第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为( )
A．[－6，－2] B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A． B．
C． D．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
5．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A．y＝＋ B．y＝4x＋
C．y＝3x－ D．y＝x－1＋
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
7．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝__________．
8．若函数f(x)＝x2－3x－3在x∈[－1，4]上有f(x)≥x＋2a－1恒成立，则实数a的取值范围是________________．
9．如图，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为__________m．
10．已知函数f(x)＝．
(1)试用单调性的定义证明函数f(x)在(－∞，1)上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，－1]上的最大值和最小值．
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
12．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的有( )
A． x∈[－2，2]，f(x)＞a恒成立，则实数a的取值范围是a＜－3
B． x∈[－2，2]，f(x)＞a，则实数a的取值范围是a＜－3
C． x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f(x)＝g(t)
13．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
14．已知函数f(x)＝|mx＋1|＋|2x－1|，m∈R．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)＞4的解集；
(2)若0＜m＜2，且对任意x∈R，f(x)≥恒成立，求m的最小值．第三章 3.2 3.2.1 第2课时
A级——基础过关练
1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为( )
A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
【答案】B
【解析】观察函数图象，可知f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f．
2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0，5]的值域为( )
A．[－6，－2] B．[－11，－2]
C．[－11，－6] D．[－11，－1]
【答案】B
【解析】函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0，5]，所以当x＝2时，f(x)取得最大值，为－(2－2)2－2＝－2，当x＝5时，f(x)取得最小值，为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B．
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令t＝1－x(1－x)＝＋≥，则0＜f(x)≤，所以f(x)的最大值为．
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
【答案】C
【解析】依题意，若a＝0，则y＝1，不符合题意，故a≠0．当a＞0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2．综上，a＝±2．
5．(多选)已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有( )
A．y＝＋ B．y＝4x＋
C．y＝3x－ D．y＝x－1＋
【答案】ACD
【解析】选项A，x≥1，y＝＋≥2＝2，当且仅当x＝2时，y取得最小值2；选项B，y＝4x＋在x≥1递增，可得y的最小值为5；选项C，y＝3x－在x≥1递增，可得y的最小值为2；选项D，y＝x－1＋＝(x＋1)＋－2≥2 －2＝2，当且仅当x＝1时，y取得最小值2．故选ACD．
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2，所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1．
7．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝__________．
【答案】4
【解析】因为f(x)＝在[1，b]上单调递减，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4．
8．若函数f(x)＝x2－3x－3在x∈[－1，4]上有f(x)≥x＋2a－1恒成立，则实数a的取值范围是________________．
【答案】(－∞，－3]
【解析】函数f(x)＝x2－3x－3在x∈[－1，4]上有f(x)≥x＋2a－1恒成立，转化为x2－4x－2≥2a在x∈[－1，4]上恒成立．令g(x)＝x2－4x－2，对称轴方程为 x＝2，开口向上，故函数的最小值为g(2)＝－6，由题意得－6≥2a，解得 a≤－3，故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
9．如图，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，则要使每间笼舍面积达到最大，每间笼舍的宽度应为__________m．
【答案】5
【解析】设笼舍的宽为x m，则笼舍的长为(30－3x)m，每间笼舍的面积为y＝x(30－3x)＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0，10)．当x＝5时，y取得最大值，即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积达到最大．
10．已知函数f(x)＝．
(1)试用单调性的定义证明函数f(x)在(－∞，1)上的单调性；
(2)求f(x)在[－3，－1]上的最大值和最小值．
(1)证明：设x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝－，
又由x1＜x2＜1，得x1－x2＜0，x1－1＜0，x2－1＜0，
则有f(x1)－f(x2)＞0，
故f(x)在(－∞，1)上单调递减．
(2)解：根据题意，f(x)在[－3，－1]上递减，
则f(x)max＝f(－3)＝，f(x)min＝f(－1)＝1．
B级——综合运用练
11．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，2] D．[1，2]
【答案】D
【解析】f(x)＝(x－1)2＋2，因为f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，所以1≤m≤2．故选D．
12．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的有( )
A． x∈[－2，2]，f(x)＞a恒成立，则实数a的取值范围是a＜－3
B． x∈[－2，2]，f(x)＞a，则实数a的取值范围是a＜－3
C． x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3
D． x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f(x)＝g(t)
【答案】AC
【解析】在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a＜－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a＜5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中， x∈[－2，2]， t∈[0，3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．
13．某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润．
解：(1)因为f(x)是一次函数，
所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由题中表格可得解得
所以y＝f(x)＝－3x＋162．
又因为y≥0，所以30≤x≤54，
故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]．
(2)由题意，得P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．
所以当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润．
C级——创新拓展练
14．已知函数f(x)＝|mx＋1|＋|2x－1|，m∈R．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)＞4的解集；
(2)若0＜m＜2，且对任意x∈R，f(x)≥恒成立，求m的最小值．
解：(1)当m＝3时，f(x)＝|3x＋1|＋|2x－1|，
原不等式f(x)＞4等价于
或或
解得x＜－或无解或x＞，
所以f(x)＞4的解集为∪．
(2)因为0＜m＜2，所以－＜，m＋2＞0，m－2＜0．
则f(x)＝|mx＋1|＋|2x－1|＝
所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．
所以当x＝时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f＝1＋．
因为对任意x∈R，f(x)≥恒成立，
所以f(x)min＝1＋≥．
又因为m＞0，所以m2＋2m－3≥0，
解得m≥1(m≤－3不合题意)．
所以m的最小值为1．
