第2课时 超几何分布
一、选择题
1.[2024·广东深圳外国语学校高二期末] 一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中一次性任取3个球,则至少含有1个黑球的概率是 ( )
A. B.
C. D.
2.10个元件中只有3个是A种型号的,5个人购买这种元件,每人只买1个,至少有1人买到A种型号元件的概率是 ( )
A. B.
C. D.
3.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)=( )
A. B. C. D.
4.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选3人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为X,男生的人数为Y,则P(X=2)+P(Y=2)=( )
A.
B.
C.
D.
5.[2023·广东东莞高二期末] 一个盒子里装有大小材质均相同的10个黑球,12个红球,3个白球,从中任取3个,将其中白球的个数记为X,则等于的是 ( )
A.P(X>2) B.P(0
C.P(X≤1) D.P(X>1)
6.某工厂为赶上电商大促,甲车间连夜生产了10件产品,其中有6件正品和4件次品,若从中任意抽取4件,则抽到的正品数比次品数少的概率为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2023·江苏淮安高二期末] 《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源,其中河图排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至多有1个阴数的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)关于超几何分布,下列说法正确的是 ( )
A.超几何分布模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N,n,M
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
9.(多选题)[2023·山东济宁高二期中] 某单位推出了10道有关消防的测试题供职工学习和测试,乙能答对其中的6道题,规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道,答对一题加10分,答错一题或不答减5分,若最终得分为负分则记为0分,则下列说法正确的是( )
A.乙得40分的概率是
B.乙得25分的概率是
C.乙得10分的概率是
D.乙得0分的概率是
二、填空题
10.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过了保质期的饮料的概率为 .(结果用最简分数表示)
11.[2023·天津河西区高二期中] 某校高三(1)班第一小组有男生4人,女生2人,现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习,则恰有1名女生参加劳动学习的概率为 ;在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为 .
12.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为 .
三、解答题
13.袋中有大小、形状完全相同的4个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回,求恰好取到1个黑球的概率;
(2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列.
14.[2023·陕西汉中高二期末] 为了解决某偏远地区教师资源匮乏的问题,某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共分3批次进行,每次支教需要同时派送2名教师,且每次派送人员均从这5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中,2人有支教经验,3人没有支教经验.
(1)求5名优秀教师中的“甲”在这3批次支教活动中恰有2次被抽选到的概率;
(2)求第一批次派送的教师中无支教经验的教师人数X的分布列.
15.口袋中有大小、质地相同的黑色小球n个,红、白、蓝色的小球各1个,从中任取4个小球,ξ表示当n=3时取出黑球的个数,η表示当n=4时取出黑球的个数.则下列结论正确的是 ( )
A.E(ξ)B.E(ξ)>E(η),D(ξ)C.E(ξ)D(η)
D.E(ξ)>E(η),D(ξ)>D(η)
16.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,若这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,则n的最小值为 .
第2课时 超几何分布
1.B [解析] 根据题意得,至少含有1个黑球的概率是=.故选B.
2.D [解析] 由题意得,所求概率为1-=.故选D.
3.D [解析] 因为P(X=0)==,P(X=1)==,所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=.故选D.
4.C [解析] 由题得P(X=2)=,P(Y=2)=,所以P(X=2)+P(Y=2)=.故选C.
5.C [解析] 由题得,取出的3个球中没有白球的概率为,取出的3个球中有1个白球的概率为,所以P(X≤1)=.故选C.
6.C [解析] 由题得,抽到的正品数比次品数少的概率P===.故选C.
7.A [解析] 由题意知,1,3,5,7,9为阳数,2,4,6,8,10为阴数.取出的3个数中有0个阴数的概率为=,取出的3个数中有1个阴数的概率为=.故取出的3个数中至多有1个阴数的概率P=+=.故选A.
8.ACD [解析] 由超几何分布的定义,超几何模型为不放回抽样,故A正确;超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品,其中一类有M(M9.ABC [解析] 设乙的得分为X,则X的取值范围为{0,10,25,40},所以P(X=0)==,P(X=10)==,P(X=25)==,P(X=40)==.故选ABC.
10. [解析] 从这30瓶饮料中任取2瓶,设“至少取到1瓶已过了保质期的饮料”为事件A,则P(A)=+=.
11. [解析] 由题得,恰有1名女生参加劳动学习的概率为=;至少有1名女生参加劳动学习的概率为=,所以在至少有1名女生参加劳动学习的条件下,恰有1名女生参加劳动学习的概率为÷=.
12.5 [解析] 设有x个白球.因为从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,所以==1-,解得x=5或x=14(舍去).
13.解:(1)有放回地抽取3次,每次取到黑球的概率为=,
设“连续抽取3次,恰有1次取到黑球”为事件A,
则P(A)=××=3××=.
(2)由题得,X的取值范围是{0,1,2},
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
14.解:(1)5名优秀教师中的“甲”在每批次支教活动中被抽选到的概率均为=,则在这3批次支教活动中“甲”恰有2次被抽选到的概率P1=××=.
(2)X的取值范围为{0,1,2},则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为
X 0 1 2
P
15.A [解析] 当n=3时,ξ的取值范围为{1,2,3},P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴E(ξ)=1×+2×+3×=2,D(ξ)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.当n=4时,η的取值范围为{1,2,3,4},P(η=1)==,P(η=2)==,P(η=3)==,P(η=4)==,∴E(η)=1×+2×+3×+4×=,D(η)=×+×+×+×=.∴E(ξ)16.15 [解析] 用X表示取出的彩票中中奖票数,则P(X≥1)=+>0.5,即n2-99n+25×49<0.当n=14时,142-99×14+25×49=35>0.当n=15时,152-99×15+25×49=-35<0.当n=50时,502-99×50+25×49=-1225<0.故50≥n≥15,则n的最小值为15.4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
一、选择题
1.已知X~B,则P= ( )
A. B.
C. D.
2.某一次试验中事件A发生的概率为p(0A.1-pk B.(1-p)kpn-k
C.(1-p)k D.(1-p)kpn-k
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,若两枚硬币都正面向上,就说这次试验成功,则3次试验中至少有2次成功的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4.数轴上一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1秒向左或向右移动一个单位,已知向右移动的概率为,向左移动的概率为,共移动6次,则质点位于2的位置的概率是 ( )
A.× B.×
C.× D.×
5.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙两人进行比赛,每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,且各局比赛互不影响.若采取“5局3胜制”,则下列比赛结果概率最大的是 ( )
A.乙3∶2赢得比赛
B.甲3∶0赢得比赛
C.甲3∶1赢得比赛
D.甲3∶2赢得比赛
7.一次掷两枚骰子,若两枚骰子点数之和为4或5或6,则称这是一次成功试验.现进行四次试验,则恰出现一次成功试验的概率为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有 ( )
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次,其中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手射击一次击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取的方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取的方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M9.(多选题)袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球,则下列结论正确的是 ( )
A.从中任取3个球,恰有1个红球的概率是
B.从中有放回地取球3次,每次任取1球,恰好取到2个白球的概率为
C.从中不放回地取球2次,每次任取1球,若第1次已取到了红球,则第2次取到红球的概率为
D.从中有放回地取球3次,每次任取1球,则至少有1次取到白球的概率为
二、填空题
10.如图,高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型,从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落碰到下一排钉子时,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两钉之间的间隙,又碰到下一排钉子,如此继续下去,在第四层下面的5个出口处各放置一个容器接住小球,那么小球落入4号容器的概率是 .
11.某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,给出下列说法:
①他第三次击中目标的概率为0.9;
②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1;
③他至少击中目标1次的概率为1-0.14.
其中正确说法的序号为 .
12.某石雕厂为严把质量关,对制作的每件石雕都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件石雕3位行家都认为质量过关,则该石雕质量为优秀级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关时这2位行家都认为质量过关,则该石雕质量为良好级,若第二次质量把关时这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该石雕需返工重做;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该石雕需返工重做.已知每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为,且每位行家认为石雕质量是否过关相互独立.则一件石雕质量为优秀级的概率为 ;一件石雕质量为良好级的概率为 .
三、解答题
13.某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目A,B,C的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
14.[2023·云南昆明一中期末] 2022年,某省启动高考综合改革,改革后,不再分文理科,改为采用“3+1+2”模式,“3”是语文、数学、英语三科必考,“1”是在物理与历史两科中选择一科,“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学,给出三种可供选择的组合进行模拟选课,其中A组合:物理、化学、生物,B组合:历史、政治、地理,C组合:物理、化学、地理.根据选课数据得到,选择A组合的概率为,选择B组合的概率为,选择C组合的概率为,甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.
(1)求这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率.
(2)用X表示这三人中选择含地理的组合的人数,求X的分布列.
15.已知随机变量X~B,若P(X=k)的值最大,则k= ( )
A.6或7 B.7或8
C.5或6 D.7
16.随着科技的不断发展,人工智能技术的应用领域也更加广泛,它将会成为改变人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件,它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对该交互软件进行测试时,若输入的问题没有语法错误,则软件正确应答的概率为80%;若出现语法错误,则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率;
(2)在某次测试中,输入了n(n≥6)个问题,每个问题能否被软件正确应答相互独立,记软件正确应答的个数为X,记X=k(k=0,1,…,n)的概率为P(X=k),则n为何值时P(X=6)的值最大
4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
1.C [解析] 因为X~B,所以P=P(X=2)+P(X=3)=××+××=.故选C.
2.D [解析] 在n次独立重复试验中,事件发生的次数服从参数为n,1-p的二项分布,故所求概率为(1-p)kpn-k.故选D.
3.B [解析] 在一次试验中,两枚硬币都正面向上的概率为×=,设X为3次试验中成功的次数,则X~B,故所求概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=××+×=.故选B.
4.C [解析] 设向左移动的次数为X,则X~B.从0移动到2且移动6次,则需向右移动4次,向左移动2次,故质点位于2的位置的概率为P(X=2)=×.故选C.
5.A [解析] 设事件A在1次试验中发生的概率为p(06.C [解析] 若乙3∶2赢得比赛,则乙前四场赢两场,第五场赢,其概率为P1=×0.62×0.43=0.138 24;同理若甲3∶2赢得比赛,其概率为P2=×0.42×0.63=0.207 36;若甲3∶0赢得比赛,则甲前三场都赢,其概率为P3=0.63=0.216;若甲3∶1赢得比赛,则甲前三场赢两场,第四场赢,其概率为P4=×0.4×0.63=0.259 2.综上可得,概率最大的比赛结果是甲3∶1赢得比赛.故选C.
7.D [解析] 一次掷两枚骰子,两枚骰子点数之和为4的情况有3种,两枚骰子点数之和为5的情况有4种,两枚骰子点数之和为6的情况有5种,则在一次试验中,出现成功试验的概率为P==.进行四次试验,设出现成功试验的次数为X,则X~B,所以进行四次试验,恰出现一次成功试验的概率为P(X=1)=××=.
8.AC [解析] 对于A,设事件A为“抛掷一枚骰子,出现的点数是3的倍数”,则P(A)=,而在n次独立重复试验中,事件A恰好发生了k次(k=0,1,2,…,n)的概率P(ξ=k)=××,符合二项分布的定义,即有ξ~B.对于B,ξ的取值范围是{1,2,3,…},P(ξ=k)=0.9×0.1k-1(k=1,2,3,…),显然不符合二项分布的定义,因此ξ不服从二项分布.C中是有放回地抽取,而D中是无放回地抽取,显然D中n次试验是不独立的,因此D中ξ不服从二项分布,对于C,有ξ~B.故选AC.
9.AC [解析] 对于A,从中任取3个球,恰有1个红球的概率P==,故A正确;对于B,从袋中任取1个球,取到白球的概率为,则取到白球的个数X~B,故恰好取到2个白球的概率P=××=,故B错误;对于C,第1次取到红球,则袋中还剩4个红球、2个白球,故第2次取到红球的概率为=,故C正确;对于D,由B知,P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)
+P(X=3)=××+××+×=,故D错误.故选AC.
10. [解析] 若小球落入4号容器,则在通过的四层中有三层向右,一层向左,因此小球落入4号容器的概率P=××=.
11.①③ [解析] 在n次独立重复试验中,每次试验事件发生的概率都相等,故①正确;恰好击中3次需要看是哪3次击中,所以正确的概率应为×0.93×0.1,故②错误;利用对立事件求解,易知③正确.故正确说法的序号为①③.
12. [解析] ∵每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为,∴每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量过关的概率为.记事件A为“一件石雕质量为优秀级”,则P(A)==.记事件B为“一件石雕质量为良好级”,则P(B)=×××=.
13.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为××=.
(2)每人可被录用的概率均为××+=,X的取值范围为{0,1,2,3},则P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.解:(1)这三位同学恰好有两位同学选择A组合的概率P1=××=,这三位同学恰好有两位同学选择B组合的概率P2=××=,这三位同学恰好有两位同学选择C组合的概率P3=××=,
所以这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率P=P1+P2+P3=+×2=.
(2)选择含地理的组合的概率为+=.
由题意知X~B,
所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
15.A [解析] 因为随机变量X~B,所以P(X=k)=,由==>1,解得k<6,当k=6时,可得
==1,所以P(X=7)=P(X=6),当k>6时,可得P(X=k+1)16.解:(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“正确应答”为事件B,由题意可知P()=0.1,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.3,则P(A)=1-P()=0.9,
所以P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A)=0.75.
(2)由(1)可知P(B)=0.75=,
则X~B,所以P(X=6)=×=×.设an=,则==.令>1,解得n<7,可知当n≤6时,有an+1>an;
令<1,解得n>7,可知当n≥8时,有an+1令=1,解得n=7,则a8=a7.故当n=7或n=8时,an最大,即n为7或8时,P(X=6)的值最大.