4.1.1　条件概率 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二

4.1　条件概率与事件的独立性
4.1.1　条件概率
一、选择题
1.[2023·上海二中高二月考] 已知一个有两个孩子的家庭中有一个男孩,则这个家庭中有女孩的概率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B. C. D.
2.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是 (　 )
A.0.2 B.0.33
C.0.5 D.0.6
3.[2023·江西余干中学高二月考] 小明每天上学途中必须经过2个红绿灯,经过一段时间观察发现如下规律:在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是,连续两次遇到红灯的概率是.则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下,第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为(　 )
A. B. C. D.
4.[2023·浙江杭州十四中高二月考] 有六条线段,其长度分别为2,3,4,5,6,7.现任取三条,则这三条线段在可以构成三角形的前提下,能构成钝角三角形的概率是 (　 )
A. B. C. D.
5.[2023·石家庄高二期末] 太行山脉有很多优美的旅游景点,甲、乙两位游客慕名来到太行山脉,都准备从C,D,E,F四个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择景点C”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则P(B|A)= (　 )
A. B. C. D.
6.冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇、滑冰、滑雪、冰球七个大项.现有甲、乙、丙三名志愿者,设事件A为“甲不是雪车项目的志愿者,乙不是雪橇项目的志愿者”,事件B为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”,则P(A|B)= (　 )
A. B.
C. D.
★7.[2023·辽宁沈阳高二期中] 饮酒过度会影响健康,某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计,一次性饮酒4.8两,诱发某种疾病的频率为0.04,一次性饮酒7.2两,诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率,已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病,则他继续饮酒2.4两,不诱发这种疾病的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列说法正确的是 (　 )
A.P(B|A)≥P(A∩B)
B.若事件A包含事件B,则P(B|A)=
C.0D.P(A|A)=0
9.(多选题)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,再从乙罐中随机取出1个球,记事件A为“从甲罐取出的球是红球”,事件B为“从乙罐取出的球是红球”,则 (　 )
A.P(A)= B.P(B|A)=
C.P(B)= D.P(A|B)=
二、填空题
10.将一枚质地均匀且各面分别有狗、猪、羊、马图案的正四面体玩具抛掷两次,设事件A为“两次掷出的玩具底面图案不相同”,事件B为“两次掷出的玩具底面图案至少出现一次狗图案”,则P(B|A)=　　　　.
11.从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色,每个格子涂1种颜色,记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”,事件B为“3个格子的颜色均不相同”,则P(B|A)=　　　　.
12.[2024·辽宁大连高二期中] 抛掷红、蓝两颗质地均匀的骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”,则P(B|A)=　　　　,P(A|B)=　　　　.
三、解答题
13.[2023·新疆阿克苏高二期末] 某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3)在被选中的2人中有1男1女的条件下,求女生乙被选中的概率.
14.从1~100共100个正整数中任取1个数,已知取出的数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.
15.一个袋中共有10个大小相同的黑球和白球,若从袋中任意摸出2个球,则至少有1个白球的概率为.现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,则在第2次取得白球的条件下,第1次取得黑球的概率为 (　 )
A. B. C. D.
16.有五瓶墨水,其中红色墨水一瓶,蓝色、黑色墨水各两瓶,某同学从中任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色墨水,求另一瓶不是蓝色墨水的概率.
4.1.1　条件概率
1.C　[解析] 一个家庭中有两个小孩包含的样本点有(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).记事件A为“其中一个是男孩”,事件B为“其中一个是女孩”,则事件A包含(男,女),(女,男),(男,男),共3个样本点,事件B包含(男,女),(女,男),(女,女),共3个样本点,事件A∩B包含(男,女),(女,男),共2个样本点,则P(A)=,P(A∩B)==,则P(B|A)===.故选C.
2.A　[解析] 记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,则P(B|A)===0.2,所以该学生数学不及格时,语文也不及格的概率为0.2.故选A.
3.B　[解析] 设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A,“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B,则由题意可得P(A)=,P(A∩B)=,则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下,第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为P(B|A)==.故选B.
4.A　[解析] 记事件A为“三条线段可以构成三角形”,事件B为“三条线段构成钝角三角形”,则A={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),
(4,6,7),(5,6,7)},共13个样本点,A∩B={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,6),(3,5,6),
(3,5,7),(3,6,7),(4,5,7)},共9个样本点,故P(B|A)=.故选A.
5.D　[解析] 两位游客从四个著名旅游景点中随机选择一个游玩,共包含4×4=16(个)样本点,其中事件A包含的样本点有4×4-3×3=7(个),事件A∩B包含的样本点有2×3=6(个),所以P(A)=,P(A∩B)==,所以P(B|A)===.故选D.
6.B　[解析] 冬奥会设有七个大项,有甲、乙、丙三名志愿者,则每人可有7种选法,共有73种选法,又事件B包含的样本点个数为,所以P(B)==.因为A∩B包含的样本点有6×6×5-5×5=155(个),所以P(A∩B)=,故P(A|B)==.
7.A　[解析] 记事件A为“此人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病”,事件B为“此人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病”,显然B A,A∩B=B,P(A)=1-0.04=0.96,P(B)=1-0.16=0.84,所以P(B|A)====.故选A.
[点拨] 当条件概率的问题不能使用古典概型解决时,理清事件间的逻辑关系,准确设出事件是非常关键的一步,还要注意事件A,B之间的关系,这将会影响P(A∩B)的计算.
8.AB　[解析] 由条件概率公式P(B|A)=及09.ACD　[解析] 因为甲罐中有3个红球、2个黑球,所以P(A)=,故A正确;P(B)=×+×=,故C正确;因为P(A∩B)=×=,所以P(A|B)===,故D正确;因为P(B|A)===,故B不正确.故选ACD.
10.　[解析] 因为P(B∩A)==,P(A)=1-=,所以P(B|A)==.
11.　[解析] 用4种颜色对3个格子涂色,相邻的2个格子颜色不同包含4×3×3=36(个)样本点,3个格子的颜色均不相同包含4×3×2=24(个)样本点,则P(B|A)==.
12.　　[解析] 方法一:抛掷红、蓝两颗质地均匀的骰子共包含6×6=36(个)样本点,事件A包含的样本点个数为6×2=12,所以P(A)==,事件B包含的样本点有(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10个,所以P(B)==,事件A∩B包含的样本点个数为6,所以P(A∩B)==.由条件概率公式得P(B|A)===,P(A|B)===.
方法二:由题得n(A)=6×2=12,n(B)=10,n(A∩B)=6,所以P(B|A)===,P(A|B)===.
13.解:(1)记4名男生为A(甲),B,C,D,2名女生为a,b(乙),
从6名成员中挑选2人包含的样本点有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共有15个,
记“男生甲被选中”为事件M,则M包含的样本点有AB,AC,AD,Aa,Ab,共有5个,故P(M)==.
(2)记“女生乙被选中”为事件N,则M∩N表示男生甲和女生乙被选中,M∩N包含的样本点共有1个,故P(M∩N)=,
由(1)知P(M)=,故P(N|M)==.
(3)记“选中的2人中有1男1女”为事件S,则事件S包含的样本点有8个,所以P(S)=,S∩N包含的样本点有4个,所以P(S∩N)=,
故P(N|S)==.
14.解:设事件C为“取出的数不大于50”,事件A为“取出的数是2的倍数”,事件B为“取出的数是3的倍数”.
则所求概率为P((A∪B)|C)=P(A|C)+P(B|C)-P((A∩B)|C)=+-=2×=.
15.A　[解析] 设黑球有x(016.解:设事件A为“其中一瓶是蓝色墨水”,事件B为“其中一瓶是红色墨水”,事件C为“其中一瓶是黑色墨水”,事件D为“其中一瓶不是蓝色墨水”,
则P(A)==,P(A∩B)==,P(A∩C)==,故P(D|A)=P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.