陕西省咸阳市乾县第一中学2024-2025学年高二第一次阶段性检测数学试题（PDF版，含解析）

乾县第一中学2024-2025学年高二第一次阶段性检测
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.在平行六面体中，为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量为（ ）
A. B.
C. D.
3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已如向量，，且与互相垂直，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. 3 B. C. D.
6.已知空间中三点，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C.3 D.
7. 在中，，则的长为（ ）
A. B. 4 C. D. 5
8.已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球而上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异而直线PA，QB所成的角的聂小值为（ ）
A.60° B.45° C.30° D.15°
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分。）
9. 设，为随机事件，且，是，发生的概率. ，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，互斥，则 B. 若，则，相互独立
C. 若，互斥，则，相互独立 D. 若，独立，则
10. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 函数的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ）
A. B.
C D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程为__________.
13. 方程的两根为，且，则____________.
14.如图，在正方体中，，点E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得截面面积为___________，动点满足，且，则当取得取小值时二面角的余弦值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.在中，角所对的边分别为．
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值．
16. 已知空间三点.
（1）求
（2）求的面积；
17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．公众号：高中试卷君
（1）证明“三元不等式”： ．
（2）已知函数．
①解不等式；
②对任意，恒成立，求实数的取值范围．
18.如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号表示，，第个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号表示.定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列，满足①②③：①都是正整数；②；③.
（1）写出最小的“漂亮数”；
（2）当时，求出所有的“漂亮数”.
1.D
对A：原式，所以A选项错误；对B：原式，所以B选项错误；
对C：原式，所以C选项错误；对D：显然，所以原式，所以D选项正确.
C
因为在平行六面体中，，所以，故选C.
3.B
双曲线的两条渐近线的方程为，由直线的斜率为，可得倾斜角为，的斜率为，可得倾斜角为，所以两条渐近线的夹角的大小为，故选：B.)
4.B(，，则，与互相垂直，则，.故选：B.
5.C
如图，正三棱锥，，
取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，
由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，
∴平面
即三棱锥的高为，
∵，
∴，∴，
∴，
∴.
故选：C
D
夹角的余弦值为.因此夹角的正弦值为，故以为邻边的平行四边形的面积为.故选D.
7.C
根据三角形内角和为，所以可知，
则，
根据正弦定理可知，代入解之可得.
故选：C
8.A
设球的半径为，记中心为，因为为正方形，直线PQ经过球心，且平西.所以PQ过点且PQ的中点为球心，设球心为，以为原点，OB、OC、OP分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
所以，，所以，
所以，，
又，即.
所以，
当且仅当时等号成立，设直线PA，QB所成的角为则，又，所以.故选A.
9.ABD
对于选项A，若互斥，根据互斥事件的概率公式，则，所以选项A正确，
对于选项B，由相互独立事件的概念知，若，则事件是相互独立事件，所以选项B正确，
对于选项C，若互斥，则不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，不满足相互独立事件的定义，所以选项C错误，
对于选项D，由相互独立事件的定义知，若，独立，则，所以选项D正确，
故选：ABD.
10.AC
因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
11.AD
对A：，，
，
由在上单调递增，故其等价于，
化简可得，故满足题意，故A正确；
对B：，，，
取，，可得，，
又，故此时不满足题意，故B错误；
对C：，，，
化简得恒成立，不满足题意，故C错误；
对D：，，，
左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.
故选：AD.
或
设在轴上的截距为，则在轴上的截距为
，若，则过原点，故的方程为，即；若，
则的方程为，所以，所以，所以的方程为，
即.综上所述，直线的方程为，或.
13.-3
∵方程的两根为，
∴，，
由题意得：；，
∵，∴，，故，
故答案为：-3.
14.18；
15.(1)由正弦定理，可得，
(2)，，
由余弦定理可得，
，，
，，
当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值
16.(1)，
(2)设向量，的夹角为，
由，
，，
，
又三角形中，
.
17.(1)因为，
则
（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
同理（当且仅当时取等），
（当且仅当时取等），
三式相加可得：，
又因为，
所以，
所以（当且仅当时取等）.
(2)①由可得：，
所以，即，
即，则，
所以，
解得：
②因为当时，，
当且仅当，即时取等，
所以当时，，
对任意，恒成立，
则，
所以，解得：.
所以实数的取值范围为：.
18.（1）证明：如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即.
又因为平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则.
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以.
则，设平面的法向量，
由，令，得平面的一个法向量，
易知，为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是.
19.(1)若是“漂亮数”，
设，满足，
则，所以，即，
故，得，则，所以，
此时，假设，则，又，
所以全部可能取值为，
经验证，上述的取值都不等于1，不符合题意.
所以，又，故6为“漂亮数”，
所以最小的“漂亮数”是6；
(2)若，设，满足，
则，所以，即，
而，
所以，即，故，
得，即，
又，所以，
而，故，即.
若，则，所以.
假设，则，矛盾.
故，所以，得.
故，则，得，又，所以.
又，矛盾，
故或.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
当时，有，得，
则，得，即.
由，得，分别代入，
使得为正整数的有，对应的分别为.
综上，满足条件的全部为.