4.1.2 乘法公式与全概率公式 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二

4.1.2　乘法公式与全概率公式
一、选择题
1.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产8 nm规格的芯片.现有25块该规格的芯片,其中由甲、乙、丙生产的芯片数量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8,0.8,0.7,则从这25块芯片中随机抽取一块,该芯片为优质品的概率是 (　 )
A.0.78 B.0.76
C.0.64 D.0.58
2.某种病毒使人患病的概率为0.03,已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.87,则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 (　 )
A. B.0.9
C.0.026 1 D.0.251
3.[2023·江苏常州高二期中] 现有两个袋子,第一个袋子中有2个红球和3个黑球,第二个袋子中有1个红球和3个黑球.随机选择一个袋子,然后从中随机摸出2个球,则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
4.[2023·福建龙岩高二期末] 算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态,自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值,例如,个位拨动一粒上珠至梁上,十位未拨动,百位拨动一粒下珠至梁上,表示数字105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上,个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上,其他位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”,事件B=“表示的四位数大于5050”,则P(B|A)= (　 )
A. B.
C. D.
5.学校有A,B两个餐厅,如果王同学早餐在A餐厅用餐,那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是,如果他早餐在B餐厅用餐,那么他午餐在A餐厅用餐的概率是,若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是,那么他午餐在B餐厅用餐的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
6.[2023·云南大理高二期中] “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,若小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;若小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
7.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,现有一辆车中途停车修理,则该车是货车的概率是 (　 )
A.0.6 B.0.7
C.0.8 D.0.9
8.(多选题)[2023·辽宁抚顺高二期中] 已知A,B为两个随机事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是 (　 )
A.若P(B|A)=P(B),则P(A|B)=P(A)
B.P(A|B)+P(|B)=0
C.若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
D.当P(AB)>0时,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
9.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中有40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中有18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中有60%表现出症状S,假设只有患疾病D1,D2,D3的病人才会表现出症状S,则 (　 )
A.任意一个人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
10.[2024·云南昆明一中高二月考] 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化,现假设人们经分析估计利率下调的概率为0.75,利率不变的概率为0.25.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为0.8,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为0.3,则该支股票价格将上涨的概率为　　　　.
11.小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为　　　　.
12.经统计,某城市肥胖者占10%,中等体型者占82%,消瘦者占8%.已知肥胖者患高血压的概率为0.2,中等体型者患高血压的概率为0.1,消瘦者患高血压的概率为0.05,则该城市居民患高血压的概率为　　　　;若该城市有一居民患有高血压,那么该居民是肥胖者的概率是　　　　(保留三位有效数字).
三、解答题
13.[2024·山东潍坊高二期末] 现有两台车床加工同一型号的零件,第一台车床加工的零件次品率为6%,第二台车床加工的零件次品率为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第一台车床加工的零件数与第二台车床加工的零件数之比为2∶3,从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率;
(2)已知这个零件是次品,求它是第一台车床加工的概率.
14.同一种产品由甲、乙、丙三个工厂供应,已知甲厂、乙厂、丙厂产品的正品率分别为0.95,0.9,0.8,甲厂、乙厂、丙厂的产品数量之比为2∶3∶5,将三个工厂的产品混合在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;
(2)现取到一件产品为正品,则它由甲、乙、丙三个工厂中哪个工厂生产的可能性最大
★15.[2024·山东德州高二期末] 在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将箱子关闭,即只有主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱,若用Ai表示i号箱有奖品(i=1,2,3,4),用Bi表示主持人打开i号箱子(i=2,3,4),则P(B2|A3)=　　　　,P(B2)=　　　　.
16.设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球(除颜色外完全相同).
(1)有放回地摸球三次,每次摸1个球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　;
(2)不放回地摸球三次,每次摸1个球,则第三次才摸到白球的概率为　　　　.
4.1.2　乘法公式与全概率公式
1.B　[解析] 设事件A为“抽取的芯片为优质品”,则P(A)=×0.8+×0.8+×0.7=0.2×0.8+0.4×0.8+0.4×0.7=0.76,所以该芯片为优质品的概率为0.76.故选B.
2.C　[解析] 设事件A为“血检呈阳性”,事件B为“患该种疾病”,依题意知P(B)=0.03,P(A|B)=0.87,所以P(AB)=P(B)P(A|B)=0.03×0.87=0.026 1.故选C.
3.C　[解析] 设“选到第一个袋子”为事件A1,“选到第二个袋子”为事件A2,“随机摸出2个球,恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件B,则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)==,P(B|A2)==,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.故选C.
4.A　[解析] 千位有1,5两种选择,百位、十位、个位有0,1,5三种选择,要使表示的四位数为偶数,则个位应该是0,可得P(A)=,要使表示的四位数为偶数且大于5050,则千位是5,百位应该是1或5,个位是0,可得P(AB)=××=,故P(B|A)===.故选A.
5.A　[解析] 设事件A1为“王同学早餐在A餐厅用餐”,事件B1为“王同学早餐在B餐厅用餐”,事件A2为“王同学午餐在A餐厅用餐”,事件B2为“王同学午餐在B餐厅用餐”.易知P(A1)+P(B1)=1,根据题意得P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,由全概率公式可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=,则P(B2)=1-=.故选A.
6.D　[解析] 设事件A为“小孩诚实”,事件B为“小孩说谎”,则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.5,P(A)=0.9,P()=0.1,则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,P(B)=P()P(B|)=0.1×0.5=0.05,故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,故P(A|B)===.故选D.
7.C　[解析] 设事件B为“该车中途停车修理”,事件A1为“该车是货车”,事件A2为“该车是客车”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得P(A1|B)===0.8.故选C.
8.ACD　[解析] 若P(B|A)==P(B),则=P(A)=P(A|B),故A正确;P(A|B)+P(|B)===1,故B错误;若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),故C正确;因为P(AB)>0,所以P(A)≥P(AB)>0,P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)××=P(ABC),故D正确.故选ACD.
9.ABC　[解析] 设事件D1,D2,D3分别表示一个人患有疾病D1,D2,D3,事件S表示病人出现症状S,则P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6.由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02,故A正确;由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,故B正确;由贝叶斯公式得P(D2|S)===0.45,故C正确;由贝叶斯公式得P(D3|S)===0.15,故D错误.故选ABC.
10.0.675　[解析] 记“利率下调”为事件A,“该支股票价格上涨”为事件C,则“利率不变”为事件,由题意知,P(A)=0.75,P()=0.25,P(C|A)=0.8,P(C|)=0.3,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P()P(C|)=0.675.
11.　[解析] 记事件A为“第1球投进”,事件B为“第2球投进”,则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
12.0.106　 0.189　[解析] 设事件A为“患高血压”,事件B1为“肥胖者”,事件B2为“中等体型者”,事件B3为“消瘦者”,根据题意得P(B1)=10%,P(B2)=82%,P(B3)=8%,且P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.1,P(A|B3)=0.05.由全概率公式有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.106,所以该城市居民患高血压的概率为0.106.由贝叶斯公式得P(B1|A)==≈0.189,所以该居民是肥胖者的概率是0.189.
13.解:(1)设事件A1为“第一台车床加工的零件”,事件A2为“第二台车床加工的零件”,事件B为“这个零件是次品”,
由题意可得P(A1)==0.4,P(A2)==0.6,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=0.05,
由全概率公式可得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.06+0.6×0.05=0.054.
(2)已知这个零件是次品,它是第一台车床加工的概率为P(A1|B)====.
14.解:设事件A表示取到的产品为正品,事件B1,B2,B3分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产.
由已知得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
(1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)==≈0.221,
P(B2|A)==≈0.314,
P(B3|A)==≈0.465,
则P(B3|A)>P(B2|A)>P(B1|A),故这件产品由丙厂生产的可能性最大.
15.　　[解析] 若奖品在3号箱里,则主持人只能打开2,4号箱,故P(B2|A3)=.由题得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=.若奖品在1号箱里,则主持人可打开2,3,4号箱,故P(B2|A1)=;若奖品在2号箱里,则主持人打开2号箱的概率为0,故P(B2|A2)=0;若奖品在3号箱里,则主持人只能打开2,4号箱,故P(B2|A3)=;若奖品在4号箱里,则主持人只能打开2,3号箱,故P(B2|A4)=.由全概率公式可得P(B2)=P(Ai)·P(B2|Ai)=×=.
[易错] 利用全概率公式可将一个复杂事件的概率转化为在不同情况下发生简单事件的概率的求和问题,需要注意的是这些简单事件是互斥的.
16.(1)　(2)　[解析] 设事件A为“第一次未摸到白球”,事件B为“第二次未摸到白球”,事件C为“第三次摸到白球”,则事件“第三次才摸到白球”为ABC.
(1)由题知P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,
则P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=.
(2)由题知P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,
则P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=.