4.2.5　正态分布 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二

4.2.5　正态分布
一、选择题
1.已知正态曲线对应的函数为φ(x)=,x∈R,则μ,σ的值分别是 (　 )
A.0和4 B.0和2
C.0和8 D.0和
2.随机变量X1,X2的正态曲线如图所示,已知X1对应的参数为μ1,σ1,X2对应的参数为μ2,σ2,则 (　 )
A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
3.[2024·河南焦作高二期末] 已知随机变量X~N(10,σ2),且P(X<11)=0.7,则P(10≤X<11)= (　 )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.设随机变量X的正态曲线关于直线x=5对称,若正态曲线与x轴在区间(5,9)内所围面积为0.45,则正态曲线与x轴在区间(1,+∞)内所围面积为 (　 )
A.0.05 B.0.45 C.0.3 D.0.95
5.如图是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态曲线,则下列说法不正确的是(　 )
A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B.P(-1≤X乙≤0)C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好
6.[2024·河南南阳高二期末] 为了检测自动包装线生产的罐装咖啡,检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N*)罐咖啡,并测量其质量(单位:g).由于存在各种不可控制的因素,因此任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差,已知这条包装线在正常状态下,每罐咖啡的质量服从正态分布N(μ,σ2).假设生产状态正常,记X表示每天抽取的k罐咖啡中质量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的罐数,若X的数学期望E(X)>0.030,则k的最小值为(　 )
附:若随机变量Y~N(μ,σ2),则P(μ-3σA.10 B.11 C.12 D.13
7.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量,服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论:若随机变量Y~B(n,p),当n充分大时,二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似地替代,且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了p=时这个结论是成立的,法国数学家、物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数p∈(0,1]都成立,因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次,利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为 (　 )
(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)
A.0.954 B.0.977
C.0.841 D.0.658
8.(多选题)若随机变量X~N(μ1,),Y~N(μ2,), X,Y的正态曲线如图所示,则 (　 )
A.μ1<μ2
B.σ1<σ2
C.P(X≤μ1+σ1)D.P(X≤μ1+σ2)9.(多选题)数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n比较大时,X近似服从正态分布N(μ,σ2),其概率密度函数为φμ,σ(x)=,x∈R.如果X~N(μ,σ2),那么令Z=,则Z~N(0,1).当Z~N(0,1)时,对任意实数x,记Φ(x)=P(ZA.Φ(x)+Φ(-x)=
B.当x>0时,P(-x≤ZC.若随机变量X~N(μ,σ2),则当μ减小,σ增大时,概率P(|X-μ|<σ)保持不变
D.若随机变量X~N(μ,σ2),则当μ,σ都增大时,概率P(|X-μ|<σ)增大
二、填空题
10.[2023·广东深圳高二期末] 某校高二年级男生的身高X(单位:厘米)服从正态分布N(165,52),现随机选择一名本校高二年级男生,则P(17011.已知随机变量X~N(2,22),Y=aX+b,若Y~N(0,1),则a,b的值分别为　　　　　　.
12.某俱乐部计划招收一批9~14岁的青少年参加集训,以选拔运动员,共有10 000名青少年报名参加测试,其测试成绩X(满分100分)服从正态分布N(60,σ2),成绩为90分及以上者可以进入集训队,已知80分及以上的人数为230,则估计进入集训队的人数为　　　　.
附:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ三、解答题
13.某制造商生产的5000根金属棒的长度X近似服从正态分布N(6,σ2),其中恰有114根金属棒的长度不小于6.04.
(1)求σ;
(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95,6.05),那么估计这批金属棒中不合格的金属棒有多少根
附:可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z).
Z 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Φ(Z) 0.864 3 0.884 9 0.903 2 0.919 2 0.933 2
Z 1.6 1.7 1.8 1.9
Φ(Z) 0.945 2 0.955 4 0.964 1 0.971 3
Z 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4
Φ(Z) 0.977 2 0.982 1 0.986 1 0.989 3 0.991 8
Z 2.5 2.6 2.7 2.8
Φ(Z) 0.993 8 0.9953 0.996 5 0.9974
14.李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30 min,样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4.假设坐公交车用时为随机变量X,骑自行车用时为随机变量Y,且随机变量X和随机变量Y对应的曲线都为正态曲线,如图所示.
(1)估计随机变量X,Y的样本均值和标准差.
(2)如果某天有38 min可用,李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
15.(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明“三系法”籼型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)的正态曲线对应的函数为φ(x)=,x∈(-∞,+∞),则下列说法正确的是 (　 )
A.该地水稻的平均株高为100 cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.该地水稻株高在120 cm以上的数量和株高在80 cm以下的数量一样多
D.随机测量一株水稻,其株高(单位:cm)在(80,90)和在(100,110)的可能性一样大
16.在某次大型人才招聘活动中,共有2000人参加笔试,笔试成绩位于区间[70,80),[80,90),[90,100]的人数分别为682,272,46,已知此次笔试满分为100分,且成绩服从正态分布,则笔试成绩的标准差约为　　　　.(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
4.2.5　正态分布
1.B　[解析] φ(x)==, 故μ=0,σ=2.
2.A　[解析] 由两条正态曲线的对称轴的位置可知μ1<μ2,又正态曲线越“瘦”,表示总体的分布越集中,σ越小,所以σ1<σ2.故选A.
3.B　[解析] 由题可得P(10≤X<11)=P(X<11)-P(X<10)=0.7-0.5=0.2.故选B.
4.D　[解析] 由正态曲线的对称性可得,正态曲线与x轴在区间[9,+∞)内所围面积为0.05,所以正态曲线与x轴在区间(-∞,1]内所围面积为0.05,故正态曲线与x轴在区间(1,+∞)内所围面积为0.95.故选D.
5.B　[解析] 由题图得,三种品牌的手表日走时误差的正态曲线的对称轴都是y轴,所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等,所以A中说法正确;P(-1≤X乙≤0)>P(0≤X丙≤1),所以B中说法不正确;因为正态曲线越“瘦”,σ越小,所以σ甲<σ乙<σ丙,所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙,所以C中说法正确;由σ甲<σ乙<σ丙,μ甲=μ乙=μ丙,可得甲品牌手表的质量最好,所以D中说法正确.故选B.
6.B　[解析] 因为P(μ-3σ0.030,解得k>10,因为k∈N*,所以k的最小值为11.故选B.
7.B　[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币2500次,设硬币正面向上的次数为X,则X~B,E(X)=np=2500×=1250,D(X)=np(1-p)=2500××=625.由题得X~N(μ,σ2),且μ=E(X)=1250,σ2=D(X)=625=252,因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,即P(1250-2×25≤X≤1250+2×25)≈0.954,所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为P(X≥1200)=P(X≥1250-2×25)≈+0.5=0.977.故选B.
8.AD　[解析] 由题图知,E(X)D(Y),即μ1<μ2,σ1>σ2,故A正确,B错误;P(X≤μ1+σ1)=+P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1),P(Y≤μ2+σ2)=+P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2),而P(μ1-σ1≤X≤μ1+σ1)=P(μ2-σ2≤Y≤μ2+σ2),则P(X≤μ1+σ1)=P(Y≤μ2+σ2),故C错误;由μ1<μ2,σ1>σ2,得μ1+σ2<μ1+σ1,μ2+σ2<μ2+σ1,因此P(X≤μ1+σ2)9.BC　[解析] 对于A,根据正态曲线的对称性可得Φ(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z0时,P(-x≤Z10.0.135 5　[解析] ∵X~N(165,52),∴μ=165,σ=5,∴P(17011.,-1或-,1　[解析] ∵随机变量X~N(2,22),∴E(X)=2,D(X)=22=4,∴E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1,∴a=,b=-1或a=-,b=1.
12.15　[解析] 由X~N(60,σ2),可知μ=60.因为80分及以上的人数为230,所以P(X≥80)==0.0230,由正态曲线的对称性可得P(4013.解:(1)∵P(X≥6.04)==0.022 8,∴P(X<6.04)=0.977 2,令Z=,则P=P=0.977 2,则Φ=0.977 2,∴=2,故σ=0.02.
(2)由题得P(5.95故估计不合格的金属棒有5000×(1-0.987 6)=62(根).
14.解:(1)随机变量X的样本均值为30,标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,标准差为2.
(2)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由题图可知,随机变量X的正态曲线与x轴在区间(-∞,38]内所围面积小于随机变量Y的正态曲线与x轴在区间(-∞,38]内所围面积,随机变量X的正态曲线与x轴在区间(-∞,34]内所围面积大于随机变量Y的正态曲线与x轴在区间(-∞,34]内所围面积,即P(X≤38)P(Y≤34),所以如果有38 min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34 min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
15.AC　[解析] 由φ(x)=,可得μ=100,σ=10,即均值为100,标准差为10,方差为100,故A正确,B错误;根据正态曲线的对称性可知C正确,D错误.故选AC.
16.10　[解析] 设笔试成绩为X,则X~N(μ,σ2),由70分及以上的人数为682+272+46=1000,得P(X≥70)===P(X≥μ),故μ的值为70.P(X>μ+2σ)=≈0.023,而P(X≥90)==0.023,故μ+2σ=90,故σ===10.