第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A级——基础过关练
1．如图所示的是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)下列说法错误的有( )
A．存在x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
3．(2024年北京一模)已知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且x0＞0，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x0＋1)＞f(x0) B．f(x0＋1)＜f(x0)
C．f(x0－1)＞f(x0) D．f(x0－1)＜f(x0)
4．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－3x－1 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝|x－1|＋2
5．已知函数f(x)＝x2－kx－8在[－1，1]上具有单调性，则实数k的取值集合是( )
A．{k|－2≤k≤2} B．{k|k≤－2或k≥2}
C．{k|k≤－2} D．{k|k≥－2}
6．若函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
7．函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为__________．
8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝______________．
9．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，那么实数a的取值范围为__________．
10．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
12．函数y＝|x2－2x－3|的增区间是______________，值域是__________．
13．讨论函数f(x)＝x＋(a∈R，x∈(0，＋∞))的单调性，并证明你的结论．
14．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且对于任意0＜α＜β，都有f(α)＞f(β)．
(1)求f(1)；
(2)若f(2x)－f(2－x)≥－1，求实数x的取值范围．第三章 3.2 3.2.1 第1课时
A级——基础过关练
1．如图所示的是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】由图象可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B．
2．(多选)下列说法错误的有( )
A．存在x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
【答案】ABD
【解析】A．函数单调性定义中的x1，x2是定义在区间I上的任意两个自变量的值，强调的是任意，从而A项错误；B．y＝x2在x≥0时是增函数，x＜0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；C．y＝－在整个定义域内不是增函数，如－3＜5，而f(－3)＞f(5)；D．y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)．
3．(2024年北京一模)已知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且x0＞0，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x0＋1)＞f(x0) B．f(x0＋1)＜f(x0)
C．f(x0－1)＞f(x0) D．f(x0－1)＜f(x0)
【答案】B
【解析】因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且x0＞0，所以1＋x0＞x0＞0，所以f(1＋x0)＜f(x0)，A错误，B正确；当x0＞0时，x0－1与0的大小关系无法确定，C，D无法判断．故选B．
4．下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝－3x－1 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝|x－1|＋2
【答案】D
【解析】由一次函数的性质可知y＝－3x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；由反比例函数的性质可知y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，故B错误；由二次函数的性质可知y＝x2－4x＋5在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C错误；在(1，＋∞)上，y＝|x－1|＋2＝x－1＋2＝x＋1，为增函数．故选D．
5．已知函数f(x)＝x2－kx－8在[－1，1]上具有单调性，则实数k的取值集合是( )
A．{k|－2≤k≤2} B．{k|k≤－2或k≥2}
C．{k|k≤－2} D．{k|k≥－2}
【答案】B
【解析】根据题意，函数f(x)＝x2－kx－8是对称轴方程为x＝，开口向上的二次函数，若函数f(x)＝x2－kx－8在[－1，1]上具有单调性，则有≥1或≤－1，解可得k≥2或k≤－2，即k的取值范围为{k|k≤－2或k≥2}．故选B．
6．若函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】要使f(x)在R上是减函数，需满足解得≤a＜．故选A．
7．函数f(x)＝|x－2|＋3的单调递减区间为__________．
【答案】(－∞，2]
【解析】f(x)＝显然函数f(x)在x≤2时单调递减．
8．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝______________．
【答案】13
【解析】f(x)的图象的对称轴方程为x＝＝－2，∴m＝－8．∴f(x)＝2x2＋8x＋3．∴f(1)＝2＋8＋3＝13．
9．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上单调递增，那么实数a的取值范围为__________．
【答案】(－∞，2]
【解析】因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝，且函数f(x)在区间上是单调递增，所以≤，解得a≤2．
10．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝．
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0．
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上单调递增．
B级——综合运用练
11．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，则≥0，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤．所以0≤a≤．
12．函数y＝|x2－2x－3|的增区间是______________，值域是__________．
【答案】[－1，1]，[3，＋∞) [0，＋∞)
【解析】函数的图象如图所示．易知增区间为[－1，1]，[3，＋∞)，值域是[0，＋∞)．
13．讨论函数f(x)＝x＋(a∈R，x∈(0，＋∞))的单调性，并证明你的结论．
解：在区间(0，＋∞)上任取x1，x2且x1＜x2．
当a＞0时，设0＜x1＜x2≤，则x1－x2＜0，x1x2＞0，0＜x1x2＜a，∴x1x2－a＜0．
∴f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴f(x)在(0，]上单调递减．
同理可得f(x)在[，＋∞)上单调递增．
当a＝0时，f(x1)－f(x2)＝x1－x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＝＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
综上，当a＞0时，f(x)在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
C级——创新拓展练
14．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且对于任意0＜α＜β，都有f(α)＞f(β)．
(1)求f(1)；
(2)若f(2x)－f(2－x)≥－1，求实数x的取值范围．
解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0．
(2)由f(2x)－f(2－x)≥－1
得f(2x)＋f≥f(2－x)，即f(x)≥f(2－x)，
又由题意知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以解得0＜x≤1，
所以x的取值范围为(0，1]．
