第三章 3.1 3.1.1
A级——基础过关练
1．下列各式中，是函数的个数为( )
①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝＋．
A．4 B．3
C．2 D．1
2．(2024年内江期末)下列图象中，表示定义域、值域均为[0，1]的函数是( )
3．(2024年浙江期中)函数f(x)＝－(x－4)0的定义域是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(2，4)∪(4，＋∞) D．(2，4)∩(4，＋∞)
4．(多选)(2024年六盘水期末)下列各组函数中，函数f(x)与g(x)是同一个函数的有( )
A．f(x)＝x0，g(x)＝1 B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝()3 D．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
5．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则 y＝f(|x|－1)的定义域为( )
A．[－1，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[－2，2]
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
7．(2024年化州期末)函数f(x)＝＋的定义域是____________．
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥5}＝__________________；
(2){x|1＜x≤3}＝__________________；
(3){x|x＞－1且x≠0}＝______________．
9．设f(x)＝，则f(f(x))＝____________．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－．
11．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
12．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是____________，其中只与x的一个值对应的y值的范围是______________．
13．已知f(x)＝，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求证：f＝－f(x)；
(3)若f(a)＝2，求a．
14．(多选)德国数学家狄利克雷(1805—1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有( )
A．D()＝1 B．D(x)的值域为[0，1]
C．D(x)的定义域为R D．D(x－1)＝D(x)第三章 3.1 3.1.1
A级——基础过关练
1．下列各式中，是函数的个数为( )
①y＝6；②y＝－x2；③y＝4－x；④y＝＋．
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【解析】根据函数的定义可知①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则∴∴x无解，∴④不是函数．
2．(2024年内江期末)下列图象中，表示定义域、值域均为[0，1]的函数是( )
【答案】C
【解析】对于A，函数的值域不是[0，1]，故A错误；对于B，函数的定义域不是[0，1]，故B错误；对于C，函数的定义域为[0，1]，值域为[0，1]，符合题意；对于D，不满足函数的定义，不是函数的图象，故D错误．故选C．
3．(2024年浙江期中)函数f(x)＝－(x－4)0的定义域是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(2，4)∪(4，＋∞) D．(2，4)∩(4，＋∞)
【答案】C
【解析】由解得x＞2且x≠4，∴定义域为(2，4)∪(4，＋∞)．故选C．
4．(多选)(2024年六盘水期末)下列各组函数中，函数f(x)与g(x)是同一个函数的有( )
A．f(x)＝x0，g(x)＝1 B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝x，g(x)＝()3 D．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
【答案】BC
【解析】对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故A错误；对于B，f(x)＝g(x)＝|x|，函数的定义域、值域、对应关系均相同，故B正确；对于C，f(x)＝g(x)＝x，函数的定义域、值域、对应关系均相同，故C正确；对于D，两个函数的对应关系不同，故D错误．故选BC．
5．若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，则 y＝f(|x|－1)的定义域为( )
A．[－1，1] B．[－1，0]
C．[0，1] D．[－2，2]
【答案】D
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[－1，1]，所以由－1≤|x|－1≤1，得0≤|x|≤2，解得－2≤x≤2，即y＝f(|x|－1)的定义域为[－2，2]．故选D．
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】B
【解析】y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
7．(2024年化州期末)函数f(x)＝＋的定义域是____________．
【答案】[－2，1)∪(1，2]
【解析】由题意得解得－2≤x≤2且x≠1，故函数的定义域是[－2，1)∪(1，2]．
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥5}＝__________________；
(2){x|1＜x≤3}＝__________________；
(3){x|x＞－1且x≠0}＝______________．
【答案】(1)[5，＋∞) (2)(1，3] (3)(－1，0)∪(0，＋∞)
9．设f(x)＝，则f(f(x))＝____________．
【答案】(x≠0且x≠1)
【解析】f(f(x))＝＝＝．
10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝(x－1)2＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝(x－1)2＋1；
(3)y＝；
(4)y＝x－．
解：(1)函数的定义域为{－1，0，1，2，3}．
当x＝－1时，y＝[(－1)－1]2＋1＝5．
同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，
所以函数的值域为{1，2，5}．
(2)函数的定义域为R．
因为(x－1)2＋1≥1，
所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}．
y＝＝5＋，
所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．
设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，
所以f(t)＝t2－1－t＝－．
又因为t≥0，故f(t)≥－，
所以函数的值域是．
B级——综合运用练
11．下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
【答案】C
【解析】A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．
12．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是____________，其中只与x的一个值对应的y值的范围是______________．
【答案】[－3，0]∪[2，3] [1，2)∪(4，5]
【解析】观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]．
13．已知f(x)＝，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求证：f＝－f(x)；
(3)若f(a)＝2，求a．
(1)解：若使函数f(x)＝有意义，需满足1－x2≠0，即x≠±1．
所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}．
(2)证明：∵f＝＝＝，
－f(x)＝－＝，
∴f＝－f(x)．
(3)解：∵f(a)＝2，∴＝2，
∴3a2＝1，解得a＝±．
C级——创新拓展练
14．(多选)德国数学家狄利克雷(1805—1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有( )
A．D()＝1 B．D(x)的值域为[0，1]
C．D(x)的定义域为R D．D(x－1)＝D(x)
【答案】CD
【解析】因为是无理数，所以D()＝0，故A错误；D(x)的值域为{0，1}，故B错误；D(x)的定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R，都有D(x－1)＝D(x)，故D正确．故选CD．
