第一章 1.5
A级——基础过关练
1．(多选)给出下列命题，其中是存在量词命题的有( )
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
【答案】ACD
【解析】易知A，C，D为存在量词命题，B为全称量词命题．
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
【答案】B
【解析】A是全称量词命题；B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确；因为＋(－)＝0，所以C为假命题；对于任何一个负数x，都有＜0，所以D错误．故选B．
3．下列命题中：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有≤1．
全称量词命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于任意x∈R，总有≤1，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题，所以全称量词命题有3个．故选D．
4．(2024年德庆期末)已知命题p： x＞1，使3x＋1＞5，则( )
A．命题p的否定为“ x＞1，使3x＋1≤5”
B．命题p的否定为“ x≤1，使3x＋1≤5”
C．命题p的否定为“ x＞1，使3x＋1≤5”
D．命题p的否定为“ x≤1，使3x＋1≤5”
【答案】C
【解析】由题意知命题p： x＞1，使3x＋1＞5为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“ x＞1，使3x＋1≤5”．故选C．
5．(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的有( )
A． p： x∈R，x2＋1＝0 B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题 D．p是假命题， p是真命题
【答案】AC
【解析】因为命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”，且p为真命题，则 p是假命题．故选AC．
6．(多选)(2024年惠州期末)若“ x∈M，x＜0”为真命题，“ x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是( )
A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|0≤x＜3} D．{x|－4＜x＜4}
【答案】AD
【解析】依题意可知M中存在小于0的元素且不存在大于或等于4的元素，则集合{x|x＜1}和{x|－4＜x＜4}均符合题意．故选AD．
7．(2024年高州期末)设命题p： x∈Z，x2≥x，则命题p的否定为________．
【答案】 x∈Z，x2＜x
【解析】因为命题p： x∈Z，x2≥x是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即为 x∈Z，x2＜x．
8．(2024年揭阳期末)已知命题p： x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】命题p： x∈R，x2＋x＋a≠0的否定命题 p为： x∈R，x2＋x＋a＝0，因为命题p是假命题，所以 p为真命题，所以Δ＝12－4a≥0，解得a≤．
9．下列存在量词命题是真命题的序号是__________．
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2＜0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．
【答案】①③④
【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2＜0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④．
10．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，指出其中的量词：
(1)过直线外一点，存在另一条直线与其平行；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解：
(3)存在有理数x，使得＝2．
解：(1)“过直线外一点，存在另一条直线与其平行”是存在量词命题，“存在”是存在量词．
(2)“对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解”是全称量词命题，“所有”是全称量词．
(3)“存在有理数x，使得＝2”是存在量词命题，“存在”是存在量词．
B级——综合运用练
11．已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}
【答案】B
【解析】因为p为假命题，所以 p为真命题，即 x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，解得a≥1，所以a的取值范围是a≥1．故选B．
12．(多选)命题p： x∈[0，1]，2x＋b≤0是假命题，则实数b的值可能是( )
A．－ B．－
C．5 D．－
【答案】BCD
【解析】命题p： x∈[0，1]，2x＋b≤0是假命题，所以它的否定： x∈[0，1]，2x＋b＞0是真命题，所以2＋b＞0，解得b＞－2，所以实数b的值可能是－，5，－．故选BCD．
13．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠ ．
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
解：(1)由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，又B≠ ，所以
解得－1≤m≤1．即m的取值范围是{m|－1≤m≤1}．
(2)由q为真，则A∩B≠ ，
又因为B≠ ，所以
解得－1≤m≤3，所以m的取值范围是{m|－1≤m≤3}．
C级——创新拓展练
14．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为________；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(1) x∈R，x2＋2x＋a≠0 (2){a|a≤1}
【解析】(1)命题“存在x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“ x∈R，x2＋2x＋a≠0”．
(2)存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1．第一章 1.5
A级——基础过关练
1．(多选)给出下列命题，其中是存在量词命题的有( )
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数
2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
3．下列命题中：
①有些自然数是偶数；
②正方形是菱形；
③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有≤1．
全称量词命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．(2024年德庆期末)已知命题p： x＞1，使3x＋1＞5，则( )
A．命题p的否定为“ x＞1，使3x＋1≤5”
B．命题p的否定为“ x≤1，使3x＋1≤5”
C．命题p的否定为“ x＞1，使3x＋1≤5”
D．命题p的否定为“ x≤1，使3x＋1≤5”
5．(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的有( )
A． p： x∈R，x2＋1＝0 B． p： x∈R，x2＋1＝0
C．p是真命题， p是假命题 D．p是假命题， p是真命题
6．(多选)(2024年惠州期末)若“ x∈M，x＜0”为真命题，“ x∈M，x≥4”为假命题，则集合M可以是( )
A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|0≤x＜3} D．{x|－4＜x＜4}
7．(2024年高州期末)设命题p： x∈Z，x2≥x，则命题p的否定为________．
8．(2024年揭阳期末)已知命题p： x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是__________．
9．下列存在量词命题是真命题的序号是__________．
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2＜0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．
10．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，指出其中的量词：
(1)过直线外一点，存在另一条直线与其平行；
(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解：
(3)存在有理数x，使得＝2．
11．已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是( )
A．{a|a＜－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a＞1} D．{a|a≤－1}
12．(多选)命题p： x∈[0，1]，2x＋b≤0是假命题，则实数b的值可能是( )
A．－ B．－
C．5 D．－
13．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠ ．
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
14．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0．
(1)命题p的否定为________；
(2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是__________．
