陕西省咸阳市乾县第二中学2024-2025学年高二第一次阶段性检测数学试题（含解析）

乾县第二中学2024-2025学年高二第一次阶段性检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，，则的最小值为（ ）．
A. 4 B. C. 6 D.
4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点在侧棱上，且，若，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 因式分解（ ）
A. B.
C. D.
6.在矩形中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，当点与点之间的距离为3时，（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6 B. C. D.
8. 如图，在正方体中， 分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. 平面
B.
C. 直线与平面所成角为45°
D. 异面直线与所成角为60°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在正方体中，能构成空间的一个基底的一组向量为（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ）
A. 当点P在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B.存在这样的点，使得
C.当直线AP与平面所成的角为45°时，点的轨迹长度为
D.当时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________
13. 已知，则直线和所成角的余弦值为______.
14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.已知点，点，直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求直线关于直线的对称直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
16. 已知关于的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，且，求的值.
17.如图，正方体的棱长为2.
（1）用空间向量方法证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ．
（1）求证：AP⊥BC；
（2）若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC．
19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.
（1）求的方程；
（2）求弦的长（用表示）；
（3）若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.
1.D
由，得到，所以，
又，所以，故，
故选：D.
2.A
，解得，则，
，，
设向量与的夹角为，则，
，，即与的夹角为．
故选：A．
3.B
由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.
故选：B
4.A
因为，所以，根据空间向量的运算法则，可得，所以.故选A.
5.B
由.
故选：B.
6.B
分别作，，垂足为E，F，则.由，，可得，所以，，.因为，则，即，故.故选B.
7.D
两点，，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D
8.D
如图，连结BD，A1D，
由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，
而MN 平面ADD1A1，A1D 平面ADD1A1，
∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，
∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；
直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；
而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．
故选：D
9.CD
对于A选项，，A错误；
对于B选项，，B错误；
对于C选项，，C正确；
对于D选项，，D正确.
故选：CD.
10.AC
空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面.选项A中，直线
所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，故这组向量可以成为基底，A正确；选项B，满足，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B错误；选项C中，直线所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为，所以共面，这组向量不可以成为基底，D错误.故选AC.
11.ACD
12.4
在△ABC中，利用余弦定理，
，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得，
13.
由题意知，
则，
故答案为：.
14.
由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，
正外接圆半径，正四面体的高，
设正四面体的外接球半径为，在中，，解得，
因此，勒洛四面体内切球半径为.
故答案为：．
15.解：（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）由解得，故的交点坐标为，
因为在直线上，设关于对称的点为，
则
解得
所以直线关于直线对称的直线经过点，
代入两点式方程得，即，
所以直线关于直线的对称直线的方程为.
16.（1）根据题意，，即，解得，
所以的取值范围是.
（2）由题，，，，
，
化简得，，解得或3（舍去），
.
17.如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，2）
.
所以.
（1）证明：设平面的法向量为，由得
令，得.
因为，所以，
又平面，所以平面.
（2）解：由（1），得平面的法向量，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；
则 ，
故，，
∴，
∴⊥，即 ；
（2）证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以,
因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ，
∴M(0,，)，∴(0,,)，
(-4,,)，(4,,)；
设平面BMC的法向量为，
则 ，即，
令 ，则；
设平面AMC的法向量为，则 ，
即，令 ，则；
由于，
得⊥，即平面AMC⊥平面BMC．
19.（1）由题知，又，得到，所以，
故椭圆的方程为.
（2）设，因为直线经过点，且倾斜角为，
当时，直线，由，解得，，此时，
当，设直线的方程为，其中，
由，消得到，
又，所以，即，
综上，当时，；当时，.
（3）直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，所以，
当时，易知，，此时四边形面积为，
当时，可设，其中，
同理可得，
当时，，，此时四边形面积为，
当且时，四边形面积为①，
又，
代入①化简得到，
即，
令，
令，则，
所以，对称轴，又，则
当，即时，，此时，
所以四边形面积的最小值为，
又，所以四边形面积最小值.
【点睛】本题的关键在于第（3）问，分和，分别求出，先求出和两种情况下的面积，再根据题有，当和时，，再求出的最小值，跟特殊情况比较，即可求解.