第二章 2.3
A级——基础过关练
1．已知集合A＝{x|x≤2}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．{－1，2} B．{－1，0，1，2，3}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，3}
2．(多选)下列不等式中是一元二次不等式的有( )
A．(m＋1)x2＞x B．－x2＋5x＋6＞0
C．(x＋a)(x＋a＋1)＜0 D．2x2－x＞2
3．不等式(x＋1)(x－2)＜0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|－2＜x＜1}
4．若不等式x2＋ax＋b＜0(a，b∈R)的解集为{x|2＜x＜5}，则a，b的值为( )
A．a＝－7，b＝10 B．a＝7，b＝－10
C．a＝－7，b＝－10 D．a＝7，b＝10
5．(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的有( )
A．b＋c＝－1
B．方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1
C．不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}
D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}
6．若关于x的不等式mx2－mx－1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．0＜m＜4 B．0≤m＜4
C．－4＜m＜0 D．－4＜m≤0
7．不等式－x2＋5x＞6的解集是 Ｗ．
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的非空解集为{x|1＜x＜m}，则m＝ Ｗ．
9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞3}，则ax2－bx＋c＞0的解集为 Ｗ．
10．解下列不等式：
(1)2x2＋x－3＞0；
(2)－4x2＋4x－1≥0；
(3)－4x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0．
11．关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜1或x＞3}
12．若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝ ；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为 Ｗ．
13．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0．
14．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个正整数，求实数m的取值范围．第二章 2.3
A级——基础过关练
1．已知集合A＝{x|x≤2}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．{－1，2} B．{－1，0，1，2，3}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，3}
【答案】C
【解析】∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈Z}＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3}．又∵A＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}．
2．(多选)下列不等式中是一元二次不等式的有( )
A．(m＋1)x2＞x B．－x2＋5x＋6＞0
C．(x＋a)(x＋a＋1)＜0 D．2x2－x＞2
【答案】BCD
【解析】由一元二次不等式的定义可知B，C，D为一元二次不等式．
3．不等式(x＋1)(x－2)＜0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|－2＜x＜1}
【答案】B
【解析】因为(x＋1)(x－2)＜0，所以或解得－1＜x＜2或x∈ ．综上可得，不等式(x＋1)(x－2)＜0的解集为{x|－1＜x＜2}．
4．若不等式x2＋ax＋b＜0(a，b∈R)的解集为{x|2＜x＜5}，则a，b的值为( )
A．a＝－7，b＝10 B．a＝7，b＝－10
C．a＝－7，b＝－10 D．a＝7，b＝10
【答案】A
【解析】不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜5}，则对应方程x2＋ax＋b＝0的两个根为2和5，即解得a＝－7，b＝10．故选A．
5．(多选)若函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点是A(－2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的有( )
A．b＋c＝－1
B．方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1
C．不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}
D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}
【答案】ABD
【解析】方程x2＋bx＋c＝0的两根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－1，即b＝1，c＝(－2)×1＝－2，所以b＋c＝－1．不等式x2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜－2或x＞1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，所以选项A，B，D正确．故选ABD．
6．若关于x的不等式mx2－mx－1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．0＜m＜4 B．0≤m＜4
C．－4＜m＜0 D．－4＜m≤0
【答案】D
【解析】当m＝0时，mx2－mx－1＝－1＜0恒成立，符合题意；当m≠0时，因为mx2－mx－1＜0的解集为R，所以解得－4＜m＜0，综上，m的取值范围是－4＜m≤0．故选D．
7．不等式－x2＋5x＞6的解集是 Ｗ．
【答案】{x|2＜x＜3}
【解析】不等式－x2＋5x＞6可变形为x2－5x＋6＜0，因式分解为(x－2)(x－3)＜0，解得2＜x＜3．所以不等式－x2＋5x＞6的解集为{x|2＜x＜3}．
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的非空解集为{x|1＜x＜m}，则m＝ Ｗ．
【答案】2
【解析】因为ax2－6x＋a2＜0的解集为{x|1＜x＜m}．所以a＞0且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个实数根．则即1＋m＝．所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，当m＝－3时，a＝m＜0(舍去)，故m＝2．
9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞3}，则ax2－bx＋c＞0的解集为 Ｗ．
【答案】{x|－3＜x＜2}
【解析】关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－2或x＞3}，所以方程ax2＋bx＋c＝0的实数根是－2和3，且a＜0．又因为－＝－2＋3＝1，＝－2×3＝－6，所以b＝－a，c＝－6a，所以ax2－bx＋c＞0可化为ax2＋ax－6a＞0，即x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2．
10．解下列不等式：
(1)2x2＋x－3＞0；
(2)－4x2＋4x－1≥0；
(3)－4x2＋3x－2＜0；
(4)－x2＋3x－5＞0．
解：(1)因为Δ＝12－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2＋x－3＝0有两个不等实数根x1＝1，x2＝－．
又因为二次函数y＝2x2＋x－3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为
．
(2)原不等式可化为(2x－1)2≤0，
所以原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为4x2－3x＋2＞0．
因为Δ＝9－4×4×2＝－23＜0，所以方程4x2－3x＋2＝0无实数根．
又因为二次函数y＝4x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，
Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，
所以方程x2－6x＋10＝0无实数根．
又因为二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，
所以原不等式的解集为 ．
B级——综合运用练
11．关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x|x＞1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞3} B．{x|1＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜3} D．{x|x＜1或x＞3}
【答案】C
【解析】∵关于x的不等式ax－b＜0的解集是{x|x＞1}，∴即b＝a且a＜0，则不等式(ax＋b)(x－3)＞0即为a(x＋1)(x－3)＞0，∵a＜0，则不等式等价为(x＋1)(x－3)＜0，∴不等式的解集为{x|－1＜x＜3}．
12．若不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＋b＝ ；不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为 Ｗ．
【答案】－3
【解析】根据题意，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，则有(－1)＋2＝－a，(－1)×2＝b，解得a＝－1，b＝－2．故a＋b＝－3．bx2＋ax＋1＜0 －2x2－x＋1＜0 2x2＋x－1＞0，解得x＜－1或x＞，即不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为．
13．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0．
解：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)＞0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，
①当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
②当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a，此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
③当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2，此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
④当a＝0时，有x≠0，∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
⑤当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}．
综上可知，
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}．
C级——创新拓展练
14．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个正整数，求实数m的取值范围．
解：原不等式可化为(x－2)(x－m)＜0，
若m＜2，解得m＜x＜2，不等式的解集中不可能有4个正整数；
若m＝2，则不等式的解集为空集，不合题意；
若m＞2，解得2＜x＜m．
所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3，4，5，6，所以6＜m≤7．
故实数m的取值范围是{m|6＜m≤7}．
