再进一步判断.
◆ 探究点二　复数的代数形式与三角形式的互化
例2 画出下列复数所对应的向量,并把这些复数表示成三角形式.
(1)1+i;(2)-+i.
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式.
(1)cos+isin;(2)2.
变式 (1)复数+i的三角形式是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
(2)复数z=4的代数形式为 (　 )
A.z=2+2i　
B.z=-2+2i
C.z=2-2i
D.z=-2-2i
[素养小结]
1.将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)时,要注意:
(1)r=;
(2)cos θ=,sin θ=,其中角θ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.当a=0,b>0时,arg z=.
2.将复数的三角形式r(cos θ+isin θ)化为代数形式a+bi(a,b∈R)时,a=rcos θ,b=rsin θ.
◆ 探究点三　复数的乘除法运算的三角表示
例4 计算下列复数,并将结果化为代数形式.
(1)×;
(2)8÷.
变式 计算:(1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=　　　　;
(2)2×4=　　　　;
(3)10÷=　　　　.
[素养小结]
(1)积的模等于模的积,积的辐角等于辐角之和;做复数乘法运算时,三角形式和代数形式可以交替使用,但是结果一般保留代数形式.
(2)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角,结果一般保留代数形式,商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际上,arg与arg z1,arg z2的关系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
◆ 探究点四　复数乘除法运算的三角表示的几何意义的应用
例5 如图所示,四边形ABCD是矩形,点A和点B对应的复数分别为-1+2i,1+i,并且|BA|∶|DA|=1∶,求点C和点D对应的复数.
例6 已知在复平面内,复数z1=-2+i对应的点为P1,z2=-3+4i对应的点为P2,把向量绕点P1按顺时针方向旋转后,得到向量,求向量和点P对应的复数.
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【课前预习】
知识点一
1.模　辐角　三角形式　代数形式
2.0≤θ<2π　arg z　3.辐角的主值
知识点二
1.(1)r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
(2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
2.逆　θ2　|θ2|　r2　顺　θ2　|θ2|　
诊断分析
(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)B　(3)190°　[解析] (1)复数的三角形式为z=r(cos θ+isin θ),其满足的条件为:①r≥0;②加号连接;③cos θ在前,sin θ在后;④θ前后一致,可取任意值.A不满足②,故A不正确;B不满足③,故B不正确;C不满足①,故C不正确.故选D.
(2)由辐角的主值的定义,知复数z=cos+isin 的辐角的主值是.故选B.
(3)因为复数z=-sin 100°+icos 100°=cos 190°+isin 190°,所以复数z的辐角的主值是190°.
探究点二
例2　解:(1)复数1+i所对应的向量如图①所示,则r==,cos θ=.因为与复数1+i对应的点在第一象限,所以arg(1+i)=,所以1+i=.
①
(2)复数-+i所对应的向量如图②所示,则r==1,cos θ=-.因为与复数-+i对应的点在第二象限,所以arg=,所以-+i=cos+isin.
②
例3　解:(1)复数cos+isin的模r=1,一个辐角θ=,对应的向量如图①所示,cos+isin=0+i=i.
①
(2)复数2的模r=2,一个辐角θ=,对应的向量如图②所示,2=2cos+i=2×+2×i=+i.
②
变式　(1)A　(2)B　[解析] (1)复数+i的模为1,一个辐角为,所以复数+i的三角形式为cos+isin.故选A.
(2)z=4=4×+4×i=-2+2i,故选B.
探究点三
例4　解:(1)原式====+i.
(2)原式==2=2=-+i.
变式　(1)3i　(2)4+4i　(3)+i
[解析] (1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=(cos 60°+isin 60°)×6(cos 30°+isin 30°)=3[cos(60°+30°)+isin (60°+30°)]=3(cos 90°+isin 90°)=3i.
(2)原式=2×4=8=8=4+4i.
(3)原式=10÷==5=5=+i.
探究点四
例5　解:连接OC,OB,要求点C对应的复数,即求向量对应的复数,结合图形知=+,故可以先求向量对应的复数.向量可以看作由向量的长度扩大为原来的倍,并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的,因为向量对应的复数为(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量对应的复数为(-2+i)××[cos(-90°)+isin(-90°)]=+2i,于是点C对应的复数为(+2i)+(1+i)=(+1)+(2+1)i.
同理可得点D对应的复数为(-1)+(2+2)i.
例6　解:由题意知向量对应的复数是z2-z1=(-3+4i)-(-2+i)=-1+3i.
由复数乘法的几何意义得,向量对应的复数是(-1+3i)·=3+i.
设O为坐标原点,连接OP,OP1,由复数加法的几何意义及向量=+,得向量对应的复数是(-2+i)+(3+i)=1+2i,
故点P对应的复数为1+2i.