浙江省2024年秋季九年级上册期中考试模拟卷 含解析

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浙江省2024年秋季九年级上册期中考试模拟卷
范围：第1-4章 满分：120分
一、选择题(共10题；共30分)
1．下列运动中，属于旋转运动的是（　　）
A．小明向北走了 4 米 B．一物体从高空坠下
C．电梯从 1 楼到 12 楼 D．小明在荡秋千
2．如果将抛物线 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件为随机事件的是(　　)
A．太阳从西方升起
B．你将长到高
C．图形经过旋转所得的图形和原图形全等
D．投掷一个均匀的硬币，正面朝上
4．已知在半径为R的圆中，长为l的弧所对的圆心角为，则下列关系式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，连结AE，若AC⊥DE于点H，∠AED=20°，则旋转角∠ACE为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．如图，直线a//b//c，直线AC分别交a，b，c于A，B，C；直线DF分别交a，b，c于D，E，F.若AB=2，AC=5，DE=3，则EF=（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．如图，点在上，，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
8．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为（　　）
A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒
9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA
C． D．
10．二次函数、、是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值有以下结论：；；关于的方程的负实数根在和之间；和在该二次函数的图象上，则当实数时，．
其中正确的结论是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(共6题；共24分)
11．已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A与⊙的位置关系是 　 　.
12．抛物线的顶点坐标为　 　．
13．如图，随机在正十二边形及其内部区域投针，若针扎到黑色区域的概率为，则还需将　 　个三角形涂黑．
14．如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为　 　.
15．如图，ABCD是正方形，边长为2，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为　 　．
16．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是　 　．
三、解答题（本题共有8小题，第17～19小题每小题6分，第20～21小题每小题8分，第22～23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）
17．已知线段a、b、c满足 ，且a+2b+c＝26.
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x.
18．已知二次函数的图象经过点．求：
（1）该二次函数的表达式．
（2）函数图象的顶点坐标．
（3）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
19．2023年9月23日第19届亚运会在杭州举办．现有三种亚运会吉祥物玩偶供志愿者抽奖选择，它们分别是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．在一个不透明的箱子中放入4个大小材质均相同的小球，其中有3个球上分别写有“宸”、“琮”、“莲”，志愿者从箱子中摸出一个球，若有字则能获得相应的吉祥物玩偶．
（1）获得吉祥物玩偶的概率是　 　．
（2）取出分别写有“宸”、“琮”、“莲”三个有字的小球，放入一个不透明的袋子里，从中取出一个球，放回，再从中取出一个球，求两次取出的球写有相同字的概率．（请用列表或树状图分析）
20．如图所示，在△ABC中，BE=CE，∠C=70°，以AB为直径的半圆分别交AC、BC于点D，E，O为圆心，求∠DOE的度数.
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
22．根据以下素材，探索完成任务
确定文具套餐售价
素材1 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套．
素材2 该文具套装的成本是10元/套．
素材3 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构．
问题解决：
（1）任务1：分析变量分析
求y关于x的函数表达式．
（2）任务2：计算月利润
当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？
（3）任务3：确定合理售价
为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标．
24．如图，△ABC内接于⊙O，过点O作OH⊥BC于点H，延长OH交⊙O于点D，连接AD、BD，AD与BC交于点E，AD＝9．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD．
（2）若OH＝DH．
①求∠BAC的度数．
②若⊙O的半径为6，求DE的长．
（3）设BD＝x，AB CE＝y，求y关于x的函数表达式．
参考答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；
B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；
C. 电梯从 1 楼到 12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；
D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据图形旋转的定义求解即可。
2．【答案】C
【解析】【解答】将抛物线 向下平移1个单位，只要考虑将其顶点（0，2）向下平移1个单位，得到新抛物线的顶点（0，1），从而得到新抛物线的表达式 。故答案为：C。
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵圆的半径为R，弧长为l，弧所对的圆心角为n°；
∴弧长l==，A正确；
∴n=，R=，B、C正确；
故答案为：D.
【分析】弧长的公式l=，根据等式的性质进行变化即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AC⊥DE，∠AED=20°；
∴∠CAE=90°-20°=70°
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC
∴CA=CE
∴∠CAE=∠CEA=70°
∴∠ACE=180°-70°-70°=40°
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的性质，可得∠CAE的度数；根据旋转的性质，可得CA=CE；根据三角形的内角和定理，可得∠ACE的度数.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
，
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例，列比代数计算即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键．
7．【答案】D
8．【答案】C
【解析】【解答】解：令，则，
解得（舍去），，
故答案为：C.
【分析】令，代入解析式，计算求解即可．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB PB或 ．
故答案为：D．
【分析】根据黄金分割的性质可得AP2＝AB PB或 ．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：①将点代入二次函数的解析式可得：可得即a与b互为相反数，即则即故①错误；
②将代入得：所以又因为 当时，对应的函数值 即，解得则故②正确；
③因为，则对称轴直线方程：又因为 当时，对应的函数值 所以根据二次函数的对称性可得：当时，对应的函数值而时所以抛物线与x轴的交点坐标在和0之间，即 关于的方程的负实数根在和之间 ，所以③正确；
④因为 和在该二次函数的图象上，所以若，且s所以解得故④错误，
综上所述②③正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查二次函数各项系数的关系、二次函数图象及性质.
11．【答案】点A与⊙O外
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为3，点A与点O的距离为5，
即A与点O的距离大于圆的半径，
所以点A与⊙O外.
故答案为：点A与⊙O外.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d12．【答案】（-1，-3）
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（-1，-3），
故答案为：（-1，-3）
【分析】根据所给的抛物线的解析式求顶点坐标即可。
13．【答案】6
【解析】【解答】解：设黑色区域的个数为x个，
∵正十二边形一共有12个三角形
∴针扎到黑色区域的概率==
∴解得x=8
图中已经涂黑2个三角形，还需要涂黑6个三角形.
故答案为：6.
【分析】根据概率的定义，设未知数，列一元一次方程，解方程即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可知：，，，，
∽，
，
，
解得.
故答案为：.
【分析】由可得∽，可得，据此可求出AE的长.
15．【答案】4-π
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为2，
∴．
故答案为：．
【分析】根据割补法求面积得，然后根据扇形和正方形面积公式，进行计算即可．
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=.
故答案为：.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
17．【答案】（1）解：设 ＝k，
则a＝3k，b＝2k，c＝6k，
所以，3k+2×2k+6k＝26，
解得k＝2，
所以，a＝3×2＝6，
b＝2×2＝4，
c＝6×2＝12；
（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段x＝2 .
【解析】【分析】（1）设比值为k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k，根据a+2b+c＝26可求出k，进而可得a、b、c的值；
（2）由比例中项的概念可得x2＝ab，据此可得x.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
19．【答案】（1）
（2）解：由题意，可列表为：
宸 琮 莲
宸 （宸，宸） （琮，宸） （莲，宸）
琮 （宸，琮） （琮，琮） （莲，琮）
莲 （宸，莲） （琮，莲） （莲，莲）
共有4种结果，其中两次取出的球写有相同字结果有3种，
∴两次取出的球写有相同字的概率为．
【解析】【解答】解：（1）一共有4个球，其中3个球上有字；
∴获得吉祥玩偶的概率=
故答案为：.
【分析】（1）根据概率的定义，可以直接求出获得吉祥物的概率；
（2）根据列表的方法，将所有情况用表格表示，统计有相同字的结果以及总的情况，根据概率的定义即可算出其概率.
20．【答案】解：如图，连接AE、BD，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，AE平分∠BAC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠CAE=（180°-∠B-∠C）÷2=20°，
∵∠DAE和∠DOE所对的弧都是弧ED，
∴∠DOE=2∠CAE=40°.
【解析】【分析】由AB为直径，得AE⊥BC，结合BE=CE，推得AB=AC，AE平分∠BAC，现知∠C=70°，则由三角形内角和定理求得∠CAE=20°，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半求得∠DOE的度数.
21．【答案】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDB＝∠FEC＝90°，
∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE＝EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴＝，
∴，
∵BD＝4，CE＝3，
∴，
∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去），
∴DE＝2．
【解析】【分析】
(1)先证明∠GDB＝∠FEC，∠B＝∠EFC，再证明△DBG∽△EFC即可。
(2)由△DBG∽△EFC得出线段间的比例关系，代入数据进行求解即可。
22．【答案】（1）解：由题意得：y＝200+20（30﹣x）＝﹣20x+800，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+800；
（2）解：由题意得：W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣20x+800）
＝﹣20x2+1000x﹣8000
＝﹣20（x﹣25）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴当x＝25时，W有最大值，
∴当售价为25元时，月利润W获得最大；
（3）解：由题意得：W﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4500﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4100＝3040，
解得：x1＝25+，x2＝25﹣，
∵款后月利润不低于3040元，
∴x的取值范围为25﹣≤x≤25+，
∵10≤x≤19.5，
∴25﹣≤x≤19.8，
∵7＜＜8，
∴17＜25﹣＜18，
∵为正整数，
∴x＝18或x＝19．
【解析】【分析】（1）根据销售总量=售价×销量，列代数式，化简即可；
（2）根据利润=销售总数量×（售价-进价），列二次函数，化为顶点式，即可求出最值；
（3）根据（2）的二次函数，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的两个值；根据二次函数的性质，即可判断x的取值范围.
23．【答案】（1）解：把点（3，0），点（0，3）的坐标代入中得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：在中，当时，或，
∴，，
∴，
∵的面积等于10，
∴，
∴，
∴，
当y=5时，此时，方程无解，不符合题意；
当时，解得或，
∴点P的坐标为或，
∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或；
（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，
设直线的解析式为，将B点和C点代入
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
【解析】【分析】
（1）该表达式只有两个未知数b，c，所以只需要找两个点坐标代入即可直接求出二次函数的解析式；
（2）函数中求面积，选在坐标轴上的线段为底，因此先求出点A坐标，进而得到，根据点P在抛物线上，先设坐标，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可；
（3）象限内的三角形面积=，先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将△PBC面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
（1）解：把点，点的坐标代入中得，
解得，
二次函数得表达式为；
（2）解：在中，当时，或，
∴，
又∵，
∴，
∵的面积等于10，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，此时，方程无解，不符合题意；
在中，当时，解得或，
∴点P的坐标为或，
∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或；
（3）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
24．【答案】（1）证明：∵OH⊥BC，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD
（2）解：①连接BO，
∵OH＝DH，OH⊥BC，
∴BD＝BO．
∵OB＝OD，
∴△OBD是正三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°．
②∵⊙O的半径为6，△OBD是正三角形，
∴BD＝OB＝6．
∵，
∴∠DBE＝∠DAB．
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝4．
（3）解：由（2）得△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵∠ACB＝∠ADB，∠BAE＝∠DAC，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，利用同弧或等弧所对的圆周角相等即得结论；
（2）①连接BO，易证△OBD是正三角形，可得∠BOD＝60°，根据圆周角定理可得∠BAD=30°，根据∠BAC＝2∠BAD即可求解；
②证明△BDE∽△ADB，利用相似三角形的对应边成比例即可求解；
（3）由（2）得△BDE∽△ADB，可得，据此可求，
，再证△ABD∽△AEC，可得，据此即可求解.