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《锐角三角函数》教案
教学目标
1．知识与技能：
（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系．
（2）能够用表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等．
（3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算．
2．过程与方法：
体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题．
3．情感态度与价值观：
进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质．
教学重点
理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．
教学难点
理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比．
教学过程
第一环节 创设问题情境
活动内容：观察梯子的倾斜程度
梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常 ( http: / / www.21cnjy.com )听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．
1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？
对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的与大小，当、、时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）．21·世纪*教育网
活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直 ( http: / / www.21cnjy.com )观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较．2·1·c·n·j·y
第二环节 探求新知
活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？www-2-1-cnjy-com
如图1-4，小明想通过测量及，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为通过测量及 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？2-1-c-n-j-y
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？
（3）如果改变在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？
活动目的：通过对前面问题的讨论，学生已经知 ( http: / / www.21cnjy.com )道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度．这个活动旨在说明，当倾斜角确定时，其对边与邻边之比也随之确定．这一比值只与倾斜角度有关，而与直角三角形的大小无关．www.21-cn-jy.com
活动内容2：结合活动内容1 ( http: / / www.21cnjy.com )，请同学们思考：既然直角三角形中，一个锐角一旦确定，它的对边与邻边的比也随之确定．那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢？
数学上，我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切．如图1—5，我们把的对边与的邻边的比，叫做的正切（tangent），记作．即21教育网
对于正切的定义，同学们必须明确以下几点：
1． 中常省略角的符号“∠”．用希腊字母表示角时也可省略如：、等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成或、等； 21*cnjy*com
2．没有单位，它表示一个比值；
3．是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“”乘以“”；
4．一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，只能在直角三角形中适用；
请同学们思考，梯子的倾斜程度与的值有关吗？
的值越大，梯子越陡
活动目的：通过对直角三角形中边角关系的探索，合理的引出正切的定义；通过对定义的辨析，发展学生的符号感；通过探究梯子的倾斜程度与的值的关系，渗透数形结合的数学思想；进一步体会正切的意义和与现实生活的联系．21世纪教育网版权所有
第三环节 应用与拓展
活动内容1：
例题1：图1—6表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？
活动目的：通过计算正切值判断梯子的倾斜 ( http: / / www.21cnjy.com )程度，这是对第二环节中得出结论的直接运用，旨在巩固正切的定义以及发展学生的数学应用意识．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．
活动内容2：
认识坡角、坡度（坡比）
坡角：坡面与水平面的夹角；
坡度（坡比）：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切．
如图1—7，有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60，那么山坡的坡角是，坡度（坡比）就是：．21cnjy.com
教学目的：认识坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其实质就是坡角的正切．体会数学与实际生活的联系．
第四环节 变式练习
活动内容：
1．如图，△ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出 tan C 吗？
2、如图1 —10，某人从山脚下的点走了200m后到达山顶的点．已知山顶到山脚下的垂直距离是55m．求山坡的坡度（结果精确到0.001m）． 21·cn·jy·com
活动目的：为学生运用新知识解决与直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形有关的实际问题提供资源，并将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法．让学生尝试用正切表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，学会运用正切的定义进行简单的计算．
第五环节 类比探索
活动内容：启发学生在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．【来源：21·世纪·教育·网】
引入正弦余弦
在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
第六环节 经典例题讲解
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，sin A=0.6.求BC的长
随堂作业
1如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10 ，
求AB，sin B．
2．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．求： sin B，cos B，tan B．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20，求△ABC的周长和面积．
第六环节 课堂小结
1．锐角三角函数定义：
，，
2．探索问题的方法．
第六环节 布置作业
作业： 习题 1．1 1．2
四、教学反思
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1.1 锐角三角函数
梯子是我们日常生活中常见的物体．
（1）在图 1-1 中，梯子AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
创景设情
（2）在图 1-2 中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
探索发现
探索发现
如图 1-3，小明想通过测量 B1C1 及 AC1，算
出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则
认为，通过测量 B2C2 及 AC2，算出它们的比，
也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？
B1
（1）直角三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2 有什么关系？
（2） 和 有什么关系？
B1
（3）如果改变 B2 在梯子上的位置呢？由此你
能得出什么结论？
归纳概括
在直角三角形中,若一个锐角固定不变，那么它的对边与邻边的比值是一个定值。
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
当锐角A变化时，tanA 的值也随之变化．
在图 1-3 中，梯子的倾斜程度与 tanA 有什么关系吗？
反思领悟
tan A 的值越大，梯子越陡．
学以致用
解:甲梯中,
乙梯中,
∵tanα＞tanβ，∴甲梯更陡.
（甲）
（乙）
4m
8m
13m
5m
β
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比
较陡？
正切也经常用来描述山坡的坡度．例如，有一山坡在水平方向上每前进100 m 就升高 60 m（图 1-6），那么山坡的坡度就是
学以致用
随堂练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
A
B
C
┌
探索发现
如图，三个直角三角形中，探索下列线段比的关系,从这些关系中，你能发现什么？
＝
＝
＝
＝
C3
C2
C1
A
B1
B2
B3
∟
∟
∟
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
结论:在Rt△ABC中,如果锐角A确定时,那么∠ A的对边与斜边的比,邻边与斜边的比也随之确定.
正弦函数与余弦函数
抽象概括
1.在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
2.在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
3.锐角A的正弦,余弦,正切都是∠A的三角函数.
A
B
C
∠A的邻边
┌
斜边
∠A的对边
探索:梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗
sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
生活问题数学化
200
A
C
B
┌
解:在Rt△ABC中,
例题解析
例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求BC的长.
求AB,sinB.
10
┐
A
B
C
1.如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
拓展延伸：
cosA与sinB有什么关系？
随堂练习
随堂练习
2.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
咋办
老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
5
5
6
A
B
C
┌
D
解：过A作AD⊥BC于D,
3.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
求△ABC的周长和面积.
解:在Rt△ABC中,
20
┐
A
B
C
随堂练习
4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,A的三个三角函数的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
驶向胜利的彼岸
A
B
C
┌
C
随堂练习
5.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
CD
BC
AC
AB
AD
AC
┍
┌
A
C
B
D
锐角三角函数定义:
请思考:在Rt△ABC中, ∠C=90°sinA和cosB有什么关系
回味无穷
sinA=cosB
A
B
C
∠A的邻边
┌
斜边
∠A的对边
