第2课时 组合数的综合应用
一、选择题
1.[2023·哈尔滨高二期末] 小张接到5项工作,要在下周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有 ( )
A.180种 B.480种
C.90种 D.120种
2.[2023·南京宁海中学高二期末] 将5名志愿者分配到4个项目参加志愿活动,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方法共有 ( )
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
3.将5个相同的名额分给3个不同的班级,每个班级至少得到1个名额的不同分法的种数是 ( )
A.60 B.50
C.10 D.6
4.某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈,高二(1)班有2名家长到会,其余5个班级各有1名家长到会,会上任选3名家长发言,则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为 ( )
A.15 B.30 C.35 D.42
5.6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务,每名志愿者只能去一个社区,每个社区至少安排1名志愿者,若只需要2名志愿者去A社区,则不同的安排方法共有 ( )
A.105种 B.144种
C.150种 D.210种
6.[2024·西宁高二期末] 中国灯笼又统称为灯彩,是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展,形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平,从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排,要求吊灯挂两端,同一类型的灯笼至多2盏相邻挂,则不同挂法种数为 ( )
A.216 B.228 C.384 D.486
7.[2024·哈尔滨高二期末] 有6名志愿者要去A,B,C三座体育馆工作,若每名志愿者只去一座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,其中志愿者甲不去A体育馆,则不同的分配方法种数为 ( )
A.180 B.300
C.360 D.380
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作56个平面
B.平面内有10条直线,它们最多有90个交点
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有70个
D.平面内有两组平行线,一组有5条,另一组有4条,这两组平行线相交,可以构成60个平行四边形
9.(多选题)某单位从6男4女共10名员工中,选出3男2女共5名员工,安排在周一到周五的5个夜晚值班,每名员工值一个夜班且不重复值班,其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班,男员工乙不能安排在星期二值班,其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班,则 ( )
A.甲、乙都不选的方案共有432种
B.选甲不选乙的方案共有216种
C.甲、乙都选的方案共有96种
D.这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种
二、填空题
10.某单位计划从5人中选4人值班,每人值班一天,其中第一、二天各安排1人,第三天安排2人,则不同安排方法的种数为 .
11.[2023·河北师大附中高二月考] 把10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个不同盒子中,使盒子里的球的个数不小于它的编号数,则不同的放法种数是 .(用数字作答)
12.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位老师中的甲不在12日值班,乙不在14日值班,且甲、乙不在同一天值班,则不同的安排方法共有 种.
三、解答题
13.[2023·河南南阳八中高二月考] 在100件不同的产品中,有98件合格品,2件次品,从这100件产品中任意抽出3件.
(1)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(2)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
14.[2024·南昌莲塘一中高二期末] 现有4本书和3名学生,将4本书全部分给这3名学生.(用数字作答)
(1)若4本书都不相同,每名学生至少分一本书,共有多少种不同的分法
(2)若4本书仅有两本相同,按一人2本,另两人各1本分配,共有多少种分法
15.(多选题)现有编号分别为1,2,3,4,5的五个球,则 ( )
A.全部投入4个不同的盒子里,共有45种放法
B.全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种放法
C.将其中的四个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有种放法
D.全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种不同的放法
16.将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架(如图),小红欲从A处行走至B处,则行走路程最短且任意2次向上行走都不连续的不同路线共有多少条
第2课时 组合数的综合应用
1.A [解析] 由题意可知不同的安排方式有=180(种).故选A.
2.C [解析] 将5名志愿者分为4组,有=10(种)分组方法,将分好的4组安排给4个志愿活动,有=24(种)情况,则共有10×24=240(种)分配方法.故选C.
3.D [解析] 可以看成将5个相同对象分成3组,采用隔板法即可,故每个班级至少得到1个名额的不同分法种数是=6.故选D.
4.B [解析] 方法一:若高二(1)班有1名家长发言,则有种可能情况,若高二(1)班没有家长发言,则有种可能情况,所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况共有+=30(种).故选B.
方法二:从7名家长中任选3人,有种情况,高二(1)班2名家长都发言的情况有种,所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况有-=30(种).故选B.
5.D [解析] 先选出2名志愿者安排到A社区,有种方法,再把剩下的4名志愿者分成两组,有种分法,则不同的安排方法共有=210(种).故选D.
6.A [解析] 先挂2盏吊灯有=2(种)挂法,再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有=6(种)挂法,最后将宫灯插空挂.当4盏宫灯分成2,2两份插空时,有-1=5(种)挂法;当4盏宫灯分成1,1,2三份插空时,有=12(种)挂法;当4盏宫灯分成1,1,1,1四份插空时,有1种挂法.综上,共有2×6×(5+12+1)=216(种)不同的挂法.故选A.
7.C [解析] 若甲单独一组,先排甲有=2(种)方法,再将其余5人分成两组有+=15(种)方法,分配到另外两个体育馆共有=2(种)方法,所以此类情况共有2×15×2=60(种)方法.若甲与其他志愿者一组,先安排甲有=2(种)方法,然后将其余5人分成三组有+=25(种)方法,再将三组分配到三个体育馆有=6(种)方法,所以此类情况共有2×25×6=300(种)方法.综上,不同的分配方法共有60+300=360(种).故选C.
8.AD [解析] 对于A,一个平面对应着从8个点中取出3个点的一个组合,故可以作=56(个)不同的平面,故A正确;对于B,每一条直线都可以与另外的9条直线相交,最多就有9个交点,但都重复了一次,所以最多共有9×10÷2=45(个)交点,故B不正确;对于C,首先从8个顶点中选4个,共有 种结果,在这些结果中,有四点共面的情况,6个表面有6个四点共面,6个对角面有6个四点共面,所以满足条件的结果有-6-6=58 (个),故C不正确;对于D,先从第一组5条平行线中任选2条作为平行四边形的一组对边,有 种取法,再从另一组4条平行线中任选2条作为平行四边形的另一组对边,有 种取法,所以可以构成=60(个)平行四边形,故D正确.故选AD.
9.ABC [解析] 甲、乙都不选的方案共有=432(种),故A正确.选甲不选乙的方案共有=216(种),故B正确.甲、乙都选,乙排在星期一的方案共有=48(种),乙不排星期一的方案共有=48(种),则甲、乙都选的方案共有48+48=96(种),故C正确.选乙不选甲的方案共有=216(种),则这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+216+96=960(种),故D错误.故选ABC.
10.60 [解析] 先从5人中选出4人值班,再从4人中选出2人值第三天,剩余2人分别值第一、二天,所以不同安排方法的种数为=60.
11.15 [解析] 先在编号为2,3的盒子中分别放入1,2个小球,编号为1的盒子不放球,再在每个盒子至少放入1个小球,用隔板法,将余下7个小球排成一排有6个空,插入2个隔板,有=15(种)放法.
12.36 [解析] 根据题意,分以下两步进行分析:①将6人分为3组,要求甲、乙不在同一组,有-=12(种)分组方法.②若甲所在的组在14日值班,则有=2(种)安排方法;若甲所在的组在13日值班,则乙所在的组必须在12日值班,只有1种安排方法,故共有3种安排方法.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有12×3=36(种).
13.解:(1)抽出的3件产品中恰好有1件次品,则抽出的3件产品中有2件合格品,∴恰好有1件次品的抽法有=2×=9506(种).
(2)方法一:抽出的3件产品中至少有1件是次品包括两种情况,分别为有1件次品和有2件次品.∴至少有1件次品的抽法有+=9506+98=9604(种).
方法二:从100件产品中抽取3件,有种抽法,其中没有次品的抽法有种,∴至少有1件次品的抽法有-=-=9604(种).
14.解:(1)根据题意,每名学生至少分一本书,
则分成1,1,2三组,再进行全排列,有=36(种)分法.
(2)记这4本书分别为A,A,B,C,两个A在一组时,共有=6(种)分法,两个A不在一组时,若AB或AC一组,有=12(种)分法,若BC一组,有3种分法.
综上,共有6+12+3=21(种)分法.
15.ACD [解析] 全部投入4个不同的盒子里,共有4×4×4×4×4=45(种)放法,故A正确;将其中的四个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有种放法,故C正确;全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种放法,故B错误,D正确.故选ACD.
16.解:根据题意知,要使路程最短,则行走时3次向上,2次向右,2次向前.
因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列,也就是2次向右和2次向前全排列,有种方法,又因为2次向右和2次向前是没有顺序的,所以共有种方法;再把3次向上插到4次不向上之间及两端的5个空位中,有种方法.所以满足题意的不同路线共有=60(条).3.1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及其性质应用
一、选择题
1.可表示为 ( )
A. B. C. D.
2.将6本相同的书分给8名学生,每人至多分1本,而且书必须分完,则不同的分法种数是( )
A. B. C.68 D.86
3.从4名男学生、5名女学生中选出3名学生,男、女学生都有的选法有 ( )
A.140种 B.44种
C.70种 D.252种
4.计算:= ( )
A. B.101 C. D.6
5.满足条件>的正整数n的个数是 ( )
A.10 B.9 C.4 D.3
6.现有6个不同的白球,4个不同的黑球,从中任取4个,则至少有2个黑球的取法种数是( )
A.115 B.90
C.210 D.385
7.[2024·沈阳高二期末] ++…+= ( )
A.120 B.119
C.110 D.109
8.(多选题)下列等式一定正确的是 ( )
A.(n+1)=
B.=(n-2)!
C.=
D.=
9.(多选题)[2024·江苏镇江扬中中学高二月考] 在50件产品中,有47件合格品,3件不合格品,从这50件产品中任意抽取4件,则下列结论正确的有 ( )
A.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(+)种
B.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(++)种
C.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有(-)种
D.抽取的4件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种
二、填空题
10.[2024·甘肃白银高二期末] 安排5名志愿者完成A,B,C,D四项工作,其中A项工作需2人,B项工作不安排5人中的甲完成,5名志愿者均分配了工作,且每项工作均有人完成,则不同的安排方法共有 种.
11.已知=++,则x的值为 .
12.若x+=4,则x的值为 .
三、解答题
13.[2024·辽宁营口高二期末] 课外活动小组共有13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有1名队长,现从中选5人参加某项活动,依下列条件各有多少种选法
(1)至少有1名队长参加该活动;
(2)至多有2名女生参加该活动.
14.(1)计算:.
(2)解方程:3-6=4.
(3)解关于n的不等式≥24.
15.[2023·上海市西中学高二月考] 按图从上往下读(不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念),构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为 .
16.规定=,其中x∈R,m是正整数,且=1,这是组合数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值.
(2)设x>0,当x为何值时,取得最小值
(3)组合数的两个性质:①=;②+=是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形 若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
3.1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数及其性质应用
1.D [解析] ===.故选D.
2.B [解析] 从8人中选出6人进行组合即可,则有种分法.故选B.
3.C [解析] 利用间接法可得,男、女学生都要有的选法种数为--=70.故选C.
4.D [解析] ====6.故选D.
5.C [解析] ∵>,∴>,∴(n-4)(n-5)<30,即n2-9n-10<0,解得-16.A [解析] 至少有2个黑球的取法种数是++=90+24+1=115.故选A.
7.B [解析] 因为+=,所以++…+=+++…+-1=++…+-1=…=-1=119.故选B.
8.ABD [解析] 对于A,(n+1)=(n+1)·==,故A正确;对于B,===(n-2)!,故B正确;对于C,=,而m!与n!不一定相等,所以与不一定相等,故C不正确;对于D,=·==,故D正确.故选ABD.
9.BC [解析] 根据题意可知,抽取的4件产品中至少有1件是不合格品包括以下三种情况:①1件不合格品和3件合格品,共有种抽法;②2件不合格品和2件合格品,共有种抽法;③3件不合格品和1件合格品,共有种抽法.则至少有一件是不合格品的抽法有(++)种,故B正确.还可以采用正难则反的思想,即间接法,“至少有1件是不合格品”与“全都是合格品”是对立事件,总的抽法共有种,全都是合格品的抽法共有种,所以至少有1件是不合格品的抽法有(-)种,故C正确.故选BC.
10.48 [解析] 甲去完成A项工作,有=24(种)不同的安排方式;甲不去完成A项工作,有=24(种)不同的安排方式.故共有24+24=48(种)不同的安排方式.
11.3或4 [解析] 由题意得解得2≤x≤6,x∈N.∵=++,∴=+,∴-=,∴=,∴x=2x-3或x+2x-3=9,解得x=3或x=4.
12.4 [解析] 由题知x2+x(x-1)(x-2)=,可得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,又x≥3,所以x=4.
13.解:(1)至少有1名队长含有两种情况,有一名队长和有两名队长,故共有+=825(种)选法.
(2)至多有2名女生含有三种情况,有2名女生、有1名女生、没有女生,故共有++=966(种)选法.
14.解:(1)==15.
(2)由题意得∴n≥3且n∈N*.∵3-6=4,∴3n(n-1)(n-2)-6n(n-1)=4×,
即3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n+2,解得n=5或n=(舍去),故n=5.
(3)由题意得∴n≥6且n∈N*.
∵≥24,∴n(n-1)(n-2)(n-3)≥24,
∴≤1,整理得n2-9n-10≤0,
解得-1≤n≤10,又n≥6且n∈N*,∴不等式的解集为{6,7,8,9,10}.
15.252 [解析] 构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步),其中5步是从上往左下角方向读,余下5步是从上往右下角方向读,故共有不同读法=252(种).
16.解:(1)由题意可得==1365.
(2)==,因为x>0,所以当=,即x=时,取得最小值.
(3)性质①不能推广,例如当x=时,有定义,但无意义.
性质②能推广,它的推广形式是+=,x∈R,m是正整数,事实上,当m=1时,+=x+1=;当m≥2时,+=+
===.
综上,+=,x∈R,m是正整数.
