4.2.2 离散型随机变量的分布列 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二

4.2.2　离散型随机变量的分布列
一、选择题
1.[2023·云南保山高二期中] 已知X是一个离散型随机变量,其分布列　　　　　 　　　　　 　　　　　
X 2 3 4
P 1-2q 2q2
则q等于 (　 )
A.1 B.1-
C. D.1+
2.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.6,那么 (　 )
A.n=5 B.n=4
C.n=10 D.n=9
3.随机变量X的分布列如下表所示,
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P(X≤2)= (　 )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.[2024·山东德州高二期末] 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据用x,y(x,y∈N)代替,X的分布列如下表所示,
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10
则P= (　 )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
5.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3),则P= (　 )
A. B. C. D.
6.已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P= (　 )
A. B. C. D.
7.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示直至抽到中奖彩票时抽奖的次数,则P(X=3)= (　 )
A. B. C. D.
8.(多选题)[2023·河南周口高二期中] 已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列说法正确的是 (　 )
A.m+n=0.7
B.若m=0.3,则P(X>3)=0.5
C.若m=0.9,则n=-0.2
D.P(X=1)=2P(X=6)
9.(多选题)设随机变量ξ的概率分布为P=ak(k=1,2,3,4,5),则 (　 )
A.15a=1
B.P=
C.P=
D.P(ξ=1)=
二、填空题
10.已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则P=　　　　.
11.已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|X-2|=1)=　　　　.
X 1 2 3 4
P m
12.若随机变量η的分布列如下:
η -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(η三、解答题
13.某单位为丰富员工的业余生活,利用周末开展趣味野外拉练,此次拉练共分A,B,C三大类,其中A类有3个项目,每项需花费2小时,B类有3个项目,每项需花费3小时,C类有2个项目,每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目,每个项目的选择机会均等.
(1)求小张在三类中各选1个项目的概率;
(2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时,求X的分布列.
14.某环保知识竞赛共4道多选题,评分标准是每道题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分.每道多选题共有4个选项,正确答案为2项或3项.已知正确答案是“选两项”和“选三项”的概率均为.现有学生甲、乙两人对这4道多选题完全没有思路,只能靠猜.
(1)已知某道题的正确答案是“选两项”,求学生甲不得0分的概率;
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,试分别写出甲、乙两名学生的得分的分布列.
15.在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子1只1只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数,则P(ξ≥2)=　　　　.
16.甲、乙两人同时竞聘某公司的岗位,采取三局两胜制进行比赛,已知甲每局比赛获胜的概率均为,且每局比赛都分出了胜负.
(1)求比赛结束时乙获胜的概率;
(2)比赛结束时,记甲获胜的局数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
4.2.2　离散型随机变量的分布列
1.C　[解析] 依题意得+1-2q+2q2=2q2-2q+=1,即4q2-4q+1=(2q-1)2=0,解得q=.故选C.
2.A　[解析] P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++==0.6,解得n=5.故选A.
3.C　[解析] 由题知0.1+m+0.3+2m=1,解得m=0.2,所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3.故选C.
4.B　[解析] 由题意得0.21+0.20+0.05++0.10+0.10++0.10=1,化简得10x+y=24,又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4,所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B.
5.A　[解析] 由题意得,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=m+2m+3m=1,解得m=,所以P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=+×2=.故选A.
6.D　[解析] 由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=+++=1,解得a=,故P=P(X=1)+P(X=2)=+=.故选D.
7.D　[解析] “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票,第3次抽到中奖彩票,故P(X=3)===.故选D.
8.ABD　[解析] 对于A,由分布列的性质,可得0.2+m+n+0.1=1,则m+n=0.7,故A正确;对于B,若m=0.3,则n=0.4,所以P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.4+0.1=0.5,故B正确;对于C,由概率的定义及分布列的相关性质可知0.7≥m≥0,0.7≥n≥0,故C不正确;对于D,由已知得P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,所以P(X=1)=2P(X=6),故D正确.故选ABD.
9.ABC　[解析] ∵随机变量ξ的概率分布为P=ak(k=1,2,3,4,5),∴P+P+P+P+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;P=P=3×=,故B正确;P=P+P=+2×=,故C正确;P(ξ=1)=5×=≠,故D错误.故选ABC.
10.　[解析] 由题意得随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=,∴P=P+P=+=.
11.　[解析] 根据题意得++m+=1,解得m=.由|X-2|=1得X=3或X=1,故P(|X-2|=1)=+=.
12.(1,2]　[解析] 由离散型随机变量η的分布列知,P(η<-1)=0.1,P(η<0)=0.3,
P(η<1)=0.5,P(η<2)=0.8,则当P(η13.解:(1)记事件M为“在三类中各选1个项目”,则P(M)==,所以小张在三类中各选1个项目的概率为.
(2)由题知X的取值范围为{4,5,6,7,8,9},
则P(X=4)==,P(X=5)==,
P(X=6)==,P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==,所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
14.解:(1)在某道题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的情况有两种:
①只选一个正确选项,即得2分的概率为P1==;
②选两个正确选项,即得5分的概率为P2==.
所以在某道题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的概率P=P1+P2=+=.
(2)设学生甲的得分为X,则X的取值范围为{0,2},
P(X=0)=×+×=,P(X=2)=×+×=,
故学生甲的得分的分布列为
X 0 2
P
设学生乙的得分为Y,则Y的取值范围为{0,2,5},
P(Y=2)=×=,P(Y=5)=×=,P(Y=0)=1--=,故学生乙的得分的分布列为
Y 0 2 5
P
15.　[解析] 根据题意得,ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6},只考虑飞出的2只苍蝇,记“笼内还剩下k只果蝇”为事件Ak(k=0,1,2,3,4,5,6),当事件Ak发生时,共飞走(8-k)只蝇子,第(8-k)只飞出的是苍蝇,且在前(7-k)只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以P(Ak)==(k=0,1,2,3,4,5,6),所以P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-P(A0)-P(A1)=1--= .
16.解:(1)比赛结束时,乙获胜有三种情况:
①第一局甲胜,第二局乙胜,第三局乙胜;②第一局乙胜,第二局甲胜,第三局乙胜;③第一局乙胜,第二局乙胜.
故比赛结束时乙获胜的概率P=××+××+×=.
(2)由题意可得,X的取值范围为{0,1,2},
P(X=0)==,
P(X=1)=××+××=,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=,
故X的分布列为
X 0 1 2
P