大通县朔山中学2024~2025学年度第一学期第一次阶段检测
高 二 数 学
考生注意 :
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把
答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔
在答题卡上各题的答题区域内作答,超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．
纸．上．作．答．无．效．。
4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1．已知 a 1, 2,1 ， a b 1,2, 1 ，则 b等于（ ）
A． 2, 4,2 B． 2,4, 2 C． 2,0, 2 D． 2,1, 3
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点M (3, 4, 2)在坐标平面Oyz内的射影是点 N，则点 N的
坐标为（ ）
A． (0, 4, 2) B． (0, 4, 2) C． (3, 4,0) D． ( 3,0, 2)
3．已知点 P 1, 11, 2 ,Q 4,0,m ,O为坐标原点，且OP OQ 0，则 PQ （ ）
A．36 B． 6 C．6 D． 2 7
4．正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则 (AB AD) AD AA1 （ ）
A．1 B．0 C． 1 D．2
5．已知空间向量 a 2,0,1 ，b 1, 2,1 ，c 0,4, z ，若向量 a,b ,c 共面，则实数 z （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
r
6．设 x、 y R ，向量 a x,1,1 ，b 1, y,1 ，c 3, 6,3 且 a c，b//c，则 a b
（ ）
A． 2 2 B．2 3 C． 4 D．3
试卷第 1页，共 4页
7 ．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，M为AC BD A B a
与 的交点，若 1 1 ，A1D1 b，A1A c，
则下列向量中与B1M 相等的向量是（ ）．
1 1 1 1
A． a b c B． a b c
2 2 2 2
1 1 1 1
C． a b c D． a b c
2 2 2 2
8．在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA 90 ,D1,F1分别是 A1B1, A1C1的中点，BC CA CC1，
则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（ ）
A 15 30
1
B 30． ． C． D．
10 15 2 10
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若 a,b,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）.
A． a， a b，a b B．a，b c，b c
r r r
C． a b，a b， c D． a b， a b c， c
10．下列命题是真命题的有（ ）
A l
1
．直线 的方向向量为 a (1, 1,2)，直线m的方向向量为b 2,1, ，则 l与m垂
2
直
B．直线 l的方向向量为a (0,1, 1)，平面 的法向量为n (1, 1, 1)，则 l
C．平面 ， 的法向量分别为 n1 (0,1,3)， n2 (1,0, 2)，则 //
D．平面
经过三点 A(1,0, 1)，B(0,1,0)，C( 1,2,0)，向量 n (1,u, t)是平面 的法
向量，则u t 1
试卷第 2页，共 4页
11．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为CD,A1B1的中点，则下
列结论正确的是（ ）
A 30．点 F到点 E的距离为 2 B．点 F到直线ED1的距离为
5
C．点 F到平面 AED 6 2 61的距离为 D．平面 BFC1到平面 AED1的距离为
3 3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12．已知OA 2,1,3)，OB 1, 2,4)，则 AB ．
13．已知向量 a与b的夹角为60 ，a 2，b 6
，则 2a b 在 a方向上的投影为 ．
14．如图，二面角 l 等于120 ，A、 B是棱 l上两点，BD、AC分
别在半平面 、 内， AC l，BD l，且 AB AC BD 2，则 CD
的长等于 ．
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分 13分)
(1)已知空间向量 a 2, 1, 2 ,b 1,1, 4 ，求 2a 3b ；
(2)已知a ( 2,1,3),b ( 1,2,1)，若 a (a b)，求实数 的值
16．(本小题满分 15分)
如图在边长是 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 AB， A1C的中点．
(1)求异面直线 EF与CD1所成角的大小．
(2)证明： EF 平面 A1CD．
试卷第 3页，共 4页
17．(本小题满分 15分)
已知空间三点 A 2,0,2 , B 1,1,2 ,C 3,0,4 ，设 a AB,b AC．
(1)若 c 3， c / /BC，求 c；
(2)求 a与b的夹角的余弦值；
(3)若 ka b与 ka 2b互相垂直，求 k．
18．(本小题满分 17分)
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC AB，点 D、E、F分别为 A1B1,AA1,CD的中
点， AB AC AA1 2 .
(1)求证： EF //平面 ABC；
(2)求直线 BE与平面CC1D所成角的正弦值；
(3)求平面 A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．
19．(本小题满分 17分)
如图，在四棱锥 P ABCD中， PA PD 2, APD 90 ， PB 2 2，底面 ABCD是
菱形，O是 AD的中点， DAB 60 ．
(1)证明：平面 PAD 平面 POB；
(2)求直线 PB与平面PDC所成角的正弦值．
试卷第 4页，共 4页大通县朔山中学2024-2025
检测
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
高
数学答题卡
15.(本小题满分13分)
16.(本小题满分15分)
D
C
条形码粘贴处
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名
准考证号
D
准考证号填写清楚。
注2选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡
意
皮擦干净后，再选择其他答案标号：非选择
题使用黑色碳煮笔书写，字体工整，笔迹清
事楚，按照题号顺序在各题目的答题区城内
[0][0][o][0][0][0][0][0][0]
项作答，超出答题区域书写的答案无效：在草
[1]
[1][1][1]1][1][1]1]
[1
稿纸试卷上答题无效。
[2]
[2[2][2][2][2][2][2][2]
3.保持卡面清洁，不折叠、不破损。
[3]
3][31[3][3
[4
[4
[4]
4
4
正确填涂：
[5[5]
[5]
[5][5][5
[5]
15
涂
错误填涂：中的p
6
缺考
[8][8J[8][8][8][8][8][8J
[8
标记
[9][9][9][9][9][9][9][9][9]
选择题（请用2B铅笔填涂）》
1 CA]CB]CC]CD]
6[A][B][c][D]
11CA][B][C][D]
2 CA]CB]CC]CD]
7 CA]CB]CC]CD]
3 [A]CB]CC]CD]
8[A][B][C][D]
4 CA]CB]CC]CD]
9LA][B][C][D]
5 CA]CB]CC]CD]
10[A][B][C][D]
非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）
14
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请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
次阶段检测·数学第1页（共2页）
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效刻
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
17.(本小题满分15分)
18.(本小题满分17分)
19.(本小题满分17分)
E
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
高
次阶段检测·数学第2页（共2页）大通县朔山中学2024~2025学年度第一学期第一次阶段检测·高二数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C A C D B D BC AD ABC
1．A a
b 1, 2, 1 ， b a 1, 2, 1 1, 2,1 1, 2, 1 2, 4, 2 .故选：A.
2．B 点M (3, 4, 2)在坐标平面Oyz内的射影是点 N (0, 4, 2)，故点N的坐标是 (0, 4, 2)，故选：B
3．C 因为 P 1, 11, 2 ,Q 4,0,m ，所以OP 1, 11, 2 ,OQ 4,0,m ．又OP OQ 4 2m 0，解得m 2，
所以Q 4,0, 2 ，则 PQ 3, 11,4 ，所以 PQ 9 11 16 6．故选：C .
2
4．A (AB AD) AD AA1 AB AD AB AA1 AD AD AA1 0 0 1 0 1 ,故选：A
2m n 0 m 1
5．C 因为三向量 a、 b、 c共面，设 c ma nb，其中m、n R
，则 2n 4
，解得 n 2 . 故选：C.
m n z z 3
1 y
6．D 因为 a c，则 a c 3x 6 3 0，解得 x 1，则 a 1,1,1 ，因为b//c，则 ，解得 y 2，即b 1, 2,1 ，3 6
所以， a b 2, 1, 2 ，因此， a b 4 1 4 3 .故选：D.
7．B
8．D 以点C为原点，以CB,CA,CC1 为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，设
BC CA CC1 2，则 A 0,2,0 ， A1 0,2,2 ， B 2,0,0 ，B1 2,0,2 ，D1 1,1,2 ，
C1 0,0,2 ，F1 0,1,2 ，所以 BD1 1,1, 2 ， AF1 0, 1,2 ，
所以 cos AF1, BD
A F 1 B D 1 1 1 2 2 3 301 AF BD 6 5 30 10 ，故选：D.1 1
1
9．BC 依题意 a,b,c 构成空间的一个基底，A选项，由于 a 2
a b 1 a b ，所以 a，a b，a b共面.2
B选项，由于不存在实数 x, y使 a x b c y b c ，所以a，b c，b c不共面，B选项正确.
C选项，，由于不存在实数 x, y使 c x a b y a b ，所以 a b， a b， c不共面，C选项正确.
r r r r r r r r r D选项，由于 a b c a b c，所以 a b， a b c， c共面.故选：BC
a (1, 1,2) b 2,1, 1 a
1
10．AD A：∵ ， ，∴ b 1 2 1 1 2
0，则2 2 a
b，∴直线 l与m垂直，故
A正确；B：a (0,1, 1)，n (1, 1, 1)，则 a n 0 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 a ，则 n，∴ l / / 或 l ，故 B
错误；C：∵ n1 (0,1,3)，n2 (1,0, 2)，∴ n1 与 n2 不共线，∴ // 不成立，故 C错误；D：∵点 A(1,0, 1)，B(0,1,0)，
高二数学参考答案 第 1页，共 5页
n AB 0
C( 1,2,0) ，∴ AB ( 1,1,1)，BC ( 1,1,0) .∵向量 n (1,u, t)是平面 的法向量，∴ ，
n BC 0
1 u t 0
即 ，解得u t 1，故 D正确. 故选：AD
1 u 0
11．ABC 以 D为原点，分别以DA,DC,DD1的方向为 x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
1 1
由题意知， A(1,0,0),B(1,1,0),E 0, ,0 ,C2 1
(0,1,1),D1(0,0,1),F 1, ,1 ，
2
FE 1 1 ( 1,0, 1),ED 1 0, ,1
， AD1 ( 1,0,1), AE
1, ,0
2
．
2
设平面 AED1的法向量为n (x, y,z)，
AD n 1 x z 0,
所以 1 则可得平面 AED1的一个法向量为 n (1,2,1)．
AE n x y 0, 2
点 F到点 E的距离 | FE | ( 1)2 ( 1)2 2 ，故 A正确；
2
2
F ED | FE |2 FE ED
1 30
点 到直线 1的距离为 1
2 ，故 B正确； ED 5 5 1
| FE n | 2 6
点 F到平面 AED1的距离 d ，故 C正确；| n | 6 3
由正方体的性质可知，平面 BFC1 / /平面 AED1，平面 BFC1到平面 AED
6
1的距离即为点 F到平面 AED1的距离 ．故
3
D错误．故选：ABC．
12． 3, 3,1) 因为OA 2,1,3)，OB 1, 2,4)，所以 AB OB OA 3, 3,1) .故答案为： 3, 3,1)
r 113．1 因为 a与b的夹角为60 ， a 2， b 6，则 a b a b cos60 2 6 6，
2
2a
b a
则 2a b a 2 a 2 a b 2 22 6 2，所以2a b 2在 a方向上的投影为 1．故答案为：1.a 2
14．4 由二面角的平面角的定义知 BD,AC 120 ，
∴ BD AC BD AC cos BD ,AC 2 2 cos120 2 ，
由 AC l ，BD l，得 AC BA 0，BD BA 0，又DC DB BA AC，
2 2 2 2 2
∴ DC DB BA AC DB BA AC 2DB BA 2DB AC 2BA AC
22 22 22 2BD AC 12 2 2 16 ，所以 DC 4，即CD 4 .故答案为：4.
15．(1)3 10 ； (2) k 5 .
高二数学参考答案 第 2页，共 5页
【详解】（1） 2a 3b (1, 5,8)，所以 2a 3b 12 ( 5)2 82 3 10 ---------------------------------6分
r r
（2）因为 a ( 2,1,3),b ( 1,2,1)，所以 a b 2 ,1 2 ,3 ，-------------------------------8 分
r r r
因为 a (a b)，所以a (a b) 0，即 2 2 1 2 3 3 0 ，解得 2 . 13分
16．【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
D(0,0,0)， A1(2,0,2)，C(0, 2,0)， E(2,1,0)， F (1,1,1)，D1(0,0,2)
∴ EF ( 1,0,1)，CD1 (0, 2, 2)，DA1 (2,0, 2)，DC (0, 2,0)． 2分
EF CD1 1 0 0 2 1 2
（1） cos EF,CD
1
1
EF CD1 2 2 2 2
， 7分
∴ EF,CD 1 60 ∴异面直线 EF和CD 所成的角为 60 1 ． 8分
（2） EF DA1 1 2 0 0 1 2 0∴EF DA1，即 EF DA1 . 10分
EF DC 1 0 0 2 1 0 0，∴ EF DC即EF DC． 13分
又∵DA1，DC 平面DCA1且DA1 DC D
∴ EF 平面 A1CD． 15分
16．(1) c 2, 1,2 或 c 2,1, 2 ；
(2) 10 ；
10
(3) k
5
或 k 2
2
【详解】（1）因为 B 1,1,2 ,C 3,0,4 ，所以 BC 2, 1,2 ，又因为 c / /BC，
所以 c
2 , , 2 ，又因为 c 3， 2分
2
所以 2 2 2 2 3 1， 4分
因此 c 2, 1,2 或c 2,1, 2 ； 5分
（2）因为 a AB 1,1,0 ,b AC 1,0,2 ， 7分
a b 1 10
所以 a与b的夹角的余弦值为 a b ； 10分2 1 2 22 10
（3）因为 ka b与 ka 2b互相垂直，
2 2
所以 ka b · ka 2b 0 k a ka b 2b 2 0 2k 2 k 10 0 13分
5
k 或 k 2 . 15分
2
高二数学参考答案 第 3页，共 5页
18．【详解】（1）证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 平面 A1B1C1，且 AC AB，则 A1C1 A1B1
以点 A1为坐标原点， A y1A、 A1B1、 A1C1所在直线分别为 x、 、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 A 2,0,0 、B 2,2,0 、C 2,0,2 、 A1 0,0,0 、 B1 0,2,0 、
C1 0,0,2 、D 0,1,0 E 1,0,0 F 1,
1 ,1 、 、
2
，
1
则 EF 0, ,1 ，易知平面 ABC的一个法向量为m 1,0,0 ， 3分
2
则 EF m 0，故 EF m，
EF 平面 ABC，故 EF //平面 ABC . 5分
（2）解：C1C 2,0,0 ，C1D 0,1, 2 ， EB 1,2,0 ，
CC D u x , y , z
u C
设平面 1 的法向量为 1 1 1 ，则
1 C 2x1 0 7分
u C1D y1 2z1 0
EB u 4
取 y1 2，可得u 0,2,1 ， cos EB,u .EB u 5
因此，直线 BE与平面CC D
4
1 夹角的正弦值为 . 11分5
（3）解： A1C 2,0,2 ， A1D 0,1,0 ，
设平面 A1CD的法向量为 v
v AC 2x 2z 0x2 , y , z
1 2 2
2 2 ，则 13分
v A1D y2 0
取 x 1，可得 v 1,0, 1 ，则 cos u, v
u v 1 10
2 ，u v 5 2 10
10
因此，平面 A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为 . 17分
10
19．【详解】（1）连接BD，
∵底面 ABCD是菱形，且 DAB 60 ，∴△ABD是等边三角形，∴ BO AD， 2分
∵ PA PD，∴△PAD是等腰三角形，∴ PO AD， 4分
∵ PO BO=O ， PO,BO 平面 PBO，∴ AD 平面 PBO， 6分
∵ AD 平面 PAD，∴平面 PAD 平面 POB； 7分
（2）∵PA PD 2, APD 90 ,∴ AD 2 2,PO 2， 8分
∵底面 ABCD是菱形，O是 AD的中点， DAB 60 ，∴BO 6，
∵ PB 2 2，∴ PO2 BO2 PB2，即 PO BO， 10分
又由（1）知， BO AD,PO AD，
∴以O为原点，OA,OB,OP 分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，如图，
高二数学参考答案 第 4页，共 5页
则D( 2,0,0)， P(0,0, 2)，C( 2 2, 6,0)，B(0, 6,0)，
PB (0, 6, 2)，DP ( 2,0, 2)，DC ( 2, 6,0)， 12分
设 n
(x, y, z)是平面 PCD的一个法向量，
n DP 2x 2z 0
∴ ，取 y 1，得 n ( 3,1, 3)， 15分
n DC 2x 6y 0
设直线 PB与平面 PDC所成角为 ，
sin |
P B n | 2 6 21则 ，
| PB | | n | 2 2 7 7
21
∴直线 PB与平面 PDC所成角的正弦值为 ． 17分
7
高二数学参考答案 第 5页，共 5页大通县朔山中学2024-2025学年度第一学期第一次阶段检测
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
高二数学答题卡
15.(本小题满分13分)
16.(本小题满分15分)
D
C
条形码粘贴处
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名
准考证号
D
准考证号填写清楚。
注2选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡
意
皮擦干净后，再选择其他答案标号：非选择
题使用黑色碳贫笔书写，字体工整，笔迹清
事楚，按照题号顺序在各题目的答题区城内
[0][0][o][0][0][0][0][0][0]
项作答，超出答题区域书写的答案无效：在草
[1]
[1][1][1]1][1][1]1]
[1
稿纸试卷上答题无效。
[2]
[2][2][2][2][2][2][2][2]
3.保持卡面清洁，不折叠、不破损。
[3]
3][31[3][3
[4
[4]
41
4
41
正确填涂：
[5[5]
[5]
[5][5][5][5]
[5]
涂
错误填涂：中的p
6
缺考
[8][8J[8][8][8][8][8][8J
[8]
标记
[9][9][9][9][9][9][9][9][9]
选择题（请用2B铅笔填涂）
1 CA]CB]CC]CD]
6[A][B][c][D]
11CA][B][C][D]
2 CA]CB]CC]CD]
7 CA]CB]CC]CD]
3 [A]CB]CC]CD]
8CA][B][C][D]
4[A][B]CC][D]
9LA][B][C][D]
5 CA]CB]CC]CD]
10[A][B][C][D]
非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写）】
14
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
高二年级第一学期第一次阶段检测·数学第1页（共2页）
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
17.(本小题满分15分)
18.(本小题满分17分)
19.(本小题满分17分)
E
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！
高二年级第一学期第一次阶段检测·数学第2页（共2页）
