第二章 2.2
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
2．若0≤x≤6，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
3．当x≥3时，x＋的最小值为( )
A．5 B．4
C． D．
4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A．≥ B．a＋≥2
C．≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
6．“ab＜”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__________．
8．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为__________．
9．(－6≤a≤3)的最大值为__________．
10．已知x＞0，求y＝2－x－的最大值．
11．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．已知y＝x＋(x＞1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__________．
13．设x＞0，求证：x＋≥．
14．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围为__________．第二章 2.2
A级——基础过关练
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．≥ D．x2＋≥2
【答案】D
【解析】若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2．若0≤x≤6，则的最大值为( )
A． B．4
C． D．
【答案】B
【解析】因为0≤x≤6，所以8－x＞0，所以≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故所求最大值为4．
3．当x≥3时，x＋的最小值为( )
A．5 B．4
C． D．
【答案】A
【解析】x＋＝x－1＋＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以t＋＋1≥5，当且仅当t＝2时，等号成立，所以x＋≥5．故选A．
4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有( )
A．≥ B．a＋≥2
C．≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
【答案】CD
【解析】当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥2不成立；因为＝＋≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．
5．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．
6．“ab＜”是“a＞b＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜ a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0 a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．
7．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__________．
【答案】a＝2
【解析】令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2．
8．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为__________．
【答案】0
【解析】y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立．所以函数的最小值为0．
9．(－6≤a≤3)的最大值为__________．
【答案】
【解析】因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知≤＝，当且仅当a＝－时，等号成立．
10．已知x＞0，求y＝2－x－的最大值．
解：∵x＞0，∴x＋≥4．
∴y＝2－≤2－4＝－2．当且仅当x＝(x＞0)，
即x＝2时取等号，y的最大值为－2．
B级——综合运用练
11．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】不等式(x＋y)·≥9对任意正实数x，y恒成立，则(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝1＋a＋2＝(1＋)2≥9，所以≥2，即a≥4，故正实数a的最小值为4．
12．已知y＝x＋(x＞1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__________．
【答案】5
【解析】∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，∴a＝2，b＝3，∴a＋b＝5．
13．设x＞0，求证：x＋≥．
证明：因为x＞0，所以x＋＞0．
所以x＋＝x＋＝x＋＋－≥2－＝．
当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立．
C级——创新拓展练
14．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围为__________．
【答案】a≥
【解析】∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，∴＝≤＝，即的最大值为．又≤a恒成立，故a的取值范围是a≥．
