陕西省咸阳市乾县第一中学2024-2025学年高二第二次阶段性检测数学试题（含解析）

乾县第一中学2024-2025学年高二第二次阶段性检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ）
A 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 不能确定
4. 由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知为实数，直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.边长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，是DB靠近点的四等分点，在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ）
A.1 B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且，若函数的图象与函数的图象有交点，且交点个数为奇数，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或者不选得0分。）
9. 已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知事件A与B发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，若，则
C.当时，直线与直线所成角的大小为
D.当时，三棱锥的体积的最大值为
三 填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）
12. 已知，则________．
13.空间内四点，，，可以构成正四面体，则___________.
14. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，向量，
（1）求向量，，的坐标；
（2）求与所成角的余弦值.
16. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
17.如图，已知平行六面体.
（1）若，求的长度；
（2）若，求与所成角的余弦值.
18. 某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．
（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
19. 已知函数．
（1）函数是否具有奇偶性 为什么
（2）当时，求的单调区间；
（3）若有两个不同极值点，，证明：．
1.C
将中的元表依次代入验证，只有，0，满足，所以.故选C.
2.D
由题得，
，，其对应的点位于第四象限.
故选：D．
3.B
因为，所以，
所以直线与平行.
故选：B
4.A
将组成没有重复数字的三位数，共有种，
而其中偶数有两种情况：
①以为个位数的三位数，是，共有2种
②以为个位数的三位数，是，共有2种
所以，这个三位数是偶数的情况共有种，
所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则.
故选：A.
B
易知两直线的斜率存在，当时，则解得，由推不出，充分性不成立；当时，可以推出，必要性成立.故选B.
6.D
解：，，
.
故选：D.
7.B
如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，则，因为，又，所以，即，所以，又，，所以.当且仅当，此时时，等号成立，所以的最大值是.故选B.
8.C
令，其定义域为，
因为，所以为偶函数，
由题易知也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故.
故选：C.
9.AC
，
若且，
则，解得或，
所以或.
故选：AC
10.BD
对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，不一定成立，故A错误；
对于B，由于，则，
则，故B正确；
对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，
所以，也不一定成立，故C错误；
对于D，，故，故D正确；
故选：BD.
ABD
由平行六面体知四边形是平行四边形，连接
，当时，分别是的中点，所以也是的中点，所以，故A正确；当时，由A选项可知，又，所以0，
故B正确；当时，，因为在棱长均为1的平行六面体中，平面，所以，，所以，设直线与直线所成角为，则
，又，所以，即直线与直线所成角为，故C错误；过作交于，可证平面，所以三棱锥的体积，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选ABD.
12.2或1
将左右两边同时除以，可得.
得，所以或2.
由已知正四西体的棱长为1，所以的竖坐标为正四面体的高，的外接圆半径为，所以正四面体的高为，而横坐标，纵坐标即底面三角形的重心坐标，，，所以，故答案为.[只写对一个不给分]
14.
，
，解得：，
，则，
切线的方程为：，即；
若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离，
设所求切点，由，可得，
所以，即，又单调递增，而时，
所以，即，
.
故答案为：.
15.（1）因为向量，所以，解得：，，
则，，
又因为，则，解得，
所以
（2）由（1）知，
所以，，
则，，，
即与所成角的余弦值
16.（1）如图，连接，因为分别为的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以，，
又，是平面内两条相交直线，
平面，又平面，
，
所以两两互相垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
设二面角的平面角为，
，则.
所以二面角的正弦值为.
17.（1），
因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以
，因为，所以，
因为
，所以，
设与所成的角为，则，
即与所成角的余弦值为.
18.（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为，
，，．
X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以，．
（2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为．
则，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
（3）因为，，
即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，
所以应选择方案一的抽奖方式．
19.（1），而，
显然，且，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，故函数不具有奇偶性.
（2）时，，
，
故当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（3），
因为有两个不同极值点，，故即有两个不等的实根，
令，所以有两个不等的正数根，
所以，得，且，
所以
，
设，，
所以在上单调递增，
所以，
故.