4.2.1 随机变量及其与事件的联系 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二

4.2　随机变量
4.2.1　随机变量及其与事件的联系
一、选择题
1.袋中有3个白球和5个黑球,从中任取2个,则可以作为随机变量的是 (　 )
A.至少取到1个白球
B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球
D.取到的球的个数
2.先后抛掷一个骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值范围是 (　 )
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
3.袋中有除颜色外完全相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球(不放回),直到取出的球是白色为止,记取球停止时取到的红球个数为随机变量X,则表示“第5次取到白球”的事件为 (　 )
A.X=3 B.X=4
C.X=5 D.X=4或5
4.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,用X表示取出的篮球的最大号码,则“X=8”表示的试验结果的种数为 (　 )
A.21 B.7
C.24 D.56
5.[2023·陕西榆林神木中学高二月考] 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有三道抢答题,规定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值之和是 (　 )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.下列叙述中是离散型随机变量的为 (　 )
A.将一枚质地均匀的硬币抛掷五次,出现正面和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球和6个红球,任取2个,取得1个红球的可能性
7.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中mA.a+b B.1-(a+b)
C.1-(a-b) D.a-b
8.(多选题)已知X是一个离散型随机变量,则下列说法中正确的是 (　 )
A.X取每一个可能值的概率都是非负数
B.X取所有可能值的概率之和为1
C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
9.(多选题)已知随机变量X的取值范围为{0,1,2},且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=a.若随机变量Y满足Y=3X-1,则下列说法正确的是 (　 )
A.a= B.P(X>1)=
C.P(Y=2)= D.P(Y<2)=0
二、填空题
10.已知X,Y均为离散型随机变量,且X=2Y,若X的取值范围为{0,2,4},则Y的取值范围为　　　　.
11.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用随机变量X表示所选3人中女生的人数,则“X≤1”表示　　　　　　　　　　.
12.[2023·福建长乐二中高二月考] 将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁,其中只有1把钥匙能打开锁,依次试验,打不开锁的钥匙扔掉,直到找到能打开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为　　　　.
三、解答题
13.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分η的取值范围,并判定η的随机变量类型.
14.写出下列随机变量的取值范围,并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果.
(1)在10件产品中有2件是次品,8件是正品,任取3件,取到正品的件数ξ;
(2)在10件产品中有2件次品,8件正品,每次取1件,取后不放回,直到取出2件次品为止,抽取的次数ξ;
(3)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取1件,取后放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数ξ;
(4)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取1件,取后放回,共取5次,取到正品的件数ξ.
15.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲正确回答这三个问题的题数X的取值范围是　　　　,选手甲回答这三个问题的总得分Y的取值范围是　　　　.
16.某校数学期末考试中有8道单项选择题,满分40分,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,评分标准规定:答对得5分,不答或者答错得0分.某考生每道选择题都选出了一个答案,能确定其中有4道题的答案是正确的,而其余4道题中,有1道题可以排除2个错误选项,有2道题都能排除1个错误选项,还有1道题因题意理解不清,只能随机猜测.
(1)求该考生单项选择题得40分的概率;
(2)该考生单项选择题得多少分的概率最大
4.2　随机变量
4.2.1　随机变量及其与事件的联系
1.B　[解析] 根据随机变量的定义知,选项B是随机变量,其可能取值为0,1,2,其他三个选项均不能作为随机变量.故选B.
2.D　[解析] 因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和,所以ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故ξ的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},故选D.
3.B　[解析] 从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白色为止,则“第5次取到白球”表示前面4次均取到红球,故可表示为X=4.
4.A　[解析] 由题知“X=8”表示3个篮球中有1个篮球的编号是8,另外2个从剩余7个篮球中任选,有=21(种)选法,即“X=8”表示的试验结果有21种.故选A.
5.C　[解析] 若甲抢到一道题但答错,乙抢到两道题都答错,则X=-1;若甲没抢到题,乙抢到三道题但答错两道题或全答错,或甲抢到两道题,答题结果为一对一错,乙抢到一道题但答错,则X=0;若甲抢到一道题并答对,乙抢到两道题,答题结果为一对一错或全错,或甲抢到三道题,答题结果为两对一错,则X=1;若甲抢到两道题且全答对,则X=2;若甲抢到三道题且全答对,则X=3.故X的所有可能取值之和为-1+0+1+2+3=5.故选C.
6.C　[解析] 对于A,抛掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果,则抛掷五次出现正面和反面向上的次数之和为5,是常量,A错误;对于B,等出租车的时间是随机变量,但无法一一列出,不是离散型随机变量,B错误;对于C,连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个,是离散型随机变量,C正确;对于D,事件发生的可能性不是随机变量,D错误.故选C.
7.B　[解析] P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ8.ABC　[解析] 对于A选项,X取每一个可能值的概率是非负数,故A选项正确;对于B选项,X取所有可能值的概率之和为1,故B选项正确;对于C选项,X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和,故C选项正确;对于D选项,X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和,故D选项错误.故选ABC.
9.AC　[解析] 由题可知,++a=1,解得a=,故A正确;P(X>1)=P(X=2)=,故B错误;P(Y=2)=P(X=1)=,故C正确;P(Y<2)=P(X<1)=P(X=0)=,故D错误.故选AC.
10.{0,1,2}　[解析] 因为X=2Y,所以Y=X,又X的取值范围为{0,2,4},所以Y的取值范围为{0,1,2}.
11.所选3人中至多有1名女生　[解析] “X≤1”包含“X=1”和“X=0”两种情况,故“X≤1”表示所选3人中至多有1名女生.
12.3　[解析] 由于是依次试验,因此可能前3次都打不开锁,则剩下的最后一把钥匙一定能打开锁,所以试验次数X的最大可能取值为3.
13.解:(1)
ξ 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球,2个黑球 取得2个白球,1个黑球 取得3个白球
(2)由题意可得η=5ξ+6,因为ξ的取值范围为{0,1,2,3},所以η的取值范围为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.
14.解:(1)ξ的取值范围为{1,2,3},ξ=k(k=1,2,3)表示取到k件正品.
(2)ξ的取值范围为{2,3,4,…,10},ξ=k(k=2,3,…,10)表示取了k次,第k次取得次品,前(k-1)次只取得1件次品.
(3)ξ的取值范围为{2,3,4,…},ξ=k(k=2,3,4,…)表示取了k次,前(k-1)次取得1件次品,第k次取得次品.
(4)ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5},ξ=k(k=0,1,2,3,4,5)表示抽取5次共取得k件正品.
15.{3,2,1,0}　{300,100,-100,-300}　[解析] 易知X的取值范围是{3,2,1,0},相应得分为300分,100分,-100分,-300分,因此甲回答这三个问题的总得分Y的取值范围为{300,100,-100,-300}.
16.解:(1)由题设知,在其余4道题中,有1道题答对的概率为,有2道题答对的概率为,还有1道题答对的概率为,所以该考生单项选择题得40分的概率为×××=.
(2)设该考生单项选择题的得分为X,则X的取值范围为{20,25,30,35,40}.依题意得,P(X=20)=×××=,P(X=25)=×××+2××××+×××=,同理可得P(X=30)=,P(X=35)=,P(X=40)=,
因为P(X=25)>P(X=30)>P(X=20)>P(X=35)>P(X=40),所以该考生单项选择题得25分的概率最大